Натуральные числа - основы. Из истории чисел

1.1.Определение

Числа, применяемые людьми при счете, называются натуральными (например, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тысячи двести двадцать один,…) Для записи натуральных чисел используют специальные знаки (символы), называемые цифрами .

В наше время принята десятичная система записи чисел . В десятичной системе (или способе) записи чисел используются арабские цифры. Это десять различных символов-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Наименьшее натуральное число - это число один, оно записывается при помощи десятичной цифры - 1. Следующее натуральное число получается из предыдущего (кроме единицы) добавлением 1 (единицы). Такое добавление можно делать много раз (бесконечное число раз). Это означает, что нет наибольшего натурального числа. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел неограничен или бесконечен, так как он не имеет конца. Натуральные числа записывают при помощи десятичных цифр.

1.2. Число «ноль»

Для обозначения отсутствия чего-либо используют число "ноль " или "нуль ". Его записывают при помощи цифры 0 (ноль). Например, в коробке все шары красные. Сколько среди них зеленых? - Ответ: ноль. Значит, зеленых шаров в коробке нет! Число 0 может означать, что что-то закончилось. Например, у Маши было 3 яблока. Двумя она поделилась с друзьями, одно съела сама. Значит, у неё осталось 0 (ноль) яблок, т.е. ни одного не осталось. Число 0 может означать, что что-то не случилось. Например, хоккейный матч Сборная России - Сборная Канады закончился со счетом 3:0 (читаем "три - ноль") в пользу сборной России. Значит, сборная России забила 3 гола, а сборная Канады 0 голов, не смогла забить ни одного гола. Надо помнить, что число ноль не является натуральным.

1.3. Запись натуральных чисел

В десятичном способе записи натурального числа каждая цифра может означать различные числа. Это зависит от места этой цифры в записи числа. Определённое место в записи натурального числа называется позицией. Поэтому десятичная система записи чисел называется позиционной. Рассмотрим десятичную запись 7777 числа семь тысяч семьсот семьдесят семь. В этой записи семь тысяч, семь сотен, семь десятков и семь единиц.

Каждое из мест (позиций) в десятичной записи числа называется разрядом . Каждые три разряда объединены в класс. Это объединение производится справа налево (с конца записи числа). Различные разряды и классы имеют собственные названия. Ряд натуральных чисел неограничен. Поэтому количество разрядов и классов также не ограничено (бесконечно ). Рассмотрим названия разрядов и классов на примере числа с десятичной записью

38 001 102 987 000 128 425:

Классы и разряды
квинтиллионы		сотни квинтиллионов
		десятки квинтиллионов
		квинтиллионы
квадриллионы		сотни квадриллионов
		десятки квадриллионов
		квадриллионы
триллионы		сотни триллионов
		десятки триллионов
		триллионы
миллиарды		сотни миллиардов
		десятки миллиардов
		миллиарды
миллионы		сотни миллионов
		десятки миллионов
		миллионы
		сотни тысяч
		десятки тысяч

Итак, классы, начиная с младшего, имеют названия: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.

1.4. Разрядные единицы

Каждый из классов в записи натуральных чисел состоит из трёх разрядов. Каждый разряд имеет разрядные единицы . Следующие числа называются разрядными единицами:

1 - разрядная единица разряда единиц,

10 - разрядная единица разряда десятков,

100 - разрядная единица разряда сотен,

1 000 - разрядная единица разряда тысяч,

10 000 - разрядная единица разряда десятков тысяч,

100 000 - разрядная единица разряда сотен тысяч,

1 000 000 - разрядная единица разряда миллионов, и т. д.

Цифра в каком-либо из разрядов показывает количество единиц данного разряда. Так, цифра 9, в разряде сотен миллиардов, означает, что в состав числа 38 001 102 987 000 128 425 входит девять миллиардов (т.е. 9 раз по 1 000 000 000 или 9 разрядных единиц разряда миллиардов). Пустой разряд сотен квинтиллионов означает, что в данном числе отсутствуют сотни квинтиллионов или их количество равно нулю. При этом число 38 001 102 987 000 128 425 можно записать так: 038 001 102 987 000 128 425.

Можно записать иначе: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нули в начале числа указывают на пустые старшие разряды. Обычно их не пишут в отличие от нулей внутри десятичной записи, которыми обязательно отмечают пустые разряды. Так, три нуля в классе миллионов означает, что пусты разряды сотен миллионов, десятков миллионов и единиц миллионов.

1.5. Сокращения в записи чисел

При записи натуральных чисел используются сокращения. Приведём примеры:

1 000 = 1 тыс. (одна тысяча)

23 000 000 = 23 млн. (двадцать три миллиона)

5 000 000 000 = 5 млрд. (пять миллиардов)

203 000 000 000 000 = 203 трлн. (двести три триллиона)

107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто семь квадриллионов)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 квнт. (один квинтиллион)

Блок 1.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из §1. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите для каждого определения номер термина из списка.

Блок 1.2. Самоподготовка

В мире больших чисел

Экономика .

Бюджет России на следующий год составит: 6328251684128 рублей.
На этот год запланировано расходов: 5124983252134 рублей.
Доходы страны превысили расходы на 1203268431094 рублей.

