ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 1 .

__________
1 Пифагор - греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564-473 гг. до нашей эры).
_________

Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а , b и с (черт. 267).

Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов соответственно равны а 2 , b 2 и с 2 . Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .

Построим два квадрата МКОР и М"К"О"Р" (черт. 268, 269), приняв за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного треугольника АBС.

Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 268 и 269, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с площадями а 2 и b 2 и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" разбился на четырёхугольник (он на чертеже 269 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АBС. Заштрихованный четырёхугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АBС, т. е. с ), а углы - прямые / 1 + / 2 = 90°, откуда / 3 = 90°).

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 268 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырёх равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 269 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М"К"О"Р", равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырёх таких же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Получаем формулу с 2 = а 2 + b 2 , где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.

Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Из формулы с 2 = а 2 + b 2 можно получить такие формулы:

а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .

Этими формулами можно пользоваться для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум данным его сторонам.
Например:

а) если даны катеты а = 4 см, b =3 см, то можно найти гипотенузу (с ):
с 2 = а 2 + b 2 , т. е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откуда с = √25 =5 (см);

б) если даны гипотенуза с = 17 см и катет а = 8 см, то можно найти другой катет (b ):

b 2 = с 2 - а 2 , т. е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откуда b = √225 = 15 (см).

Следствие: Если в двух прямоугольных треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 гипотенузы с и с 1 равны, а катет b треугольника АBС больше катета b 1 треугольника А 1 В 1 C 1 ,
то катет а треугольника АВС меньше катета а 1 треугольника А 1 В 1 C 1 . (Сделать чертёж, иллюстрирующий это следствие.)

В самом деле, на основании теоремы Пифагора получим:

а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В записанных формулах уменьшаемые равны, а вычитаемое в первой формуле больше вычитаемого во второй формуле, следовательно, первая разность меньше второй,
т. е. а 2 < а 1 2 . Откуда а < а 1 .

Упражнения.

1. Пользуясь чертежом 270, доказать теорему Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника.

2. Один катет прямоугольного треугольника равен 12 см, другой - 5 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, один из катетов равен 8 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37 см, один из его катетов равен 35 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

5. Построить квадрат, по площади вдвое больший данного.

6. Построить квадрат, по площади вдвое меньший данного. Указание. Провести в данном квадрате диагонали. Квадраты, построенные на половинах этих диагоналей, будут искомыми.

7. Катеты прямоугольного треугольника соответственно равны 12 см и 15 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника с точностью до 0,1 см.

8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из его катетов равен 15 см. Вычислить длину другого катета с точностью до 0,1 см.

9. Какой длины должна быть лестница, чтобы её можно было приставить к окну, находящемуся на высоте 6 м, если нижний конец лестницы должен отстоять от здания на 2,5 м? (Черт. 271.)

Теорема Пифагора

Своеобразна судьба иных теорем и задач... Как объяснить, например, столь исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора? Почему многие из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведя за двадцать пять сравнительно обозримых столетий количество доказательств до нескольких сотен?
Когда речь идет о теореме Пифагора, необычное начинается уже с ее названия. Считается, что сформулировал ее впервые отнюдь не Пифагор. Сомнительным полагают и то, что он дал ее доказательство. Если Пифагор - реальное лицо (некоторые сомневаются даже в этом!), то жил он, скорее всего, в VI-V в. до н. э. Сам он ничего не писал, называл себя философом, что значило, в его понимании, «стремящийся к мудрости», основал пифагорейский союз, члены которого занимались музыкой, гимнастикой, математикой, физикой и астрономией. По-видимому, был он и великолепным оратором, о чем свидетельствует следующая легенда, относящаяся к пребыванию его в городе Кротоне: «Первое появление Пифагора пред народом в Кротоне началось речью к юношам, в которой он так строго, но вместе с тем и так увлекательно изложил обязанности юношей, что старейшие в городе просили не оставить и их без поучения. В этой второй речи он указывал на законность и на чистоту нравов, как на основы семейства; в следующих двух он обратился к детям и женщинам. Последствием последней речи, в которой он особенно порицал роскошь, было то, что в храм Геры доставлены были тысячи драгоценных платьев, ибо ни одна женщина не решалась более показываться в них на улице...» Тем не менее еще во втором столетии нашей эры, т. е. спустя 700 лет, жили и творили вполне реальные люди, незаурядные ученые, находившиеся явно под влиянием пифагорейского союза и относящиеся с большим уважением к тому, что согласно легенде создал Пифагор.
Несомненно также, что интерес к теореме вызывается и тем, что она занимает в математике одно из центральных мест, и удовлетворением авторов доказательств, преодолевших трудности, о которых хорошо сказал живший до нашей эры римский поэт Квинт Гораций Флакк: «Трудно хорошо выразить общеизвестные факты».
Первоначально теорема устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника:
.
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 +b 2 =c 2 . Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a 2 + b 2 = c 2 , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам.
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.



