В восьмеричной системе счисления используются цифры. Основы систем счисления
Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.
Введение
Система счисления - это способ записи (представления) чисел.Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача - их посчитать. Для этого можно - загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево - один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру - палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором - композиция камней и палочек, где слева - камни, а справа - палочки
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, - на однородные и смешанные.
Непозиционная
- самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек - то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.
Позиционная система - значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления - позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 - кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 - единиц и значению 3. Как видим - чем больше разряд - тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.
Однородная система - для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд - 0, 2-й - 5, 3-й - 4), а 4F5 - нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система - в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример - система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
Непозиционные системы
Как только люди научились считать - возникла потребность записи чисел. В начале все было просто - зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления - единичная.Единичная система счисления
Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.Но эта система обладает явными неудобствами - чем больше число - тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.
Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная система
В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Вот некоторые из них:Почему она называется десятичной? Как писалось выше - люди стали группировать символы. В Египте - выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ - представление числа 10 в какой-то степени.
Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:
Вавилонская шестидесятеричная система
В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин - для обозначения единиц и “лежачий” - для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:
Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения - в позиционной с основанием 60. Число 92:
Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:
Теперь число 3632 следует записывать, как:
Шестидесятеричная вавилонская система - первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени - час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.
Римская система
Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления - это набор стоящих подряд цифр.Методы определения значения числа:
- Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.
1) Славянская
2) Греческая (ионийская)
Позиционные системы счисления
Как упоминалось выше - первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.Десятичная система счисления
Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас - позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503 10 .
Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.
Двоичная система счисления
Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу - сложные верёвочные сплетения и узелки.Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра - либо 0, либо 1.
Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа - 0 и 1?
Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое - единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр - группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров - это оперативная память. Число, содержащееся в регистре - машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа - достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой - по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100 2 . В восьмеричной - это 101 100 = 54 8 , а в шестнадцатеричной - 0010 1100 = 2С 16 . Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.
Восьмеричная система счисления
8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n - это номер разряда. Получается, что 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF - белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.В качестве примера возьмем число 4F5 16 . Для перевода в восьмеричную систему - сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n - номер разряда: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная
Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.
Однородные позиционные системы счисления
Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение - излишне.Смешанные системы счисления
К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q - основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:
- Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
- Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.
Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева
Перевод из одной системы счисления в другую
Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.Преобразование в десятичную систему счисления
Имеется число a 1 a 2 a 3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n - номер разряда. Таким образом, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Пример: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Преобразование из десятичной системы счисления в другие
Целая часть:- Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
- Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
- Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
- Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
15\8 = 1, остаток 7
1\8 = 0, остаток 1
Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15 10 = 17 8 .
Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
Для перевода в восьмеричную - разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n - номер разряда.В качестве примера возьмем число 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = (0+0+1) (0+0+1) = 11 8
Для перевода в шестнадцатеричную - разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем - аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.
Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную
Перевод из восьмеричной в двоичную - преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.Для примера рассмотрим число 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Перевод из 16-ой в 2-ю - преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.
Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную
Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.
Пример: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую
Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.Пример: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую
Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.Для примера переведем 10,625 10 в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
РЕФЕРАТ ПО ОСНОВАМ ТЕОРИИ ИНФОРМАТИКИ
Тема: Восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления.
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.
Имашев Ильнар Айдарович
специальность 230701
Прикладная информатика
курс 2, группа ПИ-2
форма обучения: очная
Руководитель:
Калашникова Анастасия Николаевна
Введение .............................................................................................................. 3
1. Восьмеричная система счисления....................................................................... 5
2. Шестнадцатеричная система счисления............................................................. 7
3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую..................................... 9
Заключение ...................................................................................................... 11
Список литературы ......................................................................................... 12
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.
Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т.д.).
Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.
Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках.
На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение.
На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.
На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает какое либо конкретное число.
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. Поэтому эта тема для меня очень интересна, и мне захотелось узнать об этом больше.
Восьмеричная система счисления
Восьмери́чная систе́ма счисле́ния - позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.
Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
Таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет двоичных цифр. Например: 2541 8 = [ 2 8 | 5 8 | 4 8 | 1 8 ] = [ 010 2 | 101 2 | 100 2 | 001 2 ] = 010101100001 2
В программировании для явного указания восьмеричного числа используется префикс 0 (нуль). Например: 022.
В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
6118 =011 001 0012
1 110 011 1012=14358 (4 триады)
Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:
1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135
Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 1011101 2 = 135 8 .
Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 100 8 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.
100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 1000000 2
Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:
672 8 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 442 10
100 8 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 64 10 .
2.Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа ) - позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.
Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 10 до 15 10 , то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Применение:
Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему.
В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости - с ведущими нулями).
Шестнадцатеричный цвет - запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.
При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:
Например:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5
Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):
4C5 = 4 * 16 2 + 12 * 16 1 + 5 * 16 0 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221
Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи - это FF.
FF = 15 * 16 1 + 15 * 16 0 = 240 + 15 = 255
Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления
.
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a n a n-1 ..a 1 a 0 ,a -1 a -2 …a -m
запишется в двоичной системе счисления как
x = a n ·2 n +a n-1 ·2 n-1 +…+a 1 ·2 1 +a 0 ·2 0 +a -1 ·2 -1 +a -2 ·2 -2 +…+a -m ·2 -m
где a i
— двоичные цифры (0 или 1).
Восьмеричная система счисления
В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Шестнадцатеричная система счисления
В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:
10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16 .
Например, число 175 10 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF 16 . Действительно,
10·16 1 +15·16 0 =160+15=175
В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования
Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.
Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.
