Почему 2x2 равно 5. Математика, которая мне нравится

Добрый день. Все собрались? Приступим, - в Институте Точных Поручений началось Совещание по Приоритетным направлениям работы.

Заместитель Главного Руководителя Института, Председатель Комиссии по Приоритетным направлениям работы обвёл взглядом всех присутствующих.

Он курировал в Институте Стратегические и Очень Важные направления работы и поэтому не мог допустить, чтобы на обсуждении Серьезных вопросов отсутствовали представители профильных Управлений Института.

Приступим, - повторил Заместитель Главного Руководителя Института Точных Поручений.

Присутствующие на Совещании Руководители отдельных Управлений в ожидании очередного Серьезного разговора не скрывали своего напряженного состояния.

Кто-то заметно нервничал, перекладывая бумаги с места на место. Кто-то теребил в руках авторучку, постоянно снимая и снова надевая на неё защитный колпачок.

На повестке нашего очередного Важнейшего Совещания по Приоритетным направлениям работы сегодня несколько вопросов, - продолжил Заместитель Главного Руководителя.

В ожидании очередного Чего-то аудитория замерла.

Все сегодняшние вопросы касаются исполнения тех Точных Поручений, которые формулировались давно, и к текущему моменту должны были быть исполнены, - ведущий заседания сразу обозначил суть начинающегося Совещания.

Как известно, у нас с вами на исполнении есть ряд Важнейших Точных Поручений. Управление Мониторинга Исполнения Поручений нашего Института, которое, как вы все знаете, подчиняется непосредственно Главному Руководителю Института, проинформировало его о том, что целый ряд Точных Поручений до сих пор не исполнен. Причем Поручения были выданы давно, с конкретными Точными формулировками и заранее обозначенными Точными сроками исполнения. Вы все должны знать и чётко понимать всю Важность Точности исполнения Точных поручений. И по существу, и по срокам, - озвучил подробности Заместитель Главного Руководителя.

Было заметно, что присутствующие начали переглядываться между собой с немыми вопросами друг другу о том, о каких именно Точных Поручениях сегодня пойдёт речь и каким образом будет проходить сегодняшний «разбор полётов» по ним.

Управление Мониторинга подготовило аналитику в части исполнения Точных Поручений, согласно данных которой можно сделать выводы о крайне неэффективном состоянии текущей работы по исполнению Поручений. Сегодня мы должны рассмотреть причины неисполнения в срок некоторых Точных Поручений, а также сделать определённые организационные выводы по исправлению ситуации, которая по факту является на текущей момент неудовлетворительной, - дополнительно пояснил Стратегические детали Совещания Председатель Комиссии по Приоритетным направлениям работы.

Давайте перейдём к конкретным Точным Поручениям, которые до сих пор не исполнены. Вот, например, самая острая ситуация на сегодняшний день наблюдается по исполнению, вернее, по не исполнению в срок Точного Поручения об алгоритме доказательства того, что дважды два пять. Начальник Управления Математики, вы являетесь Главным ответственным за исполнение этого Точного Поручения. Почему это поручение до сих пор не исполнено? - перешёл к конкретике Заместитель Главного Руководителя.

Уважаемый Председатель Комиссии по Приоритетным направлениям работы! Наше Управление позавчера направляло письмо в Управление Мониторинга Исполнения Поручений, где представило сводную информацию по данному вопросу, а также сформулировало просьбу перенести контрольные сроки исполнения Точного Поручения о «дважды два пять» на более поздние сроки, - начал комментировать ситуацию Начальник Управления Математики.

Позвольте, - вступил в разговор Начальник Управления Мониторинга Исполнения Поручений, - Мы действительно позавчера получили от вас такое письмо. Но хочу обратить внимание, что такая просьба - о перенесении сроков исполнения этого Точного Поручения - от вас поступает уже четвёртый раз! Мало того, что вы постоянно нам шлёте отписки, из которых совершенно непонятно, каким образом по существу вы будете доводить до логического завершённого конца исполнение поручения. Так вы еще и сроки постоянно просрочиваете! Четвертый перенос сроков исполнения Важнейшего Точного поручения - это не просто просрочка исполнения. Фактически это - вопиющее должностное нарушение, которому нужно дать объективную и очень серьёзную оценку!

Не согласен насчет отписок, - Начальник Управления Математики предпринял попытку оправдаться. - Считаю, что с организационной точки зрения мы работаем эффективно: мы своевременно разослали нашим соисполнителям, другим Управлениям, просьбы об организации работы в части их касающейся. Мы оперативно собираем информацию от них, анализируем её. Пытаемся найти применение их предложениям в решении поставленной задачи. Специалисты нашего Управления интенсивно работают над исполнением этого Точного Поручения. Но, к сожалению, в полном объеме его исполнить пока не представляется возможным. На сегодня не найдено ни одного доказательства, что дважды два пять. Как уже сказал, наши коллеги из других Управлений как соисполнители Точного Поручения по нашим запросам направляют нам актуализированную информацию о проделанной ими работе. Но ни у кого из них до сих пор тоже нет каких-либо конкретных предложений по существу для решения этой задачи.

Понятно. Но всё-таки вынужден констатировать, что исполнительская дисциплина очень сильно хромает. Вы не исполнили Точное Поручение в срок, и я пока не вижу конструктивных предпосылок для его исполнения вами в ближайшее время, - гневно заметил Заместитель Главного Руководителя. - Всё-таки конкретно поясните, каким образом вы пытались исполнить это Важнейшее Точное Поручение?