Вопросы и задания

Прочитайте все три указанных числа
Запишите цифры в классе миллионов каждого из трех чисел

К какому разделу в каждом из чисел относится цифра, стоящая на седьмой позиции от конца записи чисел?
Число каких разрядных единиц показывает цифра 2 в записи первого числа?... в записях второго и третьего числа?
Назовите разрядную единицу для восьмой позиции от конца в записи трех чисел.

География (длина)

Экваториальный радиус Земли: 6378245 м
Длина окружности экватора: 40075696 м
Наибольшая глубина мирового океана (Марианская впадина в Тихом океане) 11500 м

Вопросы и задания

Переведите все три величины в сантиметры и прочитайте полученные числа.
Для первого числа (в см) запишите цифры, стоящие разделах:

сотни тысяч _______

десятки миллионов _______

тысячи _______

миллиарды _______

сотни миллионов _______

Для второго числа (в см) запишите разрядные единицы, соответствующие цифрам 4, 7, 5, 9 в записи числа

Переведите третью величину в миллиметры, прочитайте полученное число.
Для всех позиций в записи третьего числа (в мм) укажите в таблице разряды и разрядные единицы:

География (площадь)

Площадь всей поверхности Земли составляет 510083 тысяч квадратных километров.
Площадь поверхности сумм на Земле составляет 148628 тысяч квадратных километров.
Площадь водной поверхности Земли составляет 361455 тысяч квадратных километров.

Вопросы и задания

Переведите все три величины в квадратные метры и прочитайте полученные числа.
Назовите классы и разряды, соответствующие отличным от нуля цифрам в записи этих чисел (в кв. м).
В записи третьего числа (в кв. м) назовите разрядные единицы, соответствующие цифрам 1, 3, 4, 6.
В двух записях второй величины (в кв. км. и кв. м) укажите, к каким разрядам относится цифра 2.
Запишите разрядные единицы для цифры 2 в записях второй величины.

Блок 1.3. Диалог с компьютером.

Известно, что большие числа часто используются в астрономии. Приведем примеры. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 тыс. км. Расстояние Земли от Солнца (среднее) составляет 149504 тыс. км, Земли от Марса 55 млн. км. На компьютере с помощью текстового редактора Word создайте таблицы так, чтобы каждая цифра в записи указанных чисел была в отдельной клеточке (ячейке). Для этого выполните команды на панели инструментов: таблица → добавить таблицу → число строк (с помощью курсора ставим «1») → число столбцов (посчитайте сами). Создайте таблицы и для других чисел (блока «Самоподготовка»).

Блок 1.4. Эстафета больших чисел

В первой строке таблицы записано большое число. Прочитайте его. Затем выполните задания: передвигая цифры в записи числа вправо или влево, получайте следующие числа и читайте их. (Нули в конце числа не передвигайте!). В классе эстафету можно проводить, передавая её друг другу.

Строка 2 . Все цифры числа в первой строке переместите влево через две клетки. Цифры 5 замените следующей за ней цифрой. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 3 . Все цифры числа во второй строке переместите вправо через три клетки. Цифры 3 и 4 в записи числа замените следующими цифрами. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 4. Все цифры числа в строке 3 переместите на одну клетку влево. Цифру 6 в классе триллионов замените на предыдущую, а в классе миллиардов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 5 . Все цифры числа в строке 4 переместите через одну клетку вправо. Цифру 7 в разряде «десятки тысяч» замените на предыдущую, а в разряде «десятки миллионов» на последующую. Прочитайте полученное число.

Строка 6 . Все цифры числа в строке 5 переместите влево через 3 клетки. Цифру 8 в разряде сотен миллиардов замените на предыдущую, а цифру 6 в разряде сотен миллионов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Просчитайте полученное число.

Строка 7 . Все цифры числа в строке 6 переместите вправо на одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах десятков квадриллионов и десятков миллиардов. Прочитайте полученное число.

Строка 8 . Все цифры числа в строке 7 переместите влево через одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах квинтиллионов и квадриллионов. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 9 . Все цифры числа в строке 8 переместите вправо через три клетки. Поменяйте местами две стоящие рядом в числовом ряду цифры из классов миллионов и триллионов. Прочитайте полученное число.

Строка 10 . Все цифры числа в строке 9 переместите на одну клетку вправо. Прочитайте полученное число. Выделите цифры, обозначающие год Московской олимпиады.

Блок 1.5. Давайте поиграем

Зажги огонек

Игровое поле - это рисунок новогодней ёлки. На ней 24 лампочки. Но подключены к электросети только 12 из них. Чтобы выбрать подключённые лампы, надо верно ответить на вопросы словами «Да» или «Нет». Эту же игру можно выполнить на компьютере верный ответ «зажигает» лампочку.

