Теория игр суть равновесия нэша. Равновесие нэша

Тренинги

На протяжении всей жизни человек вынужден принимать определённые решения по самым разнообразным вопросам, начиная от бытовых споров - кто будет убирать комнаты в доме или как благоустроить свой город, и заканчивая международными переговорами, многомиллионными аукционами и даже военными действиями. И во всех этих ситуациях человек стремится максимизировать свой собственный выигрыш. Но при этом ему всегда приходится выбирать: сотрудничать с другими людьми или думать только о своей выгоде, не заботясь о выгоде других. Классическим примером, который показывает, что в погоне за личной выгодой не всегда можно достичь лучшего результата, выступает «Дилемма заключённого».

Двое заключённых А и Б подозреваются в совершении преступления, за которое им грозит до 10 лет лишения свободы. Но прямых улик пока нет. Поэтому следствие предлагает каждому из заключённых пойти на сделку - признаться в содеянном и свалить инициативу преступления на другого. Если один признается, а другой заключённый будет хранить молчание, то первому уменьшат срок заключения до трёх лет за содействие следствию, а второго посадят на 10 лет.

Если оба пойдут на сделку со следствием и сознаются в содеянном, то каждый получит по 5 лет. Однако, если оба будут молчать, то за отсутствием улик, их выпустят на свободу. Заключённые находятся в разных камерах, чтобы они не могли сговориться друг с другом и согласовать своё поведение на допросе. Ни один из них не знает точно, что сделает другой. Какое решение примет каждый из них? Что произойдёт?

У каждого заключённого есть выбор: молчать или признаться. Это и есть дилемма заключённого: должен ли он оговорить другого или должен попытать удачу и не признаваться, сильно при этом рискуя? В зависимости от выбора заключённых в этой ситуации возможны четыре исхода.

Рассмотрим их:

1. Если оба заключённых дают признательные показания, каждый из них получает по пять лет тюрьмы;

2. Если заключённый А будет хранить молчание, а заключённый Б даст показания против него, то первый сядет на 10 лет, а второй - на три года;

3. И наоборот, если заключённый А признается, а заключённый Б будет хранить молчание, то первый сядет на три года, а второй - на 10 лет;

4. А если оба будут молчать, то за отсутствием улик из выпустят на свободу.

Какой из этих исходов наиболее реален? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как рассуждает каждый из них. Вот как рассуждает заключённый А:

« Допустим, что заключённый Б признается. Если я тоже признаюсь, то получу 5 лет. Если же буду молчать - получу 10 лет. Значит, если заключённый Б признается, мне тоже лучше признаться в содеянном.

Если же заключённый Б будет хранить молчание, как следует поступить мне? Если признаюсь - получу 3 года. А если тоже буду молчать, то выйду на свободу. Это, конечно, идеальный вариант, но я не уверен, что заключённый Б будет молчать, я ему не доверяю. Поэтому мне лучше дать показания.

Значит, что бы ни делал заключённый Б, мне лучше признаться».

Ход рассуждений заключённого Б аналогичный, и он также приходит к выводу, что для него выгоднее признаться, независимо от того, что будет делать заключённый А.

Что же получается? Каждый из заключённых выбрал стратегию, которая, хотя и не приводит к самому лучшему результату (выходу на свободу), но является наилучшей для каждого из них при любом поведении соперника. Так как цель каждого заключённого - минимизировать свой срок заключения, не заботясь о другом заключённом, то признаться и оговорить другого - наиболее выгодная стратегия для каждого из них. Проще говоря, не важно, что сделает другой, каждый выиграет больше, если предаст. Поэтому заключённые выберут стратегию «Признаться» и получат по 5 лет тюрьмы.

Итак, на этом примере мы увидели, что решение, принимаемое одним игроком, влияет на решение другого (и наоборот) и в итоге влияет на конечный исход игры.

Другими примерами игр, в которых участвуют люди с несовпадающими (противоположными) целями, когда результат зависит от решений всех участников, могут послужить игра в покер, шахматы, пенальти в футболе и многие другие игры.

Но, наряду с традиционными играми, между людьми существуют и такие серьёзные отношения как рыночная конкуренция, гонка вооружений, загрязнение окружающей среды, выборы, торговля и др. Например, компании, конкурирующие на рынке, при принятии решений должны оглядываться на действия конкурентов. Или другой показательный пример - гонка вооружений между Советским Союзом и США в 1950-1990-х годах. В течение почти полувека две великие страны тратили много денег на вооружение, не отставая друг от друга. Если бы между ними было доверие, они бы не тратили столько средств на вооружение, а потратили бы их с бо льшей пользой (на образование, здравоохранение, пенсии и т. п.) и обе стороны выиграли бы от этого. Но вместо этого каждая страна, не доверяя другой, продолжала производить оружие и никто от этого не выигрывал.

Все эти серьёзные отношения тоже называют играми, поскольку в них, как и в обычных играх, результат зависит от решений (стратегий) всех участников. А наука, которая изучает эти серьёзные отношения, называется теорией игр. Поэтому слово «игра» в данном случае не должно вводить вас в смятение. Это понятие в теории игр трактуется шире, чем в повседневной жизни.