Мы пытались использовать самые разные методы, начиная от арифметических прогрессий и заканчивая тройными эллиптическими интегралами. Пытались задействовать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, а также использовать численные методы математического моделирования. Строили стохастические процессы и применяли теорию функций комплексного переменного. Безрезультатно. Дважды два всё равно четыре. И так получается каждый раз, при применении любого из методов. Но мы продолжаем работать по направлению исполнения Точного Поручения - получить пять, умножив два на два. Для этого мы и просим перенести контрольный срок исполнения этого Точного Поручения на более позднее время, - дал дополнительные пояснения Начальник Управления Математики и попросил очередной отсрочки исполнения контрольного Точного Поручения.

Мда.. Вы меня не убедили. Если всё ваше Управление не может уже который месяц исполнить достаточно простое и очень Точное Поручение, то возникает вопрос об эффективности вашей работы. Ваше Управление должно работать на результат, который должен быть измерим своевременным и полным исполнением Точного Поручения. В данном случае уже давно можно было решить задачу, что дважды два пять. Это ведь и так очевидный факт! Или вы хотите, чтобы я за вас решил эту, повторюсь, простую и Точную задачу?! Если так, то зачем тогда в нашем Институте Точных Поручений есть целое Управление Математики? Зачем? - жёстко «пригвоздил» Начальника Управления Математики Заместитель Главного Руководителя.

После небольшой паузы он продолжил:

Давайте послушаем соисполнителей Точного Поручения. Каким образом работают другие Управления нашего института по соисполнению данного Важнейшего Точного Поручения. Пожалуйста, Управление Физики.

Уважаемый Председатель Комиссии по Приоритетным направлениям работы! Наше Управление физики, конечно, своевременно и в полном объеме подключилось к исполнению этого Важнейшего Точного Поручения. Но, конечно, в части касающейся. Например, мы проанализировали возможность использования теории ядерной физики и практики нанотехнологий. Пришли к выводу, что теоретически возможно, что дважды два пять, но окончательное решение этой задачи всё же не входит в компетенцию нашего Управления. Мы направили в установленные сроки информацию о проделанной нами работе в Управление Математики и, таким образом, считаем, что в нашей части, как у соисполнителей, Точное Поручение исполнено, - отрезал Начальник Управления Физики.

Понятно. То есть тоже ничего конкретного. Хм.. Какие будут мнения у других участников заседания?

Заместитель Главного Руководителя всё-таки надеялся, что ему не придётся завтра оправдываться перед Главным Руководителем Института за очередное не исполненное в установленные сроки Точное Поручение.

Позвольте слово, - поднял руку Начальник Отдела Схоластики Управления Философии.

Да, пожалуйста, - предоставил ему слово Заместитель Главного Руководителя.

Я, наверно, лезу не в свою компетенцию. Но дважды два действительно пять, и это легко доказать, - сразу заинтриговал Начальник Отдела Схоластики.

Рассказывайте! - более спокойно и, в то же время, очень заинтересованно попросил Заместитель Главного Руководителя Института.

Всё очень просто. Или, наверно, не просто. Но, давайте порассуждаем. Как сказал ранее Начальник Управления Математики, они уже неоднократно получали результаты, что дважды два четыре. Поэтому достаточно доказать, что четыре равно пяти, и тогда будет следовать, что дважды два равно также пяти. Смотрите. Запишем равенство 1 = 1. Перепишем его вот так, в виде равенства отношений 4:4 = 5:5. Это равенство верно, так как если четыре разделить на четыре, то получится один, и, если пять разделить на пять, то тоже получится один. Дальше в левой части уравнения вынесем 4 «за скобки», а в правой части вынесем «за скобки» 5. Получится, что 4 * (1:1) = 5 * (1:1). Или, как следствие, 4 = 5. Учитывая, что дважды два четыре, а пять равно четырём, получается что дважды два пять! - с нескрываемым торжеством в голосе изложил суть своего решения Начальник Отдела Схоластики.

Но, позвольте, данные рассуждения ошибочны! - воскликнул Начальник Управления Математики.

Не согласен. Я же доказал! - парировал Начальник Отдела Схоластики. - Предлагаю включить в Протокол решений сегодняшнего Совещания новое Точное Поручение Управлению Математики - применить на практике доказанный факт того, что дважды два равно пяти. Только - с конкретными предложениями! А Точное Поручение о доказательстве того, что дважды два пять, предлагаю считать исполненным и снять с контроля.

Великолепно! Так и сделаем! - воскликнул довольным голосом Заместитель Главного Руководителя. - Вот видите, Начальник Управления Математики! Оказывается, всё очень просто. И Точные Поручения на самом деле не такие сложные. Вы просто не хотите работать! Учтите, что некачественное исполнение Поручений может повлечь за собой серьезные организационные выводы в отношении и вас, и ваших сотрудников, которые непонятно чем занимаются в нашем Институте. Всем должно быть понятно, что Точные Поручения должны исполняться качественно и в установленные сроки! Начальник Управления Мониторинга Исполнения Поручений, снимите с контроля Точное Поручение о «дважды два пять» и сформулируйте новые Точные Поручения Управлению Математики на основе того, что дважды два всё-таки пять.

Прошу вас, послушайте. На самом деле дважды два далеко не пять, потому что… – Начальник Управления Математики попытался начать приводить контраргументы.