Верно ли, что цифры - это специальные знаки для записи натуральных чисел? (1 - да, 2 - нет)
Верно ли, что число 0 -это наименьшее натуральное число? (3 - да, 4 - нет)
Верно ли, что в позиционной системе счисления одна и та же цифра может обозначать различные числа? (5 - да, 6 - нет)
Верно ли, что определенное место в десятичной записи чисел называется разрядом? (7 - да, 8 - нет)
Дано число 543 384. Верно ли, что в нем число самых старших разрядных единиц равно 543, а самых младших 384? (9 - да, 10 - нет)
Верно ли, что в классе миллиардов самая старшая из разрядных единиц - это сто миллиардов, а самая младшая - один миллиард? (11 - да, 12 - нет)
Дано число 458 121. Верно ли, что сумма числа самых старших разрядных единиц и числа самых младших равна 5? (13 - да, 14 - нет)
Верно ли, что самая старшая из разрядных единиц класса триллионов в миллион раз больше самой старшей из разрядных единиц класса миллионов? (15 - да, 16 - нет)
Даны два числа 637 508 и 831. Верно ли, что самая старшая разрядная единица первого числа в 1000 раз больше самой старшей разрядной единицы второго числа? (17 - да, 18 - нет)
Дано число 432. Верно ли, что самая старшая разрядная единица этого числа в 2 раза больше самой младшей? (19 - да, 20 - нет)
Дано число 100 000 000. Верно ли, что в нем число разрядных единиц, составляющих 10 000, равно 1000? (21 - да, 22 - нет)
Верно ли, что перед классом триллионов находится класс квадриллионов, а перед этим классом - класс квинтиллионов? (23 - да, 24 - нет)

1.6. Из истории чисел

С древних времен человек сталкивался с необходимостью подсчитывать количество вещей, сравнивать количества объектов (например, пять яблок, семь стрел…; в племени 20 мужчин и тридцать женщин, …). Была также необходимость устанавливать порядок внутри некоторого количества объектов. Например, на охоте первым идет вождь племени, вторым самый сильный воин племени и т.д. Для этих целей использовались числа. Для них были придуманы специальные названия. В речи они называются числительными: один, два, три и т. д. - это количественные числительные, а первый, второй, третий - порядковые числительные. Записывались числа при помощи специальных знаков - цифр.

Со временем появились системы счисления. Это системы, включающие способы записи чисел и различных действий над ними. Самые древние из известных систем счисления - это египетская, вавилонская, римская системы счисления. На Руси в старину для написания цифр использовались буквы алфавита со специальным знаком ~ (титло). В настоящее время наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Широко используются, особенно в компьютерном мире, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Итак, для записи одного и того же числа можно использовать различные знаки - цифры. Так, число четыреста двадцать пять можно записать египетскими цифрами - иероглифами:

Это египетский способ записи чисел. Это же число римскими цифрами: CDXXV (римский способ записи чисел) или десятичными цифрами 425 (десятичная система записи чисел). В двоичной системе записи оно выглядит так: 110101001 (двоичная или бинарная система записи чисел), а в восьмеричной - 651 (восьмеричная система записи чисел). В шестнадцатеричной системе счисления оно запишется: 1А9 (шестнадцатеричная система записи чисел). Можно поступить совсем просто: сделать, подобно Робинзону Крузо, четыреста двадцать пять зарубок (или штрихов) на деревянном столбе - IIIIIIIII …... IIII . Это самые первые изображения натуральных чисел.

Итак, в десятичной системе записи чисел (в десятичном способе записи чисел) используются арабские цифры. Это десять различных символов - цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . В двоичной - две двоичные цифры: 0, 1; в восьмеричной - восемь восьмеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в шестнадцатеричной - шестнадцать различных шестнадцатеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; в шестидесятеричной (вавилонской) - шестьдесят различных символов - цифр и т.д.)

Десятичные цифры пришли в страны Европы из стран Ближнего Востока, Арабских стран. Отсюда название - арабские цифры . Но к арабам они попали из Индии, где были изобретены примерно в середине первого тысячелетия.

1.7. Римская система счисления

Одна из древних систем счисления, которая используется в наши дни, - это римская система. Приведем в таблице основные цифры римской системы счисления и соответствующие числа десятичной системы.

Римская цифра					C
				50 пятьдесят		500 пятьсот	1000 тысяча

Римская система счисления является системой сложения. В ней в отличие от позиционных систем (например, десятичной) каждая цифра обозначает одно и то же число. Так, запись II - обозначает число два (1 + 1 = 2), запись III - число три (1 + 1 + 1 = 3), запись XXX - число тридцать (10 + 10 + 10 = 30) и т.д. Для записи чисел применяются следующие правила.

Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: VII - число семь (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII - число семнадцать (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL - число одна тысяча сто пятьдесят (1000 + 100 + 50 = 1150).
Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IX - число девять (9 = 10 - 1), LM - число девятьсот пятьдесят (1000 - 50 = 950).

Для записи больших чисел приходится использовать (придумывать) новые символы - цифры. При этом записи чисел получаются громоздкими, производить вычисления с римскими цифрами очень сложно. Так год запуска первого искусственного спутника Земли (1957 г.) в римской записи имеет вид MCMLVII .

Блок 1. 8. Перфокарта

Чтение натуральных чисел

Эти задания проверяются при помощи карты с окружностями. Поясним ее применение. Выполнив все задания и найдя верные ответы (они обозначены буквами А, Б, В, и т.д.), наложите на карту лист прозрачной бумаги. Знаками «X» отметьте на нем правильные ответы, а также метку совмещения « + ». Затем наложите прозрачный лист на страницу так, чтобы совпали метки совмещения. Если все знаки «X» попали в серые кружочки на этой странице, значит, задания выполнены верно.

1.9. Порядок чтения натуральных чисел

При чтении натурального числа поступают следующим образом.