Равновесие Нэша

Итак, в «Дилемме заключённого» ситуация складывается таким образом, что, поступая по отдельности рационально и разумно, в итоге заключённые получают по пять лет тюрьмы. Однако, как мы уже отметили, это не самый оптимальный исход. Есть вариант и получше: выйти на свободу, если оба будут молчать.

Наверняка каждый из заключённых, когда принимал решение, рассуждал так: «Если мы оба будем молчать, то выйдем на свободу. Конечно, это лучше, чем сесть на пять лет. Но где гарантия, что второй тоже будет молчать? Ведь если я буду молчать, а другой даст показания, то я сяду на целых 10 лет! Нет, уж лучше я признаюсь в содеянном».

Очевидно, что взаимное недоверие друг к другу не позволяет реализоваться ситуации, когда каждый выйдет на свободу. К тому же заключённые сидят в разных камерах и каждый принимает решение, не зная о решении другого и у каждого есть соблазн дать показания против другого и получить 3 года вместо 5 или 10 лет. Получается, что самый лучший исход - выйти на свободу - является ненадёжным и нестабильным. Именно поэтому заключённые выбрали такие стратегии, которые привели пусть не к самому лучшему исходу, но зато надёжному и исключающему риск обмана и предательства. Такой исход называется равновесием Нэша.

Равновесие Нэша (Nash equilibrium ) - это такая комбинация стратегий игроков и их выигрышей, при которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию, если при этом другие участники своих стратегий не меняют. Примечание: равновесие Нэша существует в играх, в которых игроки действуют независимо друг от друга и не могут объединяться и координировать свои действия.

Простыми словами, равновесие Нэша - это такая ситуация, когда стратегия каждого игрока является наилучшей реакцией на стратегии других игроков и ни одному игроку невыгодно в отдельности менять свою стратегию.

Равновесие Нэша - это не самый лучший исход из всех возможных, но в ситуации, когда каждый играет сам за себя, это оптимальный исход для каждого игрока, потому что сводятся к нулю риски и потери каждого игрока, которые могли бы быть, если другой игрок решит его обмануть или предать.

Равновесие Нэша - это устойчивое равновесие, потому что игрокам выгодно его сохранять, так как любое изменение ухудшит их положение. Но если в отношениях между игроками появляется сотрудничество, равновесие Нэша перестаёт быть равновесным, потому что появляется возможность достичь более лучшего результата. Например, если бы в «Дилемме заключённого» у игроков была возможность договориться о сотрудничестве, а именно - вдвоём хранить молчание, либо, если бы у них не было сомнений в том, что другой не предаст и тоже будет молчать, то ситуация могла бы закончиться для обоих с более лучшим исходом - выходом на свободу.

Вывод: Равновесие Нэша показывает, что каждый игрок может выиграть больше, если между игроками будут существовать сотрудничество, доверие и честность, и каждый игрок, делая лучше для других, сделает лучше для себя.

Иллюстрация с сайта postnauka.com

Равновесие Нэша (Nash equilibrium ) - это такая ситуация, при которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, в одностороннем порядке меняя свое решение. Другими словами, равновесие Нэша - это положение, при котром стратегия обеих игроков является наилучшей реакцией на действия своего оппонента

Равновесие Нэша в чистых стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий, что для всякого агента выполняется следующее условие:

Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру в этом случае говорят, что она происходит в чистых стратегиях , а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями .

Определение. В антогонистической игре пара стратегий (А i , В j) называется равновесной или устойчивой, если ни одному из игроков не выгодно отходить от своей стратегии.

Применять чистые стратегии имеет смысл тогда, когда игроки А и В располагают сведениями о действиях друг друга и достигнутых результатах. Если допустим, что хотя бы одна из сторон не знает о поведении противника, то идея равновесия нарушается, и игра ведется бессистемно.

33. Функция Неймана- Моргенштерна в теории игр. Равновесие Байеса-Нэша

Систематическая же математическая теория игр была детально разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития И. т. переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов.

Основным в И. т. является понятие игры, являющееся формализованным представлением о конфликте. Точное описание конфликта в виде игры состоит поэтому в указании того, кто и как участвует в конфликте, каковы возможные исходы конфликта, а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах. Участвующие в конфликте стороны называются коалициями действия; доступные для них действия - их стратегиями; возможные исходы конфликта - ситуациями (обычно каждая ситуация понимается как результат выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии); стороны, заинтересованные в исходах конфликта, - коалициями интересов; их интересы описываются предпочтениями тех или иных ситуаций (эти предпочтения часто выражаются численными выигрышами). Конкретизация перечисленных объектов и связей между ними порождает разнообразные частные классы игр.

Определить оптимальную стратегию можно:

Равновесие Байеса-Нэша: если определено статистическое распределение встречаемого поведения (например, 33 % «око за око», 33 % всегда обманывают и 33 % всегда сотрудничают), то стратегию можно вычислить математически . Этим детально занимается теория эволюционной динамики.