Нет! Не хочу ничего слышать! - оборвал его Заместитель Главного Руководителя, - Тема Точного Поручения «дважды два пять» закрыта! Переходим к обсуждению проблем с другим Точным Поручением, по которому тоже закончились все разумные сроки исполнения, а результата как не было, так и нет. Кстати, ответственным за него тоже являетесь вы, Начальник Управления Математики!

Начальники всех Управлений, кроме Математики, облегченно вздохнули и стали ждать дальнейшего развития событий.

Так вот, - продолжил Заместитель Главного Руководителя, - Точное Поручение, по которому до сих пор нет вразумительного исполнения, касается параллельных прямых. Их уже давно надо было пересечь. И вам, Начальник Управления Математики, требовалось всего лишь найти доказательство того, что параллельные линии пересекаются. Очень Точное Поручение было сформулировано. Точнее некуда!

Можно слово? - не дожидаясь реакции Начальника Управления Математики сразу поднял руку Начальник Отдела Схоластики…

На этом заседание Комиссии предлагаю завершить. Все Важнейшие вопросы, которые перед нами стояли сегодня, мы успешно рассмотрели. Да, кстати, Начальник Управления Кадров, подготовьте на имя Главного Руководителя Института представление на дисциплинарное взыскание в виде выговора Начальнику Управления Математики за бездействие по исполнению всех трёх Точных Поручений, а также на поощрение в виде благодарности и премии Начальнику Отдела Схоластики за оперативное и качественное содействие в их исполнении. Начальник Управления Мониторинга, зафиксируйте эту мою просьбу в виде отдельного протокольного Точного Поручения и установите контрольный срок его исполнения, - завершил Важнейшее Совещание по приоритетным направлениям работы Заместитель Главного Руководителя Института Точных Поручений.

Через неделю состоится следующее заседание, на котором будет рассматриваться ситуация по ряду других Точных Поручений, которые стоят на постоянном контроле в нашем Институте. В частности, это касается Точного Поручения по превращению свинца в золото. Начальник Управления Химии, мне уже предварительно Управление Мониторинга давало аналитическую информацию о том, что есть и просрочки по срокам, и в принципе некачественное исполнение этого и других Точных Поручений, которые были вам выданы и которые должны были быть давно исполнены по вашей линии, - добавил он.

Поделится с нами этим доказательством, а заодно и расскажет об аксиомах арифметики. Дадим ему слово:

"Этот текст -- популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем, нет смысла знакомиться с написанным. Для профессиональных математиков всё излагаемое является стандартным.

Всякий, кто учился в школе, слышал о том, что в геометрии есть аксиомы. Ну, типа того, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Полный список аксиом геометрии довольно длинный, и в подробностях это дело в школе не изучается. Но все или почти все так или иначе знают, что на основании аксиом при помощи логических рассуждений доказывают разные теоремы. Например, знаменитую теорему Пифагора.

А как дело обстоит в арифметике? У многих это слово ассоциируется с любимой таблицей умножения, действиями над числами вроде сложения или умножения "столбиком". Как ни странно, в школе ни слова не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на аксиомах подобно тому, как это делается в геометрии. При этом известные арифметические законы не упадут к нам с неба, а будут выведены из принятых аксиом. Даже такой факт как "дважды два -- четыре" доказывается , хотя само доказательство весьма простое.

Аксиомы арифметики формулируются намного проще аксиом геометрии. В этой связи может показаться странным, что не только в школе, но даже во многих вузах их не только не изучают, но даже не упоминают об их существовании. Разумеется, математикам-профессионалам всё это прекрасно известно, но вот выпускники технических вузов запросто об аксиомах арифметики могли и не слышать.

Я предлагаю сделать сначала несколько простых наблюдений, а потом выписать в явном виде все аксиомы арифметики, которых будет всего пять. Мы возьмём за основу "школьную" версию натурального ряда, считая, что он начинается с единицы. (В некоторых версиях удобнее начинать его с нуля, но это специально оговаривается.)

Итак, посмотрим на натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, ... и так далее. Что мы можем заметить? В начале стоит число 1, а за каждым числом стоит следующее. Далее, у каждого числа кроме единицы имеется предыдущее. Эти простейшие замечания охватывают четыре из пяти нужных нам аксиом. О пятой аксиоме, наиболее важной из всех, следует поговорить особо. Пока что мы её можем сформулировать несколько упрощённо, сказав, что до любого натурального числа можно досчитать (хотя бы в принципе), начиная с единицы и переходя от очередного числа к следующему за ним.

Сейчас мы немного отвлечёмся и рассмотрим такую известную задачу: как быстро найти сумму 1+2+...+100, т.е. сложить числа от 1 до 100? Один из способов состоит в том, чтобы сгруппировать первое число с последним, второе -- с предпоследним и так далее. Всего получится 50 пар, а в каждой паре сумма чисел составит 101. Поэтому вся сумма равняется 5050. Нетрудно проверить, что на самом деле сумма первых n натуральных чисел составит n(n+1)/2 для любого n. То есть мы имеем такую формулу: 1+2+...+n = n(n+1)/2. Это один из примеров утверждения, справедливого для всех натуральных чисел. Можно привести и другие примеры. Возьмём известное правило: от перестановки слагаемых сумма не меняется. В виде формулы мы можем записать этот закон так: a+b=b+a (опять же для любых натуральных чисел a и b).