Мысленно разбивают число на тройки (классы) справа - налево, с конца записи числа.

Начиная с младшего класса, справа - налево (с конца записи числа) записывают названия классов: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.
Читают число, начиная со старших классов. При этом называют число разрядных единиц и название класса.
Если в разряде стоит ноль (разряд пуст), то его не называют. Если же все три разряда называемого класса - нули (разряды пусты), то данный класс не называется.

Прочтем (назовем) число, записанное в таблице (см.§1), согласно шагам 1 - 4. Мысленно разбиваем число 38001102987000128425 на классы справа - налево: 038 001 102 987 000 128 425. Укажем названия классов в этом числе, начиная с конца его записи: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы. Теперь можно прочитать число, начиная со старшего класса. Называем трехзначные, двузначные и однозначные числа, добавляя название соответствующего класса. Пустые классы не называем. Получаем следующее число:

038 - тридцать восемь квинтиллионов
001 - один квадриллион
102 - сто два триллиона
987 - девятьсот восемьдесят семь миллиардов
000 - не называем (не читаем)
128 - сто двадцать восемь тысяч
425 - четыреста двадцать пять

В результате натуральное число 38 001 102 987 000 128 425 прочтем так: "тридцать восемь квинтиллионов один квадриллион сто два триллиона девятьсот восемьдесят семь миллиардов сто двадцать восемь тысяч четыреста двадцать пять".

1.9. Порядок записи натуральных чисел

Запись натуральных чисел выполняют в следующем порядке.

Записывают по три цифры каждого класса, начиная со старшего класса до разряда единиц. При этом для старшего класса цифр может быть две или одна.
Если класс или разряд не назван, то в соответствующих разрядах записывают нули.

Например, число двадцать пять миллионов триста два записано в виде: 25 000 302 (класс тысяч не назван, поэтому во всех разрядах класса тысяч записаны нули).

1.10. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Приведём пример: 7 563 429 - это десятичная запись числа семь миллионов пятьсот шестьдесят три тысячи четыреста двадцать девять. Данное число содержит семь миллионов, пять сотен тысяч, шесть десятков тысяч, три тысячи, четыре сотни, два десятка и девять единиц. Его можно представить как сумму: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Такая запись называется представлением натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Блок 1.11. Давайте поиграем

Сокровища подземелья

На игровом поле рисунок к сказке Киплинга «Маугли». На пяти сундуках навесные замки. Чтобы открыть их, надо решить задачи. При этом, открыв деревянный сундук, вы получаете одно очко. Открыв оловянный сундук, получаете два очка, медный - три очка, серебряный - четыре, золотой - пять. Выигрывает тот, кто быстрее откроет все сундуки. Эту же игру можно выполнить на компьютере.

Деревянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) находится в этом сундуке. Для этого надо найти общее число самых младших разрядных единиц класса миллионов для числа: 125308453231.

Оловянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) в этом сундуке. Для этого в числе 12530845323 найдите число самых младших разрядных единиц класса единиц и число самых младших разрядных единиц класса миллионов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите число, стоящее в разряде десятков миллионов.

Медный сундук

Чтобы найти деньги этого сундука (в тыс. рублей), надо в числе 751305432198203 найдите число самых младших разрядных единиц в классе триллионов и число самых младших единиц в классе миллиардов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите натуральные числа класса единиц этого числа в порядке их расположения.

Серебряный сундук

Деньги этого сундука (в млн. рублей) покажет сумма двух чисел: числа самых младших разрядных единиц класса тысяч и средних разрядных единиц класса миллиардов для числа 481534185491502.

Золотой сундук

Дано число 800123456789123456789. Если перемножить числа в самых старших разрядах всех классов этого числа, то получим деньги этого сундука в млн. рублей.

Блок 1.12. Установите соответствие

Запись натуральных чисел. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Каждому заданию в левой колонке подберите решение из правой колонки. Ответ запишите в виде: 1а; 2г; 3б…


	Запишите цифрами число: пять миллионов двадцать пять тысяч
	Запишите цифрами число: пять миллиардов двадцать пять миллионов
	Запишите цифрами число: пять триллионов двадцать пять
	Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь
	Запишите цифрами число: семьдесят семь триллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь
	Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь
	Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиарда четыреста пятьдесят шесть миллионов семьсот восемьдесят девять тысяч
	Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять
	Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать
	Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать миллионов

Вариант 2


	тридцать два миллиарда сто семьдесят пять миллионов двести девяносто восемь тысяч триста сорок один		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: триста двадцать один миллион сорок один		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 321000175298341
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 101010101
	Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Блок 1.13. Фасетный тест

Название теста происходит от слова «фасеточный глаз насекомых». Это сложный глаз, состоящий из отдельных «глазков». Задания фасетного теста образуются из отдельных элементов, обозначенных цифрами. Обычно фасетные тесты содержат большое число заданий. Но в этом тесте задач всего четыре, но они составляются из большого числа элементов. Это сделано для того, чтобы научить вас «собирать» задачи теста. Если вы сможете их составить, то легко справитесь с другими фасетными тестами.