Теория игр – наука, исследующая математическими методами поведение участников в вероятных ситуациях, связанных с принятием решений. Предметом этой теории являются игровые ситуации с заранее установленными правилами. В ходе игры возможны различные совместные действия – коалиции игроков, конфликты…

Часто отмечают, что в действительности олигополия - это игра характеров - игра, в которой так же, как в шахматах или в покере, каждый игрок должен предугадать действия соперника - его блеф, контрдействия, контрблеф - настолько, насколько это возможно. Поэтому экономисты, занимающиеся теорией олигополии, были восхищены появлением в 1944 году объемистой и высоко математезированной книги под названием “Теории игр и экономическое поведение”.

Стратегия игроков определяется целевой функцией, которая показывает выигрыш или проигрыш участника. Формы этих игр многообразны. Наиболее простая разновидность – игра с двумя участниками. Если в игре участвуют не менее трёх игроков, возможно образование коалиций, что усложняет анализ. С точки зрения платёжной суммы игры делятся на две группы – с нулевой и ненулевой суммами. Игры с нулевой суммой называют так же антагонистическими: выигрыш одних в точности равен проигрышу других, а общая сумма выигрыша равна 0. По характеру предварительной договорённости игры делятся на кооперативные и некооперативные.

Наиболее известный пример некооперативной игры с ненулевой суммой – “дилемма заключённого”.

Итак. С поличным поймали 2х воров, которым предъявлено обвинение в ряде краж. Перед каждым из них встаёт дилемма – признаваться ли в старых (недоказанных) кражах или нет. Если признается только 1 из воров, то признавшийся получает минимальный срок заключения – 1 год, а другой максимальный – 10 лет. Если оба вора одновременно сознаются, то оба получать небольшое снисхождение – 6 лет, если же оба не признаются, то понесут наказание, только за последнюю кражу – 3 года. Заключённые сидят в разных камерах и не могут договориться друг с другом. Перед нам игра с некооперативная с ненулевой (отрицательной) суммой. Характерной чертой этой игры является невыгодность для обоих участников руководствоваться своими частными интересами. “дилемма заключённого” наглядно показывает особенности олигополистического ценообразования.

3.1. Равновесие Нэша

(Названное в честь Джона Форбса Нэша) в теории игр - тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) не совсем точно придумана Нэшем, Антуан Августин Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргернштерном (1947).

Формальное определение.

Допустим, - игра n лиц в нормальной форме, где - набор чистых стратегий, а - набор выигрышей. Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий игрок получает выигрыш . метьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого :

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Что же делать участвующим в игре агентам? Как им определить, какая стратегия лучше других?

Давайте для начала поставим перед собой более скромную цель: определить, какие стратегии точно не подойдут.

Определение 1.2 . Стратегия агента называется доминируемой, если существует такая стратегия , что

В таком случае говорят, что доминирует над .

Иначе говоря, стратегия доминируема, если существует другая стратегия, которая не хуже в каждой точке, при любых возможных комбинациях стратегий других агентов. Значит, нет вообще никакой причины предпочитать , и ее можно просто отбросить при анализе.

Пример 1.4 . Вспомним пример 1.2, в котором полковник Блотто собирался расставить войска на поле . Если проанализировать матрицу из примера 1.2, станет очевидным, что стратегии , и доминируются другими: например, стратегия окажется лучше любой из них. Разумеется, то же самое верно и для противника Блотто. Таким образом, матрица существенно сократится.

Конец примера 1.4 .

Пример 1.5 . В примере 1.3, в котором мы обсуждали конкуренцию по Курно, было очень много доминируемых стратегий. Таковыми были все стратегии : они гарантированно приносили неположительную прибыль , в то время как нулевая стратегия (, ничего не производить) гарантирует нулевую прибыль . Поэтому сразу можно было ограничиться анализом квадрата в качестве множества стратегий.

Конец примера 1.5 .

Правда, стоит заметить, что легко построить пример, в котором любая стратегия доминируема. Это будет значить, что некоторые стратегии эквивалентны, то есть доминируют друг над другом. В таких случаях хотя бы одну из них стоит оставить, а то совсем не из чего будет выбирать.

Продолжаем разговор. После доминируемых стратегий логично будет ввести доминантные стратегии .

Определение 1.3 . Стратегия агента называется доминантной , если всякая другая стратегия ею доминируется, то есть

Доминантная стратегия для агента - настоящее счастье. Ему вообще думать не надо: достаточно выбрать доминантную стратегию, все равно никакая другая ни при каком исходе ничего лучшего не даст.

Более того, если у всех агентов есть доминантные стратегии , то анализ такой игры закончится, не успев начаться. Можно с уверенностью сказать, что все агенты выберут свои доминантные стратегии .

Определение 1.4 . Равновесие в доминантных стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий , что для всякого агента стратегия является доминантной.

Такое равновесие является самым устойчивым из всех. В следующей лекции мы приведем пример из теории экономических механизмов, в котором возникает такое равновесие - так называемый аукцион Викри (см. теорему 2.1.

Но, к сожалению, счастье достижимо далеко не всегда. Ни в примере 1.1, ни в примере 1.2, ни в примере 1.3 никакого равновесия в доминантных стратегиях не получалось. Для каждой стратегии игрока там существовал профиль стратегий других игроков , в котором игроку было бы выгодно сменить на ту или иную .