Итак, мы видим, что ситуация, когда нечто требуется доказать для всех натуральных чисел, встречается весьма часто. Поскольку натуральных чисел бесконечно много, то и частных утверждений приходится доказывать бесконечно много. Возьмём в качестве примера упоминавшийся выше закон a+b=b+a. Число a мы зафиксируем, а число b будем менять. Мы получим бесконечное число утверждений: a+1=1+a, a+2=2+a, a+3=3+a, ... и так далее. Как можно в принципе доказать разом бесконечное число утверждений? Представим себе, что мы доказали самое первое. Затем из него вывели второе. Затем из второго вывели третье, и так до бесконечности. Идея состоит в том, что если каждое следующее утверждение выводится из предыдущего одним и тем же способом, то достаточно доказать первое утверждение, а потом объяснить, каким образом из любого утверждения списка выводится следующее за ним.

Сейчас нам удобно будет ввести важное для дальнейшего обозначение. Для любого натурального числа n мы обозначим следующее за ним число через n". Может возникнуть вопрос: почему n", а не n+1? Ведь n" на самом деле равно n+1. Это правда, но мы при построении аксиоматики будем базироваться только на понятии единицы и понятии следующего натурального числа . Сложение -- это уже отдельная операция, которая будет определена после того, как мы выпишем все аксиомы. То же касается умножения.

Итак, вернёмся к примеру из предыдущего абзаца. Для того, чтобы доказать бесконечную цепочку однотипных утверждений, нам достаточно научиться решать две задачи, которые мы будем называть "Базой" и "Шагом". Базой будет называться доказательство первого утверждения списка. Шагом -- переход от одного утверждения списка к следующему за ним. В рассматриваемом примере это выглядит так:

База. Требуется доказать, что a+1=1+a.
Шаг. Известно, что a+b=b+a для некоторых a,b. Требуется вывести отсюда, что a+b"=b"+a.

Такой приём, который мы здесь использовали, называется методом математической индукции . А теперь дадим полный список аксиом арифметики. Их называют аксиомами Пеано по имени итальянского математика Джузеппе Пеано (1858--1932).

(А1) 1 есть натуральное число.
(А2) Для любого натурального числа n имеется натуральное число, обозначаемое n" и называемое числом, следующим за n.
(А3) Если m"=n" для каких-либо натуральных чисел m,n, то m=n.
(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n" никогда не равно 1.
(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P , и для любого числа n, обладающего свойством P , следующее за ним число n" также обладает свойством P , то всякое натуральное число обладает свойством P .

Последняя аксиома называется принципом математической индукции . По сути она и означает, что до любого числа можно досчитать. Метод доказательства, который мы описали выше, как раз и основан на этой аксиоме. То есть если мы хотим доказать что неким свойством P обладают все натуральные числа, то мы осуществляем две проверки. Сначала проверяем, что 1 обладает свойством P -- "База", а затем предполагаем, что какое-то число n уже обладает свойством P и доказываем, что следующее за ним число n" также обладает свойством P -- "Шаг". (Грубо говоря, мы при этом "шагаем" от n к n".)

Помимо аксиом и теорем в математике также используются определения. Мы имеем право использовать пока только число 1 и применять операцию перехода к следующему числу. Что такое число 2? Пока что оно не определено. Но мы можем дать его определение, сказав, что 2 -- это число, следующее за 1, т.е. 1". Теперь мы знаем, что такое 2 и имеем право определить число 3 при помощи равенства 3=2". Понятно, что далее мы определяем число 4 как 3" и так далее. Все числа оказываются теперь в нашем
распоряжении.

Пока что мы не умеем ни складывать, ни умножать числа. Поэтому нам потребуется определить операцию сложения, то есть придать смысл записи x+y, где x,y -- натуральные числа. Зафиксируем x и определим последовательно значения выражений x+1, x+2, x+3, ... и так далее. Здесь нам на помощь снова приходит идея индукции. Какова первая задача -- "База"? Надо определить значение выражения x+1. Как это сделать -- понятно: нужно положить по определению, что x+1 есть не что иное как x". Вторая задача -- это "Шаг". Мы будем "шагать" от числа y к числу y", т.е. будем считать, что значение выражения x+y для данных двух чисел уже определено, и теперь надо определить, чему равно значение выражения x+y". Легко понять, что это значение на единицу превышает x+y, т.е. следует за ним. И потому за x+y" нам следует принять не что иное как (x+y)". Выпишем отдельно получившееся определение сложения :

(S1) x+1=x"
(S2) x+y"=(x+y)"

По сути дела, мы последовательно учимся прибавлять к данному числу x все числа: 1, 2, 3, ... . Правило (S1) показывает нам, как прибавить единицу. Чтобы прибавить двойку, т.е. число 1", мы пользуемся правилом (S2), уже зная, что такое x+1. После этого мы знаем, что такое x+2 и по правилу (S2) находим x+3, т.е. x+2". Тем самым сумму любых двух чисел мы определили.

Осталось определить операцию умножения, т.е. научиться находить произведение x*y любых натуральных чисел. Мы действуем аналогично. Сначала определим выражение x*1 (всем понятно, что оно равно x). Это приводит к правилу (P1) ниже. Далее мы должны предположить, что для каких-то чисел уже известно, что такое x*y, и требуется придать смысл выражению x*y". Чему оно должно быть равно? Поскольку мы хотим построить обычную арифметику, то должны выполняться все привычные для нас законы. В частности, должно выполняться правило раскрытия скобок. Это значит, что x*y"=x*(y+1)=x*y+x*1=x*y+x. Заметим, что мы здесь не пользовались законом раскрытия скобок (он у нас не доказан), а лишь следовали нашей надежде, что он будет выполняться . В соответствии с ним произведение x*y" должно быть определено именно так, как мы это сделали. Итак, вот определение умножения :

(P1) x*1=x
(P2) x*y"=x*y+x

Обратим внимание на то, что выражение в правой части равенства (P2) имеет смысл. В самом деле, значение x*y для данных чисел определено, а складывать мы умеем какие угодно числа.