Как составляются задачи, поясним на примере третьей задачи. Она составляется из элементов теста под номерами: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

«Если » 1) из таблицы взять цифры (цифру); 4) 7; 7) поместить её в разряд; 11) миллиардов; 1) из таблицы взять цифру; 5) 8; 7) поместить её в разряды; 9) десятки миллионов; 10) сотни миллионов; 16) сотни тысяч; 17) десятки тысяч; 22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6. 21) остальные разряды заполнить нулями; «ТО » 26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с); «Это число равно »: 7880889600 с. В ответах оно обозначено буквой «в».

Решая задачи, карандашом записывайте цифры в ячейки таблицы.

Фасетный тест. Составьте число

В таблице записаны цифры:

Если

1) из таблицы взять цифру (цифры):

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) поместить эту цифру (цифры) в разряд (разряды);

8) сотни квадриллионов и десятки квадриллионов;

9) десятки миллионов;

10) сотни миллионов;

11) миллиардов;

12) квинтиллионов;

13) десятки квинтиллионов;

14) сотни квинтиллионов;

15) триллионов;

16) сотен тысяч;

17) десятки тысяч;

18) заполнить ею (ими) класс (классы);

19) квинтиллионов;

20) миллиардов;

21) остальные разряды заполнить нулями;

22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6;

23) получим число, равное массе Земли в десятках тонн;

24) получим число, примерно равное объему Земли в куб.м;

25) получим число, равное расстоянию (в метрах) от Солнца до самой дальней планеты солнечной системы Плутона;

26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с);

Это число равно:

а) 5929000000000

б) 999990000000000000000

г) 598000000000000000000

Решите задачи:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Ответы

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - г

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - б

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - в

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - а

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

Закрепить и расширить знания учащихся о формах записи чисел, значении места цифры в записи числа; совершенствовать навыки применения знаний по теме для решения задач, продолжить формирование учебных компетентностей при оперировании понятием “разряд”,
Развивать качества мышления учащихся, как критичность, сообразительность, наблюдательность, память, интуиция;
Формировать и развивать у учащихся положительные мотивы учебно-познавательной деятельности, интерес, творческую инициативу и активность;
Выявить учащихся с повышенной образовательной мотивацией.

План урока:

Организационный момент – 2 мин.
Устные вопросы для актуализации знаний – 4 мин.
Выступление учащегося – 3 мин.
Устная работа – 3 мин.
Задача – ребус – 6 мин.
Физкультминутка – 2 мин.
Математический диктант с проверкой – 7 мин.
Разбор и решение олимпиадной задачи – 6 мин.
Мини-исследование – математический фокус – 5 мин.
Математические стихи. Обсуждение вопроса о двойственности значения знаков, используемых для записи чисел. – 5 мин.
Подведение итогов. Домашнее задание – 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент – учитель задаёт вопросы:

– Какую тему мы с вами сейчас изучаем? (“Чтение и запись натуральных чисел”.)
– Какие вы знаете способы записи чисел? (Цифрами, словами, …)
– На сегодняшнем уроке чему бы вы хотели научиться? (Учитель поощряет такие высказывания, как “узнать новое”, “научиться применять свои знания”, “научится решать задачи”, и т.п.)

Учитель: Ребята, сейчас проверим, насколько мы готовы к уроку и приобретению новых знаний.

2. Вопросы актуализации знаний:

(Слайд 2–4).

Как называются числа, которые мы применяем для счёта предметов? (Натуральные. )
Какое число мы употребляем для обозначения выражения “ни одного”? (0 )
Назовите самое маленькое натуральное число. (1 )
Назовите самое большое натуральное число. (Ряд натуральных чисел бесконечен, наибольшего числа в нём нет. )
Ноль это натуральное число? (Нет. )
С помощью каких знаков мы записываем числа? (С помощью цифр. )
Что обозначают цифры в записи числа 63? (В этом числе три единицы и шесть десятков. )
Как называется место цифры в записи числа? (Разряд. )
Знаете ли вы кто, где и когда придумали такую запись чисел, при которой значение цифры зависит от её место в записи числа? (Следует выслушать ответы – предположения учащихся, а возможно кто-то знает ответ.)

Учитель предлагает послушать выступление учащегося.

3. Выступление учащегося. Примерный текст: (материал – Википедия). (Слайд 5).

Ученик: Для обозначения чисел мы используем 10 цифр, поэтому такую систему называют десятичной системой счисления. Причём значение каждой цифры в записи числа зависит от его места – разряда (позиции). Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда. Поэтому наша система счисления называется десятичной позиционной системой счисления.

Для записи чисел мы используем символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами. Но хотя цифры называются арабскими, придумали их не арабы.

А вот в какой стране придумали эти символы, вы узнаете, если вместо звездочек в равенства поставите цифры так, чтобы равенство было верным, а потом соответствующую букву. (Слайд 6).

На доске:

1 = Н, 2 = И, 3 = К, 4 = Д, 5 = Е, 9 = М, 0 = Я

Учащиеся под руководством учителя и выступающего выполняют задание.

Ученик: Цифры, которые мы называем арабскими возникли в Индии примерно в V веке, но распространили такую форму записи цифр арабы, поэтому цифры называют арабскими. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной.

4. Устная работа.

Учитель: Ребята. Сегодня на уроке мы особое внимание уделим разряду.

На доске записаны числа. Среди них назовите такие числа, в записи которых одна и та же цифра стоит в различных разрядах, а значит, имеет различные значения. Объясните, что означает эта цифра в записи названных вами чисел.