Равновесие Нэша

В предыдущем параграфе мы обсудили, что если у агента есть доминантная стратегия , то ему вообще размышлять и беспокоиться не о чем: он может просто выбирать эту стратегию. Но что же делать участвующим в игре агентам, когда таких стратегий нет и не предвидится?

Тогда приходится учитывать не только свои собственные стратегии, но и стратегии других агентов. Учет этот приведет к понятию равновесия, сформулированному в 1950 году Джоном Нэшем .

Определение 1.5 . Равновесие Нэша в чистых стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий , что для всякого агента выполняется следующее условие:

Иначе говоря, как и прежде, агенту невыгодно отклоняться от избранной стратегии . Но теперь ему это невыгодно делать не абстрактно, при любом выборе стратегий у других агентов, а только в конкретном профиле стратегий .

Пример 1.6 . Продолжаем рассматривать беднягу Блотто. Матрица игры полковника без доминируемых стратегий была приведена в примере 1.4. Из матрицы легко видеть, что если один игрок выбирает стратегию , то от выбора другого уже ничего не зависит, то есть можно сказать, что другому тоже нет резона отклоняться от стратегии . Все это значит, что для данной игры профиль стратегий находится в равновесии Нэша.

Конец примера 1.6 .

Приведем и непрерывный пример - поверьте, нас еще ждут подобные рассуждения, и пора привыкать к чуть более серьезному анализу.

Пример 1.7 . Вернемся к анализу конкуренции по Курно из примера 1.3. На этот раз мы не будем ничего упрощать: пусть цена задается неизвестной функцией , а себестоимость производства для каждой фирмы - неизвестной функцией . Чтобы найти равновесие Нэша, найдем функцию лучшего ответа. Прибыль компании определяется как

Чтобы определить максимум функции для фиксированного , нужно просто найти производную

и приравнять ее к нулю. Соответственно, равновесие Нэша достигается там, где обе фирмы выдают оптимальный ответ на стратегию противника, то есть на решениях следующей системы дифференциальных уравнений :

Оставим читателю удовольствие проверить, что в рассмотренном в примере 1.3 частном случае равновесием Нэша действительно будет точка пересечения прямых на рис. 1.1 .

Конец примера 1.7 .

В определении 1.5 упоминался странный термин " чистые стратегии ": а какими еще они бывают? Оказывается, что стратегии бывают не только чистыми, но и смешанными. Смешанные стратегии - логичное расширение понятия стратегии: давайте разрешим игроку не только выбирать одну из , но и делать из них более или менее случайный выбор.

Определение 1.6 . Смешанная стратегия для игрока в стратегической игре - это распределение вероятностей , где - множество всех распределений вероятностей над .

Смешанную стратегию также можно рассматривать как задание весов для каждой стратегии так, чтобы сумма (в непрерывном случае - интеграл ) всех весов была равна 1.

Бывают игры, где нет равновесий Нэша для чистых стратегий . Но оно всегда (в конечном случае) есть в смешанных стратегиях .

Пример 1.8 . Вспомним игру "камень-ножницы-бумага", матрицу которой мы уже выписывали в примере 1.1.

Очевидно, что никакого равновесия Нэша в чистых стратегиях здесь нет: для любой стратегии найдется кому ее опровергнуть. Но равновесие Нэша в смешанных стратегиях здесь имеется. Предположим, что второй игрок выбирает камень, ножницы или бумагу с вероятностью , а первый выбирает их с вероятностями , и . Тогда первый игрок выигрывает с вероятностью

а также проигрывает и делает ничью с той же вероятностью. Иначе говоря, если противник выбирает стратегию равновероятно, для игрока все стратегии эквивалентны. Поскольку игра симметрична, получается, что профиль смешанных стратегий

находится в равновесии.

Конец примера 1.8 .

Доказательство того, что равновесие в смешанных стратегиях всегда существует, следует из теоремы Какутани о неподвижной точке [ , ].

Теорема 1.1 (Какутани) Пусть - непустое выпуклое компактное подмножество евклидова пространства , а - многозначная функция на с замкнутым графиком, такая, что множество непусто, замкнуто и выпукло для всех . Тогда у есть

Ученые вот уже почти шестьдесят лет используют теорию игр для расширения анализа стратегических решений, которые принимают фирмы, в частности для того, чтобы ответить на вопрос: почему на некоторых рынках фирмы стремятся сговориться, тогда как на других агрессивно конкурируют; использующие фирмы, чтобы не допустить вторжения потенциальных конкурентов; как должны приниматься решения о цене, когда меняются условия спроса или издержек или когда новые конкуренты вторгаются на рынок и т.

Первыми провели исследование в области теории игр Дж.-Ф. Нейман и О. Моргенштерн и описали результаты в книге "Теория игр и экономическое поведение" (1944). Они распространили математические категории этой теории на экономическую жизнь общества, введя понятие оптимальных стратегий, максимизации ожидаемой полезности, доминирование в игре (на рийку), коалиционных соглашений и тому подобное.