Теперь настал торжественный момент. Мы в состоянии доказать (т.е. вывести из аксиом) одно из самых знаменитых равенств: "дважды два -- четыре". При этом, разумеется, мы вовсю будем пользоваться определениями: как самих конкретных чисел -- 2, 3, 4, так и определениями для суммы и произведения, которые у нас выписаны в виде правил.

Теорема. 2*2 = 4.

Доказательство. Мы выпишем цепочку равенств, а затем объясним каждый из переходов: 2*2 = 2*1" = 2*1+2 = 2+2 = 2+1" = (2+1)" = (2")" = 3" = 4. Здесь было использовано восемь равенств. Отметим, что в процессе доказательства мы сначала пришли к выводу, что 2*2=2+2 и лишь затем к тому, что ответом будет 4.

Проанализируем каждое из равенств по отдельности. Сначала мы использовали определение двойки: 2=1". Второй знак равенства использован на основании правила (P2) при x=2, y=1. Это естественно, так как перед нами стояла задача умножить 2 на 1". Далее мы воспользовались правилом (P1) при x=2, заменяя 2*1 на 2. Теперь мы должны вычислить 2+2. Второе слагаемое по определению равно 1", т.е. нужно выполнить действие 2+1". В этом нам поможет правило (S2) при x=2, y=1. Теперь правило (S1) поможет нам вычислить сумму 2+1. Мы получим 2", т.е. 3 в силуопределения тройки. Наконец, последний переход основан на использовании определения числа 4. Теорема доказана!

Вот какие "глубины" скрываются за столь простыми фактами. Ясно, что вся таблица умножения может быть получена таким же образом (т.е. каждое равенство из таблицы умножения -- это отдельная теорема).

1. (a+b)+c=a+(b+c) -- сочетательный (ассоциативный) закон сложения
2. a+b=b+a -- переместительный (коммутативный) закон сложения
3. (a+b)*c=a*c + b*c -- распределительный (дистрибутивный) закон
4. (a*b)*c=a*(b*c) -- сочетательный (ассоциативный) закон умножения
5. a*b=b*a -- переместительный (коммутативный) закон умножения

Заметим, что при кажущейся "простоте" последний закон имеет довольно длинное (хотя и вполне тривиальное) доказательство, основанное на предыдущих законах.

Все законы доказываются примерно по одной и той же схеме -- методом математической индукции. Проиллюстрируем это на примере первого из них.

Нам требуется доказать, что (a+b)+c = a+(b+c) для любых натуральных чисел a,b,c. Значения первых двух чисел зафиксируем, а третье число c будет последовательно принимать значения c=1, c=2, c=3, ... и так далее. В соответствии с принципом математической индукции достаточно доказать два утверждения: "Базу" (c=1) и "Шаг" (от c к c").

База. Здесь c=1. Требуется доказать, что (a+b)+1=a+(b+1). Действительно, (a+b)+1=(a+b)"=a+b"=a+(b+1). Здесь мы сначала использовали правило (S1) при x=a+b, поменяв местами правую и левую части. Второй переход основан на правиле (S2). Третий переход -- это правило (S1) при x=b.

Шаг. Пусть дано, что (a+b)+c=a+(b+c) для некоторых чисел a,b,c. Требуется доказать, что (a+b)+c"=a+(b+c"). Доказательство: (a+b)+c"=((a+b)+c)"=(a+(b+c))"=a+(b+c)"=a+ (b+c"). Здесь сначала использовано (S2) при x=a+b, y=c, затем данное нам предположение о том, что (a+b)+c=a+(b+c), потом вновь правило (S2) при x=a, y=b+c и на последнем шаге -- снова (S2) при x=b, y=c.

На этом пути доказываются и другие законы. Заметим, что при доказательстве "Базы" для случая второго из законов мы приходим к необходимости проверить равенство a+1=1+a. Оно само по себе содержит бесконечно много утверждений, и в таких случаях снова работает метод математической индукции. То есть наиболее простой путь состоит в том, чтобы сначала доказать лемму о том, что 1+a=a" (при помощи индукции), а потом воспользоваться леммой в ходе доказательства переместительного закона сложения.

Этими законами всё не ограничивается. Так, часто используются следующие законы сокращения :

6. из условия a+c=b+c следует a=b -- закон сокращения для сложения
7. из условия a*c=b*c следует a=b -- закон сокращения для умножения

(Заметим, что закон 6 верен для любых чисел, а закон 7 -- нет, так как на ноль сокращать нельзя. Но в нашей ситуации все числа положительны, и закон справедлив.) Кстати, мы очень часто использовали аксиому (A5); также мы использовали аксиомы (А1) и (А2), говоря о единице и о взятии следующего числа. Аксиомы (А3) и (А4) не использовались; они нужны для доказательства законов сокращения. Причём закон сокращения для умножения не так-то просто доказать "в лоб", и удобнее всего для начала ввести неравенства и доказать их основные свойства. Проиллюстрируем это на примере определения отношения "меньше". Что означает, что число x меньше числа y? Ясно, что большее из чисел равно сумме меньшего из чисел и ещё какого-то (положительного) числа. Поэтому определение выглядит так: считаем, что x меньше y, если найдётся такое (натуральное) число z, что x+z=y .