(Слайд 7).

На доске записаны: 301, 401, 43, 234. – учащиеся называю числа устно, с пояснениями.

5. Задача – ребус.

Учитель : Сегодня мы уже работали с равенством, в котором цифры заменены, например, на звездочки. Такое равенство называется ребусом. Решить ребус – значит, вместо звездочки подставить нужную цифру так, чтобы выражение было верным. Сейчас мы решим ещё одно задание на ребус.

Один учащийся решает вслух, с рассуждениями у доски.

Задание на доске (Слайд 8):

Замените звездочки цифрами так, чтобы получился верный пример на сложение:

97* + **5 + 1*86 = 2230.

Решение.
В разряде единиц 5 + 6 = 11, и для того, чтобы в сумме в разряде единиц получился 0, звездочку можно заменить только на 9. При этом 2 перенесется в разряд десятков.
7 + 8 + 2 = 17, поэтому в разряде десятков звездочку можно заменить только на 6.
В разряде сотен 9 + 2 = 11 (2 перешло из разряда десятков), то есть единица уже перенесется в разряд десятков тысяч. Тогда, сумма двух звездочек равняется 1, значит, одна заменяется на 1, другая – на 0. Во втором слагаемом звездочку в разряде сотен на 0 не заменишь, поэтому во втором слагаемом заменяем на 1, в третьем – на 0.
Ответ: 979 + 165 + 1086 = 2230.

6. Математический диктант – без вариантов, с проверкой:

Учитель : А сейчас мы проведём математический диктант. Каждый из вас будет работать самостоятельно. Внимательно слушайте задания. Те, кому трудно будет выполнять задания на слух, смотрите на доску (на доске в нужный момент последовательно будут появляться вопросы ). После диктанта мы вместе проверим правильность его выполнения.

Возможны следующие варианты проведения:

Один человек – сильный учащийся работает у доски, так, чтобы остальные не могли видеть, пока не придёт время проверки.
Вызывать после каждого задания одного ученика к доске для записи ответа, но без комментариев “верно/ неверно”. Если работаем с доской типа IQBoard ET или IQBoard PS возможна запись на самой доске.

Текст математического диктанта (Слайды 9–10).

Запишите наименьшее трехзначное число, в котором все цифры различны. (102 )
Запишите наибольшее натуральное число, в котором все цифры различны (9876543210 – десятизначное ).
Запишите двузначное число, в котором число десятков в семь раз больше цифры его единиц (включаем логику : чтобы выполнялось условие подходит только 71 ).
Запишите двузначное число, в котором число единиц равно наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на три меньше числа единиц. (69 )
Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на два меньше этой суммы. Запишите это число. (72 )

Завершается этот этап работы проверкой с комментариями, а также рефлексией (поднимите руки те учащиеся, кто справился с заданием без ошибок, какое задание оказалось для вас самых трудным…).

7. Физкультминутка.

(Нараспев, делая паузы, чтобы дети могли неоднократно выполнить каждое движение – упражнение.)

Все поднялись.
Встали в ряд.
Изучали мы разряд.
А сейчас мы отдохнем,
Руки, ноги разомнём.
Потянулись, улыбнулись.
Все нагнулись, разогнулись.
Подтянули плечики.
Прыгаем, кузнечики.
И в ладоши три хлопка.
Головою три кивка.
Мы глазами поморгаем.
Физкультуру уважаем.
Это бодрости заряд!
Шшш…(успокаиваем детей, показываем, что можно сесть)
Изучаем мы разряд…

Учитель: Кто из вас принимал участие в олимпиаде по математике? Поднимите руки. И в пятом классе и в старших классах ежегодно в школах проводятся олимпиады по математике для тех, кто увлекается математикой. Как вы думаете, чем отличаются олимпиадные задачи от тех, которые мы решаем на уроках математики (“сложнее”, “необычные”, “другие”… ). Я предлагаю вам решить олимпиадную задачу (Слайд 11). Давайте посмотрим, сможем ли мы с ней справиться.

8. Задача.

Натуральные числа, начиная с числа 1 и заканчивая числом 100, выписывают одно за другим. Получается некоторое многозначное число. Сколько цифр в записи этого числа? Сколько раз в этой записи встречается цифра 1?

Рекомендуется не сразу вызывать учащегося к доске, а дать время на обдумывание условия задачи, дать учащимся возможность попробовать написать число, сделать вывод, что всё число записывать бессмысленно, обсудить возможную форму записи (например, 123456…979899100), разбить решение задачи на этапы.

Решение:
1. 9 чисел однозначных, (99-9) чисел двузначных, 1 число трехзначное. Значит всего цифр 9 + (99 – 9)* 2 + 3 =192.
2. У чисел, которые мы выписываем, в разряде единиц цифра 1 встречается 10 раз, в разряде десятков 10 раз, в разряде сотен 1 раз. Всего цифра 1 в записи встречается 21 раз.

Предлагается закончить этот этап работы также рефлексией.

Рефлексия:

Смогли ли мы справиться с задачей?
Кому понравилась задача?
Кто считает эту задачу не очень сложной?
Кто считает, что смог бы решить эту задачу самостоятельно?

9 . Математический фокус (мини– исследование) – 5 мин.