Ученые стремились сформулировать основополагающие критерии рационального поведения участника на рынке с целью достижения благоприятных результатов. Они различали две основные категории игр. Первая - "игра с нулевой суммой", предусматривающий такой выигрыш, который состоит исключительно из проигрыша других игроков. В связи с этим пользу одних непременно должна образовываться за счет потерь других игроков, так что общая сумма пользы и потерь всегда равна нулю. Вторая категория - "игра с плюсовой суммой", когда индивидуальные игроки соревнуются за выигрыш, состоящий из их же ставок. Иногда он образуется за счет наличия "выходного" (термин из карточной игры в бридж, который означает одного из игроков, который, делая ставку, не участвует в игре), совсем пассивного и часто является служащим объектом эксплуатации. В обоих случаях игра неизбежно сопряжена с риском, поскольку каждый из ее участников, как считали исследователи, "стремится максимально повысить функцию, переменные которой ним не контролируются". Если все игроки являются умелыми, то решающим фактором становится случайность. Но так бывает редко. Почти всегда важную роль в игре играет хитрость, с помощью которой делаются попытки раскрыть замыслы противников и завуалировать свои намерения, а затем занять выгодные позиции, которые заставили бы этих противников действовать в ущерб самим себе. Многое зависит и от "контрхитрости".

Большое значение во время игры имеет рациональное поведение игрока, т.е. продуманные выбор и осуществление оптимальной стратегии. Важный вклад в разработку формализованного (в виде моделей) описания конфликтных ситуаций, особенно в определении "формулы равновесия", т.е. устойчивости решений противников в игре, внес американский ученый Дж.-Ф. Нэш.

Нэш Джон Форбс родился в 1928 г.. (Г.. Влуефилд, США). Учился в университете Карнеги-Меллона по специальности инженера-химика, освоил курс "международная экономика". Получил диплом бакалавра и одновременно магистра математики.

В 1950 г.. В ИИриястонському университете защитил докторскую диссертацию на тему "некооперативных игры". Начиная с 1951г. И на протяжении почти восьми лет Нэш работал преподавателем Массачусетского технологического института, проводя одновременно активную научно-исследовательскую деятельность.

С весны 1959 ученый заболел и потерял работоспособность. В 70-е годы он смог вернуться к своим математических увлечений, однако производить научные результаты ему было трудно. Нобелевский комитет в 1994 фактически наградил труд, написанная в 1949

Член Национальной академии наук США, Бконометричного общества и Американской академии искусств и академии наук.

Досконально изучив различные игры, создав серию новых математических игр и наблюдая за действиями участников в различных игровых ситуациях, Нэш пытался глубже понять, как функционирует рынок, как компании принимают связаны с риском решения, почему покупатели действуют именно определенным образом. В экономике, как и в игре, руководители фирм должны учитывать не только последний, но и предыдущие шаги конкурентов, а также обстановку на всем экономическом (игровом, например, шахматном) поле и многие другие важные факторы.

Субъекты экономической жизни - активно действующие его участники, которые на рынке в условиях конкуренции идут на риск, и он должен быть оправдан. Поэтому каждый из них, как игрок, должен иметь свою стратегию. Именно это имел в виду Нэш, когда разрабатывал метод, который впоследствии назвали его именем (равновесие Нэша).

Свое понимание стратегии как основного понятия теории игр Дж.-Ф. Нэш разъясняет на основе "игры с нулевой суммой" (он называет это "симметричной игрой"), когда каждый участник имеет определенное число стратегий. Выигрыш каждого игрока зависит от того, какие стратегии выбрал и он, и его противник. На основании этого строится матрица для нахождения оптимальной стратегии, которая за многократного повторения игры обеспечивает этому игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш). Поскольку игроку неизвестно, какую стратегию выберет противник, ему самому лучше (рационально) выбрать стратегию, которая рассчитана на худшую для него поведение противнике (принцип так называемого "гарантированного результата"). Действуя осторожно и считая противника сильным конкурентом, наш игрок выберет для каждой своей стратегии минимально возможный выигрыш. Затем из всех минимально выигрышных стратегий он выберет такую, которая обеспечит максимальный из всех минимальных выигрыш - максимин.

Но и противник, вероятно, подумает аналогично. Он найдет для себя наибольшие проигрыши во всех стратегиях игрока, а затем из этих максимальных проигрышей выберет минимальный - минимакс. В случае равенства максимина мини Максу решения игроков будут устойчивыми, а игра будет иметь равновесие. Устойчивость (равновесие) решений (стратегий) состоит в том, что отходить от выбранных стратегий будет невыгодно для обоих участников игры. В случае, когда максимин не равна минимакса, решения (стратегии) обоих игроков, если они сколько-нибудь угадали выбор стратегии противника, оказываются неустойчивыми, невривно-важен.

Общее краткое определение равновесия Нэша - результат, в котором стратегия каждого из игроков является лучшей среди других, принятых остальными участниками игры стратегий. Это определение основывается на том, что ни один из игроков изменением собственной роли не может достичь наибольшей пользы (максимизации функции полезности), если остальные участники твердо придерживаются своей линии поведения.