Вот так строится арифметика. Основные понятия, аксиомы, определения, теоремы. Отдельно заметим, что мы говорили лишь об элементарных свойствах чисел. А вообще-то теория чисел -- наука очень сложная: в ней имеются открытые проблемы, поставленные несколько сотен лет назад, формулировка которых понятна любому школьнику. Они пока ждут своего решения."

& Он задумался, как задумывался уже не раз, а не сумасшедший ли он сам. Может быть, сумасшедший тот, кто в меньшинстве, в единственном числе. Когда-то безумием было думать, что Земля вращается вокруг Солнца; сегодня — что прошлое неизменяемо. Возможно, он один придерживается этого убеждения, а раз один, значит — сумасшедший. Но мысль, что он сумасшедший, не очень его тревожила: ужасно, если он вдобавок ошибается.

& В конце концов партия объявит, что дважды два — пять, и придется в это верить. Рано или поздно она издаст такой указ, к этому неизбежно ведет логика ее власти. Ее философия молчаливо отрицает не только верность твоего восприятия, но и само существование внешнего мира. Ересь из ересей — здравый смысл. И ужасно не то, что тебя убьют за противоположное мнение, а то, что они, может быть, правы. В самом деле, откуда мы знаем, что дважды два — четыре? Или что существует сила тяжести? Или что прошлое нельзя изменить? Если и прошлое и внешний мир существуют только в сознании, а сознанием можно управлять — тогда что?

& Партия велела тебе не верить своим глазам и ушам. И это ее окончательный, самый важный приказ. Сердце у него упало при мысли о том, какая огромная сила выстроилась против него, с какой легкостью собьет его в споре любой партийный идеолог — хитрыми доводами, которых он не то что опровергнуть — понять не сможет. И однако он прав! Они не правы, а прав он. Очевидное, азбучное, верное надо защищать. Прописная истина истинна — и стой на этом! Прочно существует мир, его законы не меняются. Камни — твердые, вода — мокрая, предмет, лишенный опоры, устремляется к центру Земли. ...Уинстон написал:
Свобода — это возможность сказать, что дважды два — четыре.
Если дозволено это, все остальное отсюда следует.

& Но если есть надежда, то она — в пролах. За эту идею надо держаться. Когда выражаешь ее словами, она кажется здравой; когда смотришь на тех, кто мимо тебя проходит, верить в нее — подвижничество.

& — Да, на вид я именно такая. Хорошая спортсменка. В разведчицах была командиром отряда. Три вечера в неделю занимаюсь общественной работой в Молодежном антиполовом союзе. Часами расклеиваю их паскудные листки по всему Лондону. В шествиях всегда несу транспарант. Всегда с веселым лицом и ни от чего не отлыниваю. Всегда ори с толпой — мое правило. Только так ты в безопасности.

& Это окупается, сказала она, — маскировка. Если соблюдаешь мелкие правила, можно нарушать большие.

& Любой организованный бунт против партии, поскольку он обречен, представлялся ей глупостью. Умный тот, кто нарушает правила и все-таки остается жив.

& В отличие от Уинстона она поняла смысл пуританства, насаждаемого партией. Дело не только в том, что половой инстинкт творит свой собственный мир, который неподвластен партии, а значит, должен быть по возможности уничтожен. Еще важнее то, что половой голод вызывает истерию, а она желательна, ибо ее можно преобразовать в военное неистовство и в поклонение вождю. Джулия выразила это так:
— Когда спишь с человеком, тратишь энергию; а потом тебе хорошо и на все наплевать. Им это — поперек горла. Они хотят, чтобы энергия в тебе бурлила постоянно. Вся эта маршировка, крики, махание флагами — просто секс протухший. Если ты сам по себе счастлив, зачем тебе возбуждаться из за Старшего Брата, трехлетних планов, двухминуток ненависти и прочей гнусной ахинеи?

& — По сути, это ничего бы не изменило.
— Тогда почему жалеешь, что не столкнул?
— Только потому, что действие предпочитаю бездействию. В этой игре, которую мы ведем, выиграть нельзя. Одни неудачи лучше других — вот и все.

& Из того, что он помнил, не складывалось впечатления о ней как о женщине необыкновенной, а тем более умной; но в ней было какое то благородство, какая то чистота — просто потому, что нормы, которых она придерживалась, были личными. Чувства ее были ее чувствами, их нельзя было изменить извне. Ей не пришло бы в голову, что, если действие безрезультатно, оно бессмысленно. Когда любишь кого-то, ты его любишь, и, если ничего больше не можешь ему дать, ты все-таки даешь ему любовь.

& ...общий рост благосостояния угрожает иерархическому обществу гибелью, а в каком то смысле и есть уже его гибель. В мире, где рабочий день короток, где каждый сыт и живет в доме с ванной и холодильником, владеет автомобилем или даже самолетом, самая очевидная, а быть может, и самая важная форма неравенства уже исчезла. Став всеобщим, богатство перестает порождать различия. Можно, конечно, вообразить общество, где блага, в смысле личной собственности и удовольствий, будут распределены поровну, а власть останется у маленькой привилегированной касты. Но на деле такое общество не может долго быть устойчивым. Ибо если обеспеченностью и досугом смогут наслаждаться все, то громадная масса людей, отупевших от нищеты, станет грамотной и научится думать самостоятельно; после чего эти люди рано или поздно поймут, что привилегированное меньшинство не выполняет никакой функции, и выбросят его. В конечном счете иерархическое общество зиждется только на нищете и невежестве.