Учитель: Любите ли Вы играть? А кто любит фокусы? Я тоже люблю фокусы. И сейчас покажу вам один из них:

Внимательно слушайте мои указания.

Запишите любое четырехзначное число такое, чтобы в нем число десятков было на 1 больше числа единиц, число сотен было на 1 больше числа десятков, а число тысяч было на 1 больше числа сотен.
Запишите число, которое получится, если цифры этого числа записать в обратном порядке.
Вычтите из второго числа первое.
Запишите результат. Назовите его громко вслух. У всех вас получится одно и тоже число (Слайд 12).

Это число 3087.

Ученики выполняют задание, проверяют, сравнивают числа, которые они записывали, обсуждают, выдвигают гипотезы. Объяснять этот фокус, то есть доказывать на уроке не нужно. Но можно вернуться к нему позже в пятом классе (например, при изучении представления числа в виде суммы разрядных слагаемых) или в кружковой работе .

Учитель: Предлагаю дома желающим проверить будет ли выполняться этот фокус, например для пятизначных чисел, или если следующая цифра будет отличаться от предыдущей не на 1, а на 2 и какое число при этом получится.

10. Учитель:

– Сегодня ребята приготовили нам стихотворения. Давайте их послушаем:

1-й учащийся:

Когда-то многие считали,
Что нуль не значит ничего
И, как ни странно, полагали,
Что нуль совсем не есть число…

Коль нуль к числу ты прибавляешь
Иль отнимаешь от него
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.

2-й учащийся:

Цифра вроде буквы О
Это ноль, иль ничего:
Круглый ноль такой хорошенький,
Но не знает ничегошеньки!
Если ж слева, рядом с ним,
Единицу поместим,
Он побольше станет весить,
Потому что это – десять…

3-й учащийся

Напрасно думают, что ноль
Играет маленькую роль.
Мы двойку в двадцать превратим.
Из троек и четверок
Мы можем, если захотим,
Составить тридцать, сорок.
Пусть говорят, что мы ничто, –
С двумя нолями вместе
Из единицы выйдет сто,
Из двойки – целых двести!

Учитель:

– О какой цифре рассказывается в этих стихотворениях?
– Ноль это цифра или однозначное число?
– В каком стихотворении говориться о нуле, как о цифре, а в каком, как о числе
– Итак, давайте подведём итог: десять знаков, которые мы используем для записи чисел это и цифры и однозначные числа

11. Подведение итогов:

Вопросы учителя:

1) – Что нового вы узнали на уроке?
2) – сегодня на уроке нам рассказали о том, что для вычислений мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Кто из вас может напомнить, почему она так называется?
(Десятичной она называется потому, что в ней используются десять знаков – цифр и потому, что десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.
Позиционной она называется потому, что одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от позиции, которую занимает в записи числа.)
3) Как вы думаете, почему распространение получила именно десятичная система счисления? (Предполагаемый ответ учащихся: раньше считали на пальцах, пальцев у людей на руках десять.)

Тогда послушайте ещё одно стихотворение:

Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно...
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.

– Как вы думаете, о ком идёт речь в стихотворении? А разгадку этого стихотворения я расскажу вам на следующем уроке. Спасибо за урок. Запишем домашнее задание

Домашнее задание (в данном случае целесообразно давать в конце урока):

1) п. 1 стр.5 – повторить, № 23 (г, д), 24 (е-з), № 27.
2) Всем желающим – проверить, будет ли выполняться фокус, показанный в классе для двузначного, трехзначного, пятизначного числа, каков будет при этом результат.
3) для сильных учащихся, имеющих повышенную мотивацию к изучению математики:

ЗАДАЧА (приготовлена заранее в виде карточки): Из числа 1234567…5657585960 вычеркнуть сто цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Указание:

Задание олимпиадное, однако, посильное учащимся, если предложить им разбить решение на этапы, в ходе выполнения которых они будут отвечать на вопросы:

Как получается запись этого числа? Придумайте правило. (Выписаны одно за другим натуральные числа от одного до 60. )
Сколько цифр в записи этого числа? (Однозначных чисел использовано 9, двузначных чисел 60 – 9 = 51, значит всего цифр 51 * 2 + 9 =111. )
Сколько раз в этой записи встречается цифра 9? (6 раз. )
Сколько цифр останется, если вычеркнуть из этого числа сто цифр? (Одиннадцать цифр ). Значит оставшееся число должно быть одиннадцатизначным.
Мы не можем переставлять цифры, значит мы должны обратить внимание и на последовательность цифр в записи числа. Наибольшее число должно начинаться с наибольшего числа девяток. Но шесть девяток подряд мы оставить не можем, так как за ними останется только две цифры 6 и 0. Всего останется шесть цифр (99999960), а нам нужно одиннадцать, значит пробуем оставить впереди первые пять девяток. Шестая цифра должна быть наибольшей из тех, сзади которых остается ещё пять цифр. Такой является цифра 7.
Оставшееся число 99999785960

Использованная литература:

И.Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад.
Стихи о нуле – авторы С.Я. Маршак, И. Фомяков. Стихи взяты с научного портала “Эврика”. http://evrika.tsi.lv/index.php?name=texts&file=show&f=114
Учебник Математика, 5-й класс/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2009.