Свою формулу равновесия Дж.-Ф. Нэш многократно усилил, включив в нее как незаменимый фактор для выработки стратегий показатель оптимального объема информации. Этот показатель оптимальности он вывел из анализа ситуаций (1) с полным информированием игрока о своих противников и (2) с неполным информированием о них. Переведя этот постулат с математического языка на язык экономической, Нэш ввел неуправляемые переменные рыночных отношений как важный информационный элемент знания условий внешней среды. После этого равновесие Нэша стала методом, используется практически во всех отраслях экономической науки для лучшего понимания сложных взаимосвязей, - отметил в октябре 1994 во время объявления новых лауреатов Нобелевской премии по экономике А. Линдбек, член Шведской королевской академии и председатель Нобелевского комитета по экономике.

Применение равновесия Нэша стало важным шагом в микроэкономике. ее использование способствовало углубленному пониманию развития и функционирования рынков, обоснованию стратегических решений, принимаемых менеджерами различных фирм. Равновесием Нэша можно пользоваться при изучении процесса ведения политических переговоров и экономического поведения, в том числе на олигополистических рынках.

По пионерной анализ равновесия в некооперативных играх Нобелевская премия по экономике 1994 года было присуждена Дж.-Ф. Нэш в, Р. Селтену и Дж. Харшани. Начиная с классического труда Дж. Неймана и О. Моргенштер-на "Теория игр и экономическое поведение", неотъемлемой частью экономического анализа стало исследование стратегии взаимодействия экономических субъектов в условиях, когда для выработки собственной линии поведения необходимо учитывать действия другого суб " объекта (как это происходит, в частности, в шахматах, преферансе и других играх). Эти трое Нобелевских лауреатов внесли большой вклад в ответвление теории игр - теорию некооперативных игр (то есть игр, когда достигнута договоренность между участниками). Принципиальным моментом этой теории является концепция равновесия, используется для предсказания результатов взаимодействия.

Равновесие Нэша стала фундаментальным понятием теории игр.

Анализ дискретного выбора

К последней четверти ХХ в. доминировало мнение, что основную роль в поведении потребителей играют здравый смысл и расчет. Именно с учетом прежде всего здравого смысла потребителей сформулированы либеральные экономические теории. Экономисты этого научного направления считают, что рынок как система отношений между экономическими субъектами способен саморегулироваться и устанавливать справедливые цены на товары и услуги на основе здравого смысла.

Хотя либеральная экономическая школа дала миру больше научных достижений, чем конкурентная консервативна, однако ее теории имеют ограниченное применение, что признают и ее сторонники. Например, монетарнсты (они же либералы) пока не сумели аргументированно объяснить поведение инвесторов на международных финансовых рынках и огромные колебания цен на мировые сырьевые ресурсы.

Либеральный рыночный подход оказался слишком упрощенным для надежного прогнозирования потребительского спроса на услуги и товары в условиях, когда потребители имеют огромный выбор подобных товаров и при этом не ограничены в объемах закупок, поскольку сейчас в развитых странах чрезвычайно распространен потребительский кредит. Кроме того, либеральная теория не может объяснить, например, покупку американской семьей (или английском семьей) американского (или английского) автомобиля, в то время как корейский стоит дешевле. То есть эта теория не принимает во внимание национальные и другие особенности поведения потребителей, которые с точки зрения здравого смысла трудно объяснить.

Поэтому в последнее время ученые-екоярмисты все чаще говорят о появлении новой экономической теории, сложившейся непосредственно на основе данных о поведении потребителей, которую надо изучать с помощью статистических методов. Эта теория предлагает описание способа измерения полезности. Несмотря на то, что подобные оценки носят субъективный характер, именно субъективность определяет их ценность для реализации экономической политики. Многие экономисты даже прогнозируют, что именно теория поведения потребителей (известный автор - Д. - Л. Мак-Федден) будет в XXI в. основой для определения экономической и политической стратегии развитых государств.

Мак-Федден ДаниельЛитл родился в 1937г. (г.. Ралейг, штатГОвн.Каролина, США). Учился и работал в Миннесотского университете. В 1962 г.. Защитил докторскую диссертацию, работал ассистентом профессора экономики в Питсбургском университете, затем профессором экономики в Калифорнийском университете, где с 1991 г.. Руководит эконометрической лабораторией.

Опубликовал в соавторстве такие труды: "Очерки об экономическом поведении в условиях нестабильности" (1974), "Спрос на городское передвижения: поведенческий анализ" (1976), "Экономика производства: двойной подход к теории и практики" (1978), "Структурный анализ дискретных данных с економетричяимы приложениями "(1981)," Мик-роекономичне моделирования и численный анализ: исследование спроса в коммунальном хозяйстве "(1984)," Справочник по эконометрики "(т.4,1994), а также много научных статей.

В течение 1983-1984 гг. Был вице-президентом, а в 1985 г.. - Президентом Эконометрического общества. У1994 г.. Избирался вице-президентом Американской экономической ассоциации. Член Национальной академии наук США, Американских эконометрического общества и академий искусств и наук, Американская экономическая ассоциация наградила его медалью Дж.-Б. Кларка, Эконометрическое общество - медалью Р. Фриша.