Что и требовалось доказать.

Доказательства через равносоставленность

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

Теорема Пифагора : Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b ), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c ).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая формулировка:

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

a 2 + b 2 = c 2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и двух внутренних квадратов.

Что и требовалось доказать.

Доказательства через равносоставленность

Элегантное доказательство при помощи перестановки

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство Евклида

Чертеж к доказательству Евклида

Иллюстрация к доказательству Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Доказательство Леонардо да Винчи

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок C I рассекает квадрат A B H J на две одинаковые части (так как треугольники A B C и J H I равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур C A J I и G D A B . Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Доказательство методом бесконечно малых

Пользуясь методом разделения переменных, находим

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

c 2 = a 2 + b 2 + constant.

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

c 2 = a 2 + b 2 .

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим

Вариации и обобщения

• Если вместо квадратов построить на катетах другие подобные фигуры, то верно следующее обобщение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма площадей подобных фигур, построенных на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе. В частности:
  • Сумма площадей правильных треугольников, построенных на катетах, равна площади правильного треугольника, построенного на гипотенузе.
  • Сумма площадей полукругов, построенных на катетах (как на диаметре), равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. Этот пример используется при доказательстве свойств фигур, ограниченных дугами двух окружностей и носящих имя гиппократовых луночек .

История

Чу-пей 500–200 до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

Литература

На русском языке

• Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
• Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
• Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
• Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
• В.Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
  • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств материал взят из книги В.Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
• Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
• О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

На английском

• Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
• Cut-The-Knot, секция посвящённая теореме пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Инструкция

Если необходимо рассчитать по теореме Пифагора, воспользуйтесь следующим алгоритмом:- Определите в треугольнике, какие стороны являются катетами, а – гипотенузой. Две стороны, образующие угол в девяносто градусов и есть катеты, оставшаяся третья – гипотенуза. (см )- Возведите во вторую степень каждый катет данного треугольника, то есть умножьте на себя. Пример 1. Пусть надо вычислить гипотенузу, если один катет в треугольнике – 12 см, а другой – 5 см. Во-первых, квадраты катетов равны: 12*12=144 см и 5*5 = 25 см.- Далее определите сумму квадратов катетов. Определенное число является гипотенузы , нужно избавиться от второй степени числа, чтобы найти длину этой стороны треугольника. Для этого извлеките из-под квадратного корня значение суммы квадратов катетов. Пример 1. 144+25=169. Корень квадратный из 169 будет 13. Следовательно, длина данной гипотенузы равна 13 см.

Другой способ вычисления длины гипотенузы заключается в терминологии синуса и углов в треугольнике. По определению: синус угла альфа - противолежащего катета к гипотенузе. То есть, глядя на рисунок, sin a = CВ / АВ. Отсюда, гипотенуза АВ = СВ / sin a.Пример 2. Пусть угол 30 градусам, а противолежащий ему катет - 4 см. Нужно найти гипотенузу. Решение: АВ = 4 см/ sin 30 = 4 см / 0,5 = 8 см. Ответ: длина гипотенузы равна 8 см.

Аналогичный способ нахождения гипотенузы из определения косинуса угла. Косинус угла - отношение прилежащего к нему катета и гипотенузы . То есть, cos а = АС/АВ, отсюда АВ = АС/cos а. Пример 3. В треугольнике АВС, АВ - гипотенуза, угол ВАС равен 60 градусам, катет АС - 2 см. Найти АВ.
Решение: АВ = АС/cos 60 = 2/0,5 = 4 см. Ответ: гипотенуза составляет 4 см в длине.

Полезный совет

При нахождении значения синуса или косинуса угла воспользуйтесь либо таблицей синусов и косинусов, либо таблицей Брадиса.

Совет 2: Как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют самую длинную из сторон в прямоугольном треугольнике, поэтому не удивительно, что с греческого языка это слово переводится как «натянутая». Эта сторона всегда лежит напротив угла в 90°, а стороны, образующие этот угол называют катетами. Зная длины этих сторон и величины острых углов в разных комбинациях этих значений можно вычислить и длину гипотенузы.