& Задача состояла в том, чтобы промышленность работала на полных оборотах, не увеличивая количество материальных ценностей в мире. Товары надо производить, но не надо распределять. На практике единственный путь к этому — непрерывная война.
Сущность войны — уничтожение не только человеческих жизней, но и плодов человеческого труда. Война — это способ разбивать вдребезги, распылять в стратосфере, топить в морской пучине материалы, которые могли бы улучшить народу жизнь и тем самым в конечном счете сделать его разумнее. Даже когда оружие не уничтожается на поле боя, производство его — удобный способ истратить человеческий труд и не произвести ничего для потребления.

& Теоретически военные усилия всегда планируются так, чтобы поглотить все излишки, которые могли бы остаться после того, как будут удовлетворены минимальные нужды населения. Практически нужды населения всегда недооцениваются, и в результате — хроническая нехватка предметов первой необходимости; но она считается полезной. Это обдуманная политика: держать даже привилегированные слои на грани лишений, ибо общая скудость повышает значение мелких привилегий и тем увеличивает различия между одной группой и другой. По меркам начала XX века даже член внутренней партии ведет аскетическую и многотрудную жизнь. Однако немногие преимущества, которые ему даны, — большая, хорошо оборудованная квартира, одежда из лучшей ткани, лучшего качества пища, табак и напитки, два или три слуги, персональный автомобиль или вертолет — пропастью отделяют его от члена внешней партии, а тот в свою очередь имеет такие же преимущества перед беднейшей массой, которую мы именуем "пролы". Это социальная атмосфера осажденного города, где разница между богатством и нищетой заключается в обладании куском конины. Одновременно благодаря ощущению войны, а следовательно, опасности передача всей власти маленькой верхушке представляется естественным, необходимым условием выживания.

& У партии две цели: завоевать весь земной шар и навсегда уничтожить возможность независимой мысли. Поэтому она озабочена двумя проблемами. Первая — как вопреки желанию человека узнать, что он думает, и — как за несколько секунд, без предупреждения, убить несколько сот миллионов человек.

& ...став постоянной, война изменила свой характер.
В прошлом война, можно сказать, по определению была чем-то, что рано или поздно кончалось — как правило, несомненной победой или поражением. Кроме того, в прошлом война была одним из главных инструментов, не дававших обществу оторваться от физической действительности. Во все времена все правители пытались навязать подданным ложные представления о действительности; но иллюзий, подрывающих военную силу, они позволить себе не могли. Покуда поражение влечет за собой потерю независимости или какой-то другой результат, считающийся нежелательным, поражения надо остерегаться самым серьезным образом. Нельзя игнорировать физические факты. В философии, в религии, в этике, в политике дважды два может равняться пяти, но если вы конструируете пушку или самолет, дважды два должно быть четыре. Недееспособное государство раньше или позже будет побеждено, а дееспособность не может опираться на иллюзии. Кроме того, чтобы быть дееспособным, необходимо умение учиться на уроках прошлого, а для этого надо более или менее точно знать, что происходило в прошлом. Газеты и книги по истории, конечно, всегда страдали пристрастностью и предвзятостью, но фальсификация в сегодняшних масштабах прежде была бы невозможна. Война всегда была стражем здравого рассудка, и, если говорить о правящих классах, вероятно, главным стражем. Пока войну можно было выиграть или проиграть, никакой правящий класс не имел права вести себя совсем безответственно.
Но когда война становится буквально бесконечной, она перестает быть опасной. Когда война бесконечна, такого понятия, как военная необходимость, нет. Технический прогресс может прекратиться, можно игнорировать и отрицать самые очевидные факты. ... Поскольку сверхдержавы непобедимы, каждая представляет собой отдельную вселенную, где можно предаваться почти любому умственному извращению. Действительность оказывает давление только через обиходную жизнь: надо есть и пить, надо иметь кров и одеваться, нельзя глотать ядовитые вещества, выходить через окно на верхнем этаже и так далее. Между жизнью и смертью, между физическим удовольствием и физической болью разница все-таки есть — но и только. Отрезанный от внешнего мира и от прошлого, гражданин Океании, подобно человеку в межзвездном пространстве, не знает, где верх, где низ. Правители такого государства обладают абсолютной властью, какой не было ни у цезарей, ни у фараонов. Они не должны допустить, чтобы их подопечные мерли от голода в чрезмерных количествах, когда это уже представляет известные неудобства, они должны поддерживать военную технику на одном невысоком уровне; но, коль скоро этот минимум выполнен, они могут извращать действительность так, как им заблагорассудится.
Таким образом, война, если подходить к ней с мерками прошлых войн, — мошенничество. Она напоминает схватки некоторых жвачных животных, чьи рога растут под таким углом, что они не способны ранить друг друга. Но хотя война нереальна, она не бессмысленна. Она пожирает излишки благ и позволяет поддерживать особую душевную атмосферу, в которой нуждается иерархическое общество. Ныне, как нетрудно видеть, война — дело чисто внутреннее. В прошлом правители всех стран, хотя и понимали порой общность своих интересов, а потому ограничивали разрушительность войн, воевали все-таки друг с другом, и победитель грабил побежденного. В наши дни они друг с другом не воюют. Войну ведет правящая группа против своих подданных, и цель войны — не избежать захвата своей территории, а сохранить общественный строй. Поэтому само слово "война" вводит в заблуждение. Мы, вероятно, не погрешим против истины, если скажем, что, сделавшись постоянной, война перестала быть войной. То особое давление, которое она оказывала на человечество со времен неолита и до начала XX века, исчезло и сменилось чем-то совсем другим. Если бы три державы не воевали, а согласились вечно жить в мире и каждая оставалась бы неприкосновенной в своих границах, результат был бы тот же самый. Каждая была бы замкнутой вселенной, навсегда избавленной от отрезвляющего влияния внешней опасности. Постоянный мир был бы то же самое, что постоянная война. Вот в чем глубинный смысл — хотя большинство членов партии понимают его поверхностно — партийного лозунга ВОЙНА — ЭТО МИР .