Известно, что довольно часто микроданные отражают дискретные выборы - выборы среди конечного множества альтернативных решений. В экономической теории традиционный анализ спроса предусматривал, что индивидуальный выбор должен быть представлен непрерывной переменной, но такая трактовка не соответствует изучению поведения дискретного выбора. Предыдущими достижениями многих ученых эмпирические исследования таких выборов не были обоснованными в экономической теории.

Методология анализа дискретного выбора Д.-л. Мак-Феддена коренится в микроэкономической теории, согласно которой каждый индивид выбирает определенную альтернативу, которая максимизирует его полезность. Функции полезности - это способы описания потребительского выбора: если выбран набор услуг X при том, что набор услуг В доступен, то X должен иметь большую полезность, чем В. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, адекватно описывала бы их поведение. Очевидно, что невозможно исследовать весь комплекс фактов влияния на выбор индивида, но анализ динамики изменений среди личностей с примерно одинаковыми характеристиками позволяет сделать достаточно объективные выводы.

Д.-л. Мак-Федден в сотрудничестве с Т, Домеником изучил поведение потребителей относительно регулярных транспортных поиздок1. В большинстве крупных городов у лиц, осуществляющих регулярные транспортные поездки, есть выбор: пользоваться общественным транспортом или ездить на работу автомобилем. Каждую из этих альтернатив можно рассматривать как набор различных характеристик: время нахождения в пути, время ожидания, имеющихся расходов, комфорта, удобства и тому подобное. Таким образом, можно обозначить продолжительность времени нахождения в пути для каждого рода поездки через х {, продолжительность времени ожидания для каждого вида поездки через х 2 и т. Д.

Если (хх, х2, Хя) представляет значение п различных характеристик автомобильных поездок, а (y1, y2 ... .. y п) - значения характеристик поездок на автобусе, то можно рассмотреть модель, в которой потребитель принимает решение о том, поехать ему автомобилем или автобусом, исходя из предпочтения одного набора указанных характеристик другому. Конкретнее можно предположить, что преимущества среднего потребителя в отношении указанных характеристик могут быть представлены функцией полезности вида:

где коэффициенты b и, b 2 i т. Д - неизвестные параметры. Любое монотонное преобразование этой функции полезности может описать потребительский выбор, однако с точки зрения статистики работать с линейной функцией значительно легче.

Предположим, что существует группа похожих по характеристикам потребителей, которые выбирают, поехать автомобилем или автобусом, основываясь при этом на конкретных данных о продолжительности времени поездок, о расходах и другие характеристики поездок, с которыми они сталкиваются. В статистике есть технические приемы, которые можно использовать для поиска значений коэффициентов Д, при и - 1, п, наиболее подходящие для исследовательской структуры выбора, осуществленного данной множественностью потребителей. Эти технические приемы статистики позволяют вывести оценочную функцию полезности для различных способов транспортного передвижения.

Мак-Федден и Доменик предложили функцию полезности вида:

где ТW - общее время ходьбы до автобуса или автомобиля или от него; ТТ - общее время поездки в минутах; С - общая стоимость поездки в долларах.

С помощью оценочной функции полезности удалось правильно описать выбор между автомобильным и автобусным транспортом для 93% домохозяйств взятой авторами выборки. Коэффициенты при переменных в изложенном уравнении показывают предельную полезность каждой такой характеристики. Отношение одного коэффициента к другому показывает предельную норму замещения одной характеристики другой. Например, отношение предельной полезности времени ходьбы пешком к предельной полезности общей продолжительности поездки указывает не то, что рядовой потребитель считает время ходьбы пешком примерно в 3 раза медленнее, чем время поездки. То есть потребитель был бы готов затратить 3 дополнительных минуты на поездку, чтобы сэкономить 1 минуту ходьбы пешком. Аналогично отношение стоимости поездки в общей продолжительности поездки указывает на выбор рядового потребителя относительно этих двух переменных. В исследовании рядовой пассажир оценивал минуту времени поездки на транспорте в 0,0411 х х 2,24 = 0,0183 долл. за минуту, что составляет 1,10 долл. в час. (Для сравнения - часовая зарплата среднего пассажира в 1967 г.. Составляла в сена 2,85 долл. В час.)

Такие оценочные функции полезности могут быть ценными для определения того, следует осуществлять какие-то изменения в системе общественного транспорта. Например, в приведенной выше функции полезности одним из важных факторов, объясняющих, чем руководствуются потребители в своем выборе, является продолжительность поездки. Городское управление транспортом могло бы при небольших затратах увеличить количество автобусов, чтобы сократить эту общую продолжительность поездки, но необходимо выяснить дополнительное количество пассажиров оправдает рост затрат.