Чтение и запись натуральных чисел

Г. Самойлик, методист ОМЦ ЗОУКО, Москва

На уроке по теме «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал.

Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». Дело в том, что индийскую систему нумерации усвоили арабы, а труды индийских ученых в Европе стали известны значительно позже, чем труды арабских ученых. Поэтому эти ци

фры правильнее называть индийскими. Наш способ счета и записи чисел называется Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». а в Индии около 2000 лет назад. В Европе она распространилась благодаря труду по арифметике среднеазиатского ученого Мухаммеда Хорезми (ал-Хорезми) (780–850 гг.).

Одним из древнейших трудов по арифметике, дошедших до нас, является учебник «Вопросы и решения» армянского философа и математика Анания Ширакаци, жившего в VII в. В его книге применяется алфавитная нумерация. Десятичная алфавитная нумерация была распространена и в Киевской Руси. В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которым ставили особый значок – титло (~).

Учитель, готовый украсить свой урок, перед его началом должен иметь на доске красочные плакаты (естественно, закрытые от глаз учеников до поры до времени либо занавесками, либо газетами. Это очень важный и эффективный методический прием, который следует иметь в виду учителю. Плакаты нужно обязательно закрыть, иначе ученики растеряют свое внимание перед уроком и затем собрать их внимание учителю будет не под силу. (Поэтому всегда, особенно в 5-м классе, следует закрывать наглядный материал, помещенный на доске). На доску может быть вынесен следующий материал.

Что касается старинных задач к этой теме, то таковых можно предложить множество. Можно, например, воспользоваться сборником «Старинные занимательные задачи» автора С.Н. Олехника, вышедшим в издательстве «Наука» в 1988 г.

Приведу здесь лишь некоторые примеры таких задач.

1. Величайший математик древности Архимед погиб в возрасте 75 лет во время осады Сиракуз (212 г. до н. э.). Определите год рождения Архимеда.

Задачи из старинных русских рукописей

3. На охоте

Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем, и собакой.)

Решение. Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков, но собака за 5 скачков из 6 пробегает то же расстояние, что и заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку. Поскольку в начальный момент расстояние между зайцем и собакой было равно 40 скачкам собаки, то собака догонит зайца через 40ж6 =

240 скачков.

4. Воз сена

Лошадь съедает воз сена за месяц, коза за два месяца, овца за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение. Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за два месяца, то за год она съест 6 возов сена. И наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съест 4 воза сена. Вместе же они съедят за год 12 + 6 + 4 = 22 воза сена. Тогда один воз сена они все вместе съедят за месяца.

Особенностью подачи исторического материала в 5-м классе является незагруженность его слишком сложными и объемными сведениями, его лаконичность, четкость и красочность, иллюстрирующего его материала.

Список литературы

Натуральные числа – натуральные числа это числа которые используются для счета предметов. Множество всех натуральных чисел иногда называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, и т.д.

Для записи натуральных чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью них, можно записать любое натуральное число. Такая запись чисел называется десятичной.

Натуральный ряд чисел можно продолжать бесконечно. Нет такого числа, которые было бы последнее, потому что к последнему числу всегда можно прибавить единицу и получится число, уже большее искомого. В таком случае говорят, что в натуральном ряду нет наибольшего числа.

Разряды натуральных чисел

В записи любого числа с помощью цифр, место на котором цифра стоит в числе имеет решающее значение. Например, цифра 3 означает: 3 единицы, если она будет стоять в числе на последнем месте; 3 десятка, если она будет стоять в числе на предпоследнем месте; 4 сотни, если она будет стоять в числе на третьем месте с конца.

Последняя цифра означает разряд единиц, предпоследняя – разряд десятков, 3 с конца –разряд сотен.

Однозначные и многозначные цифры

Если в каком-либо разряде числа стоит цифра 0, это означает, что в данном разряде нет единиц.

С помощью цифры 0 обозначается число ноль. Ноль это «ни одного».

Нуль не относится к натуральным числам. Хотя некоторые математики считаю иначе.

Если число состоит из одной цифры его называют однозначным, из двух – двузначным, из трех – трехзначными, и т.д.

Числа которые не являются однозначными еще называют многозначными.

Классы из цифр для чтения больших натуральных чисел

Для чтения больших натуральных чисел, число разбивают на группы из трех цифр, начиная с правого края. Эти группы называются классы.

Первые три цифры с правого края составляют класс единиц, следующие три – класс тысяч, следующие три – класс миллионов.

Миллион – тысяча тысяч, для записи используют сокращение млн. 1 млн. = 1 000 000.

Миллиард = это тысяча миллионов. Для записи используют сокращение млрд. 1 млрд. = 1 000 000 000.

Пример записи и чтения

Это число имеет в классе миллиардов 15 единиц, 389 единиц в классе миллионов, нуль единиц в классе тысяч и 286 единиц в ласе единиц.

Данное число читается так: 15 миллиардов 389 миллионов 286.

Читают числа слева направо. По очереди называют число единиц каждого класса и потом добавляют название класса.

Г. Самойлик, методист ОМЦ ЗОУКО, Москва

На уроке по теме «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал.

Приведу здесь лишь некоторые примеры таких задач.

Задачи из старинных русских рукописей

3. На охоте

240 скачков.

4. Воз сена

месяца.