Пример: Преобразовать число 1101110,01 2 в восьмеричную систему счисления.
Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем
001 101 110,010 2 = 156,2 8 .
Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:
156,2 8 = 001 101 110,010 2 .
Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.
Пример: Преобразовать число 1101110,11 2 в шестнадцатеричную систему счисления.
Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем
0110 1110,1100 2 = 6E,C 16 .
Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом.
Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позиционные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последовательностью цифр (цифр разрядов):
… a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 …
Здесь a 0 , a 1 , . . . обозначают цифры нулевого, первого и других разрядов числа.
Цифре разряда приписан вес p k где р - основание системы счисления; k - номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:
N = …+ a 5 × p 5 + a 4 × p 4 + a 3 × p 3 + a 2 × p 2 + a 1 × p 1 + a 0 × p 0 + …
Для представления цифр разрядов используется набор из p различных символов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2 ….. 9. При этом запись 729324 10 (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:
Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р , можно строить разнообразные системы счисления.
В двоичной системе счисления
основание системы счисления р
= 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1.
Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 1011101 2 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:
В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2,…,7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи 735460 8 в десятичной системе счисления соответствует следующее число:
т. е. запись 735460 8 означает число, содержащее семь раз по 8 5 = 32768, три раза по 8 4 = 4096, пять раз по 8 3 = 512, четыре раза по 8 2 = 64, шесть раз по 8 1 = 8 и ноль раз по 8 0 = 1.
В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1,2…..9, А, В, С, D, Е, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствует 10, В – 11, С – 12, D – 13, Е – 14, F – 15.
Запись AB9C2F 16 соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:
Для хранения n -разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройства, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут использоваться устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.
2.3. ВОСЬМЕРИЧНЫЕ ЧИСЛА
Восьмеричная запись, как и шестнадцатеричная, используется для представления двоичных чисел. Восьмеричная система содержит 8 цифр от 0 до 7 и является соответственно системой с основанием 8. В табл. 2.7 представлено несколько десятичных, восьмеричных и двоичных чисел.
Преобразуем двоичное число 11111000100 в его восьмеричный эквивалент. Процедура действий в этом случае следующая. Начиная с МБ двоичного числа, делим его на группы из 3 бит. Затем, используя табл. 2.7, преобразуем каждую триаду (группу из 3 бит) в эквивалентную восьмеричную цифру. Таким образом, мы заменим двоичное число 11111000100 его восьмеричным эквивалентом 37048:
Двоичное число 011 111 000 100
Восьмеричное число 3 7 0 4
Преобразуем теперь восьмеричное число 6521 в его двоичный эквивалент. Каждая восьмеричная цифра заменяется двоичной триадой и получится, что 65218= 110101010001 2".
Запишем восьмеричное число 2357 в десятичной форме. Классическая процедура выполняется согласно табл. 2.8. Здесь 512, 64, 8 и 1 есть веса четырех первых восьмеричных позиций. Заметим, что в этом примере содержится 7 единиц, 5 восьмерок, 4 числа 64 и два числа 521. Мы их складываем и получаем результат: 1024+192+40+7= 1263 10.
Наконец, преобразуем десятичное число 3336 в его восьмеричный эквивалент. Процедура показана на рис. 2.3. В первую очередь 3336 разделено на 8, что дает частное 417 и остаток 0 10, причем 0 10=08, восьмеричный 0 становится значением MP восьмеричного числа. Первое частное (417) становится делимым и снова делится на 8 (вторая строка), что дает частное 52 и остаток 110=18, который становится второй цифрой восьмеричного числа. В третьей строке частное (52) становится делимым и деление его на 8 дает частное 6 и остаток 4 10=48. В четвертой строке последнее частное 6 разделено на 8 с частным 0 и остатком 6 10=68.
Теперь счет закончен последним частным 0. Цифра 68 становится значением CP восьмеричного числа, и мы можем видеть на рис. 2.3, что 3336ю=64108.
Большинство микропроцессоров и микро-ЭВМ обрабатывают группы из 4, 8 или 16 бит. Отсюда следует, что обычно чаще используется шестнадцатеричная запись, чем восьмеричная. Однако восьмеричная запись более удобна, когда группы бит делятся на 3 (например, группы из 12 бит).
Упражнения
2.18. Для представления двоичных чисел текст документации 8-разрядного микропроцессора использует _
(шестнадцатеричную, восьмеричную) систему.
2.19. Другим названием восьмеричной системы является
2.20. Записать следующие восьмеричные числа в двоичном коде: а) 3; б) 7; в) 0; г) 7642; д) 1036; е) 2105.
2.21. Записать следующие двоичные числа в восьмеричном коде: а) 101; б) 110; в) 010; г) 111000101010; д) 1011000111; е) 100110100101.
2.22. 67248=_____10.
2.23. 2648 10=____8.
2.18. Шестнадцатеричную, при которой удобно представить двоичное число двумя 4-разрядными группами. 2.19. Система с основанием 8. 2.20. а) 38=0112; б) 78=1112; в) 08 = 0002; г) 76428= 1111101000102;
д) 10368= 10000111102; е) 21058= 100010001012. 2.21. а) 1012=58; б) 1102=68; в) 0102=28; г) 1110001010102 = 70528; д) 10110001112= 13078;
е) 1001101001012 = 46458. 2.22. Согласно процедуре табл. 2.8: 67248= = (512Х6) + (64х7) + (8х2) + (1Х4)=3540 10. 2.23. Согласно процедуре рис. 2.3:
2648 10: 8 = 331, остаток 0 (MP); 331: 8= 41, остаток 3; 41: 8= 5, остаток 1; 5: 8= 0, остаток 5 (CP); 2648 10=51308.