Оперируя функцией полезности и выборке потребителей, можно сделать прогноз относительно того, какие потребители захотят совершать поездки автомобилем, а какие предпочтут автобуса. Это позволит получить некоторое представление о том, будет ли выручка достаточной для покрытия дополнительных расходов. Кроме того, можно использовать предельную норму замещения для формирования представления об оценке каждым потребителем сокращения времени поездок. По результатам исследования Мак-Феддена и Доменика рядовой пассажир в 1967 оценивал время поездки по ставке 1,10 долл. в час, он готов был заплатить 37 центов, чтобы сократить время поездки на 20 минут. Это число показывает степень выигрыша в долларах от более своевременного предоставления автобусных услуг. Наличие количественной меры выигрыша, безусловно, способствует принятию рациональных решений в сфере транспортной политики.

Еще один весомый вклад Мак-Феддена - это развитие в 1974 так называемого анализа условного логит. Модель предполагает, что каждый человек в жизни находится перед рядом альтернатив. Обозначим как X характеристики, связанные с каждой альтернативой, и как 2 характеристики лиц, исследователь может наблюдать с помощью имеющихся данных. Например, для изучения выбора способа путешествий, где альтернативой может быть автомобиль, автобус или метро, X может включать информацию относительно времени и расходов, тогда как X мог бы включать данные относительно возраста, дохода и образования. Но различия между индивидами и альтернативы папке, как между Х \%, хотя они незаметны исследователю, но именно они определяют индивидуальный максимально полезный выбор. Такие характеристики представлены случайными векторами ошибок. Мак-Федден предположил, что эти случайные ошибки имеют определенную статистическую дистрибуцию (распределение) среди населения, назвав ее дистрибуцией экстремального значения. В этих условиях (плюс некоторые технические предсказания) он продемонстрировал, что вероятность того, что лицо и выберет альтернативу /, может быть записана в виде многочленов логит-модели:

где e - основание натурального логарифма; b и b - параметры (векторы). В своей базе данных исследователь может наблюдать переменные X и Z фактически так, как индивид выбирает альтернативу. В результате ученый способен оценить параметры р и <5, использовав известные статистические методы. Мак-Федденивське дифференцировки логит-модели осталось новацией и признается фундаментальным достижением.

Модели обычно используются в исследованиях спроса на городские перевозки. Они также могут применяться на транспорте, когда планируется изучить эффективность политических мер, а также социальных реформ или изменений окружающей среды. Например * эти модели могут объяснить, как изменения в цене товаров улучшают их доступность, влияют они на демографическую ситуацию, на объемы путешествия, используя альтернативные способы передвижения. Модели также приемлемые для многих других сфер, в частности, в исследованиях выбора жилого помещения, места жительства или образования. Мак-Федден использовал разработанные методы для анализа многих социальных проблем, таких как спрос на бытовую энергию, телефонные услуги и обеспечение жильем людей пожилого возраста и тому подобное.

В результате своих исследований ученый пришел к выводу, что условные логит-модели имеют определенную особенность относительно вероятности выбора между двумя альтернативами, например путешествия автобусом или поездом, независимыми от цены других вариантов передвижения. Эта особенность, названная независимостью несвязанных альтернатив (ННА), нереалистично для статистического потребления. Д.-л. Мак-Федден изобрел не только статистические тесты для установления соответствия ННА, но и предложил общие модели, названные заключенным логит-моделями, которые предусматривают, что выборы индивидов могут быть сделаны в определенной последовательности. Например, при исследовании решений, касающихся места жительства и типа жилья, принято, что гражданин сначала выбирает микрорайон, а затем - тип жилого помещения.

Даже с этими обобщениями модели весьма чувствительны к определенным предсказаний относительно дистрибуции ненаблюдаемых характеристик среди населения. В течение последнего десятилетия Д.-л. Мак-Федден разработал имитационные модели (методы моделируемых моментов) для статистической оценки дискретного выбора моделей, которые допускают гораздо более основных предположений. Мощные компьютеры расширили практическую приспособленность этих численных методов. В результате дискретные выборы индивидов теперь могут быть описаны более реалистично, а их решения - предусмотрены точнее. На основе своей новой теории Мак-Федден разработал микроеконометрични модели, которые могут использоваться, например, для предсказания намерений той части населения, которая будет выбирать различные альтернативы. За развитие методики формального обработки индивидуальных статистических и экономических данных Мак-Феддена отмечено Нобелевской премией.

Д.-л. Мак-Федден в 60-е годы также изобрел эконометрические методы оценки производственной технологии и исследовал факторы, косвенно влияют на потребность фирмы в капитале и в рабочей силе. В течение 90-х лет талантливый ученый научно развил экономику природопользования, обогатил методическую литературу по оценке стоимости природных богатств, в частности исследовал потери общественного богатства вследствие нанесенных в 1989 г.. Убытков окружающей среде нефтяным пятном, движущейся от пострадавшего в аварии танкера "Exxon Valdez * вдоль побережья Аляски.

Лейтмотивом исследований профессора Д.-л. Мак-Феддена е попытки объединить экономическую теорию, статистические и эмпирические методы для решения с их помощью социальных проблем. Его научные разработки также помогают социологам и политикам оценить выбор голосующих, исходя из змьн в их доходах и др.

Мак-Федден первым предложил методологию анализа дискретного выбора, согласно которой каждый индивид выбирает определенную альтернативу, которая максимизирует его полезность. Функции полезности представляют собой способы описания потребительского выбора. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, адекватно описывала бы их поведение.