Какая формула находит последнюю цифру числа. Старт в науке
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит»
М. В. Ломоносов
Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…
В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?
Цели работы
Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.
Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.
2. Последняя цифра степени
Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа, где N , n - натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:
Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.
3. Закономерности возведения в степень
Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.
Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.
Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.
Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.
Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,
Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой
Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4
|
24: 4=5(остаток 0) |
||
|
48:4=12(остаток 0) |
||
|
2016:4=504(остаток0) |
||
|
28:4=7(остаток0) |
Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.
Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3
|
45:4=11 (остаток 1) |
||
|
37:4=9 (остаток 1) |
||
|
18:4=4 (остаток 2) |
||
|
102:4=25 (остаток 2) |
||
|
31:4=7(остаток3) |
||
|
1199:4=299(остаток3) |
Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;
Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.
Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.
4. Последние две цифры степени
Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:
Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.
Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.
Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом - 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 -ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:
Для числа 11 в степени - число десятков будет равно показателю степени
Для числа 21 - период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному, если число 2 умножить на показатель степени
5. Заключение
Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть, но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла - не рационально.
Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.
6. Задачи
Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)
Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)
Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .
(8+3=11, последняя цифра 1)
Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)
В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?
(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)
Делится ли число+ на 10 ?
(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)
Найдите последнюю цифру числа. Степени считаются сверху вниз: =
Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).
Найдите 2 последние цифры числа 8 1989 .
В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8 1989 - 28).
На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?
(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 - жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 - синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).
Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?
(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).
11. Доказать, что число кратно 2.
12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).
13. Верно ли, что 1,6*(-1) - целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?
7. Использованная литература
1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.
2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. - Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.
3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева - СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.
4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва: Просвещение, 1995
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы - М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.
6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).
7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. - 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.
Последняя цифра степени.
Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:
Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .
В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.
Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.
Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.
А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:
Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.
Две последних цифры степени.
Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.
| Степень | |||||||||
| Х 2 | |||||||||
| Х 3 | |||||||||
| Х 4 | |||||||||
| Х 5 | |||||||||
| Х 6 | |||||||||
| Х 7 | |||||||||
| Х 8 | |||||||||
| Х 9 | |||||||||
| Х 10 | |||||||||
| Х 11 | |||||||||
| Х 12 | |||||||||
| Х 13 | |||||||||
| Х 14 | |||||||||
| Х 15 | |||||||||
| Х 16 | |||||||||
| Х 17 | |||||||||
| Х 18 | |||||||||
| Х 20 | |||||||||
| Х 21 | |||||||||
| Х 22 | |||||||||
| Х 23 | |||||||||
| Повтор |
(Красным кругом выделен период)
Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.
К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.
| Степень | ||||||||||
| Х 2 | ||||||||||
| Х 3 | ||||||||||
| Х 4 | ||||||||||
| Х 5 | ||||||||||
| Х 6 | ||||||||||
| Х 7 | ||||||||||
| Х 8 | ||||||||||
| Х 9 | ||||||||||
| Х 10 | ||||||||||
| Х 11 | ||||||||||
| Х 12 | ||||||||||
| Х 13 | ||||||||||
| Х 14 | ||||||||||
| Х 15 | ||||||||||
| Х 16 | ||||||||||
| Х 17 | ||||||||||
| Х 18 | ||||||||||
| Х 20 | ||||||||||
| Х 21 | ||||||||||
| Х 22 | ||||||||||
| Х 23 | ||||||||||
| Повтор |
Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.
а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.
б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1... То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.
в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.
В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?
Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.
МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»
Научное сообщество учащихся «Поиск»
Тема: « Последняя цифра степени.»
Выполнила: ученица 7 «б» класса
Терентьева Валентина
Руководитель: Пушило Т.Л.
р.п. Шербакуль
2010 – 2011 уч. год
Введение.
Цели работы.
Последняя цифра степени.
Закономерности возведения в степень
Две последних цифры степени.
Задачи.
Заключение.
Использованная литература.
Введение.
Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы
1 1989 + 2 1989 + 3 1989 + 4 1989 + 5 1989 +…+ 1989 1989 .
Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…
Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?
Цели работы:
Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.
Найти закономерность в них.
Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.
Последняя цифра степени.
Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:
Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .
В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.
Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.
Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.
А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:
Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.
Две последних цифры степени.
Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.
|
Степень |
|||||||||
|
Х 2 |
|||||||||
|
Х 3 |
|||||||||
|
Х 4 |
|||||||||
|
Х 5 |
|||||||||
|
Х 6 |
|||||||||
|
Х 7 |
|||||||||
|
Х 8 |
|||||||||
|
Х 9 |
|||||||||
|
Х 10 |
|||||||||
|
Х 11 |
|||||||||
|
Х 12 |
|||||||||
|
Х 13 |
|||||||||
|
Х 14 |
|||||||||
|
Х 15 |
|||||||||
|
Х 16 |
|||||||||
|
Х 17 |
|||||||||
|
Х 18 |
|||||||||
|
Х 20 |
|||||||||
|
Х 21 |
|||||||||
|
Х 22 |
|||||||||
|
Х 23 |
|||||||||
|
Повтор |
(Красным кругом выделен период)
Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.
К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.
|
Степень |
||||||||||
|
Х 2 |
||||||||||
|
Х 3 |
||||||||||
|
Х 4 |
||||||||||
|
Х 5 |
||||||||||
|
Х 6 |
||||||||||
|
Х 7 |
||||||||||
|
Х 8 |
||||||||||
|
Х 9 |
||||||||||
|
Х 10 |
||||||||||
|
Х 11 |
||||||||||
|
Х 12 |
||||||||||
|
Х 13 |
||||||||||
|
Х 14 |
||||||||||
|
Рекомендуем
|