Инструкция

Если известны длины обоих треугольника (А и В), то используйте длины гипотенузы (С) самый, пожалуй, известный на математический постулат - теорему Пифагора. Он гласит, что квадрат длины гипотенузы сумме квадратов длин катетов, из чего вытекает, что вам следует вычислить корень из суммы возведенных в квадрат длин двух сторон: С=√(А²+В²). Например, если длина одного катета 15 , а - 10 сантиметрам, то длина гипотенузы составит приблизительно 18,0277564 сантиметра, так как √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Если известна длина только одного из катетов (А) в прямоугольном треугольнике, а также величина угла, лежащего напротив него (α), то длину гипотенузы (С) можно с помощью одной из тригонометрических функций - синуса. Для этого разделите длину известной стороны на синус известного угла: С=А/sin(α). Например, если длина одного из катетов равна 15 сантиметрам, а величина угла в противоположной ему вершине треугольника составляет 30°, то длина гипотенузы будет равна 30 сантиметрам, так как 15/sin(30°)=15/0,5=30.

Если в прямоугольном треугольнике известна величина одного из острых углов (α) и длина прилегающего к нему катета (В), то для вычисления длины гипотенузы (С) можно использовать другую тригонометрическую функцию - косинус. Вам следует разделить длину известного катета на косинус известного угла: С=В/ cos(α). Например, если длина этого катета равна 15 сантиметрам, а величина острого угла, к нему прилегающего, составляет 30°, то длина гипотенузы составит приблизительно 17,3205081 сантиметров, так как 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.

Инструкция

Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют

Теорема Пифагора - важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н.э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из черных и светлых треугольников, изображенную на рис. 1, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника : квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника. Для доказательства общего случая в Древней Индии располагали двумя способами: в квадрате со стороной изображали четыре прямоугольных треугольника с катетами длин и (рис. 2,а и 2,б), после чего писали одно слово «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, что слева свободна от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами и , соответственно ее площадь равна , а справа - квадрат со стороной - его площадь равна . Значит, , что и составляет утверждение теоремы Пифагора.

Однако в течение двух тысячелетий применяли не это наглядное доказательство, а более сложное доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитой книге «Начала» (см. Евклид и его «Начала»), Евклид опускал высоту из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что ее продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах (рис. 3). Чертеж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

В наши дни известно несколько десятков различных доказательств теоремы Пифагора. Одни из них основаны на разбиении квадратов, при котором квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из частей, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах; другие - на дополнении до равных фигур; третьи - на том, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два подобных ему треугольника.

Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Еще в Древнем Вавилоне с ее помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников. С помощью теоремы Пифагора доказывается ее обобщение, позволяющее вычислить длину стороны, лежащей против острого или тупого угла:

Из этого обобщения следует, что наличие прямого угла в является не только достаточным, но и необходимым условием для выполнения равенства . Из формулы (1) следует соотношение между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон.

На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (см. Герона формула). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.

Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т.д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.

Теорема Пифагора существует только в евклидовой геометрии. Ни в геометрии Лобачевского, ни в других неевклидовых геометриях она не имеет места. Не имеет места аналог теоремы Пифагора и на сфере. Два меридиана, образующие угол 90°, и экватор ограничивают на сфере равносторонний сферический треугольник, все три угла которого прямые. Для него , а не , как на плоскости.

С помощью теоремы Пифагора вычисляют расстояние между точками и координатной плоскости по формуле

.

После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольных треугольников (см. Ферма великая теорема). Они были открыты еще пифагорейцами, но какие-то общие методы отыскания таких троек чисел были известны еще вавилонянам. Одна из клинописных табличек содержит 15 троек. Среди них есть тройки, состоящие из настолько больших чисел, что не может быть и речи о нахождении их путем подбора.

ГИППОКРАТОВЫ ЛУНОЧКИ

Гиппократовы луночки - фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, и притом такие, что по радиусам и длине общей хорды этих окружностей с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им квадраты.

Из обобщения теоремы Пифагора на полукруги следует, что сумма площадей розовых луночек, изображенных на рисунке слева, равна площади голубого треугольника. Поэтому, если взять равнобедренный прямоугольный треугольник, то получатся две луночки, площадь каждой из которых будет равна половине площади треугольника. Пытаясь рещить задачу о квадратуре круга (см. Классические задачи древности), древнегреческий математик Гиппократ (V в. до н.э.) нашел еще несколько луночек, площади которых выражены через площади прямолинейных фигур.

Полный перечень гиппокраювых луночек был получен лишь в XIX-XX вв. благодаря использованию методов теории Галуа.