“Первое и самое важное — он был логиком. По крайней мере, тридцать пять лет из примерно полувека его существования были посвящены исключительно доказательству, что два плюс два всегда равно четырем, за исключением необычных случаев, когда получается три или пять, в зависимости от обстоятельств.” (Жак Футрель, “Проблема 13-й камеры”).

Большинство математиков знакомы с тождеством , или, по крайней мере, видели на него ссылки в литературе. Однако менее известное равенство также имеет богатую, сложную историю. Как и любые другие комплексные, сложные количества, эта история имеет реальную и мнимую части. Здесь мы будем иметь дело исключительно с последней.

Многие культуры во время своего раннего математического развития открыли равенство . Возьмем, например, племя болб, произошедшее от инков Южной Америки. Люди этого племени считали, завязывая узлы на веревке. Они быстро поняли, что если связать веревку с двумя узлами с другой веревкой с двумя узлами, то в результате получится веревка с пятью узлами.

Последние данные показывают, что в Братстве пифагорейцев доказали, что , но доказательство это никогда не было написано. Вопреки тому, что можно было бы ожидать, отсутствие письменного доказательства не было вызвано умышленным сокрытием (таким же, как в случае доказательства иррациональности квадратного корня из двух). Скорее всего, они просто не имели возможности заплатить писцу за его услуги. Они потеряли спонсорскую поддержку в связи с протестами правозащитника, защищавшего права быков, возражавшего против способа, которым пифагорейцы отмечали доказательство теорем. Таким образом, только равенство было использовано в “Началах” Евклида, и ничего больше не было слышно о равенстве в течение нескольких столетий.

Около 1200 н.э. Леонардо из Пизы (Фибоначчи) обнаружил, что через несколько недель после помещения 2 кроликов-самцов и 2 кроликов-самок в одну клетку он получил значительно больше 4 кроликов. Опасаясь, что слишком сильное отличие от значения 4, приведенного у Евклида встретит возражения, Леонардо осторожно заявил: “2 + 2 больше похоже на 5, чем 4”. Даже это сдержанное замечание было резко осуждено, и Леонардо получил прозвище “Blockhead” (“дубина”). Кстати, преуменьшение им числа кроликов сохранялось и дальше, в его знаменитой модели роста числа кроликов каждый помет состоит всего из двух малышей, эта самая низкая оценка из всех существующих.

Примерно 400 лет спустя идея возникла снова, на этот раз благодаря французским математикам. Декарт заявил: “Я думаю, что , поэтому это так и есть”. Однако другие возражали, указывая на то, что его аргументация была не абсолютно строгой. По-видимому, у Ферма было более строгое доказательство, которое должно было появиться в его книге, однако его и другие материалы вырезал редактор для того, чтобы напечатанная книга имела более широкие поля.

Поскольку не было доступного доказательства того, что и в связи с шумихой, связанной с развитием дифференциального исчисления, к 1700 году математики снова потеряли интерес к данному тождеству. В самом деле, известна только ссылка 18 века на него, связанная с именем философа епископа Беркли, который, обнаружив его в старой рукописи, сухо прокомментировал: “Ну, теперь я знаю, куда уходят все умершие — в правую часть этого уравнения”. Это острота настолько впечатлила интеллектуалов Калифорнии, что они назвали в честь Беркли университетский город.

Примерно в середине 19 века начало иметь большое значение. Риман разработал арифметику, в которой параллельно с евклидовой арифметикой, в которой . Кроме того, в это же время Гаусс занимается арифметикой, в которой . Естественно, последовали десятилетия большой путаницы относительно фактического значения . Поскольку мнения на эту тему менялись, доказательство Кемпе (1880 год) теоремы о четырех цветах было признано через 11 лет, дав вместо этого теорему о пяти цветах. Дедекинд принял участие в споре со статьей под названием “Was ist und was soll 2 + 2?”.

Фреге думал, что он решил вопрос при подготовке сокращенной версии своего “Begriffsschrift”. Эта выжимка, озаглавленная “Die Kleine Begriffsschrift (Краткое сочинение)”, содержало, по его мнению, окончательное доказательство того, что . Но затем Фреге получил письмо от Бертрана Рассела, в котором ему напоминали, что в “Grundbeefen der Mathematik” Фреге доказал, что . Это противоречие так обескуражило Фреге, что он вообще отказался от и ушел в администрацию университета.

Столкнувшись с таким глубоким и вызывающим недоумение основополагающим вопросом о значении , математики поступают разумно: они просто игнорируют его. И таким образом, все вернулось к тому, что , и в 20-м веке ничего больше не делалось с равенством, соперничающим с данным. Ходили слухи, что Бурбаки планирует посвятить том тождеству (первые сорок страниц посвящены символическому выражению для числа пять), но эти слухи остались неподтвержденными. Недавно, однако, были зарегистрированы доказательства того, что , как правило, полученные с помощью компьютера, принадлежащих муниципальным предприятиям. Может быть, 21-й век увидит еще одно возрождение этого исторического уравнения.