Как составить прямоугольник из 6 фигур. Схемы и фигуры игры танграм

Новый класс игр с пентамино, который мы сейчас рассмотрим, можно охарактеризовать как задачи "совмещения" фигур, то есть задачи о складывании из пентамино двух или более равных между собой фигур. Приведем несколько примеров:

1. Попробуйте составить из 12 различных пентамино два одинаковых прямоугольника размером 5×6 (на каждый будет затрачено по 6 пентамино). На рис. 21 изображены отвечающие этим прямоугольникам наборы пентамино, причем любопытно, что приведенное разбиение наших фигур на два набора по шесть пентамино - единственно возможное. Впрочем, из этого не следует, что задача имеет единственное решение. В самом деле, для изображенного на рисунке справа набора фигур мы можем по-разному соединить F- и N-пентамино, получив при этом одну и ту же фигуру (как?).

Рис. 21. Два набора по 6 пентамино, из которых можно составить прямоугольники 5×6

Заметим, между прочим, что решение этой задачи одновременно служит решением задачи о покрытии 12 пентамино прямоугольников размерами 5×12 и 6×10. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно приложить друг к другу двумя способами наши прямоугольники размером 5×6.

2. Найдите такое покрытие 12 разными пентамино шахматной доски размером 8×8 с отверстием размером 2×2 в центре доски, чтобы доску можно было разбить на две одинаковые части, каждая из которых покрыта шестью пентамино. Три типичных решения этой задачи приведены на рис. 22.

Рис. 22. Типичное решение задачи о покрытии шахматной доски 8×8 с центральной "дыркой" 2×2, причем покрытие разбивается на две конгруэнтные части

3. Разбейте 12 пентамино на три группы по четыре фигуры в каждой так, чтобы при этом существовала 20-клеточная "доска", которую можно покрыть четырьмя пентамино, образующими любую из групп. Решение, изображенное на рис. 23, вовсе не единственное; читатель может попытаться найти свое решение.

4. Снова разбейте наши 12 пентамино на три группы по четыре пентамино; каждую группу в свою очередь разбейте на пары пентамино и придумайте три 10-клеточные "доски" (свою для каждой группы), покрываемые любой из входящих в соответствующую группу пар полимино. Одно из решений приведено на рис. 24. Постарайтесь найти другие решения, в частности такие, где ни одна из трех "досок" не имеет отверстий (подобные решения существуют).

5. Еще раз разбейте 12 пентамино на три группы по четыре полимино в каждой. Если теперь ко всем наборам добавить по мономино, можно попытаться сложить из них три прямоугольника размером 3×7. Решение задачи показано на рис. 25. Известно, что других решений нет, если не считать того, что в самом левом прямоугольнике можно переложить мономино и Y-пентамино таким образом, чтобы в целом они составили ту же фигуру.

Рис. 25. Решение задачи о покрытии трех прямоугольников 3×7

Доказательство единственности решения последней задачи было подсказано инженером К. С. Лоренсом из компании "Аэроспейс Корпорейшн" (Лос-Анджелес) Прежде всего, нетрудно видеть, что Х-пентамино необходимо скомбинировать с U-пентамино, приложив их друг к другу так, как показано на рис. 26. Завершая первый прямоугольник, мы, очевидно, уже не сможем воспользоваться ни F-, ни W-пентамино. Легко заметить также, что последние две фигуры заведомо должны принадлежать разным прямоугольникам размером 3×7; иначе говоря, из трех наших прямоугольников размером 3×7 один будет содержать Х- и U-пентамино, другой - W-пентамино и, наконец, третий - F-пентамино. Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно закончить решение задачи и с помощью несложного, хотя и довольно скучного разбора всех возможных оставшихся вариантов расположения фигур показать, что решение, изображенное на рис. 25, в самом деле является единственным.

Рис. 26. Единственно возможное положение Х-пентамино в прямоугольнике 3×7

6. Разложите наши 12 пентамино в четыре группы по три фигуры в каждой и придумайте такую 15-клеточную "доску", чтобы ее можно было покрыть всеми пентамино любой из групп.

Эта задача до сих пор не решена, но вместе с тем и не доказано, что такой "доски" не существует.

7. Вырежьте из шахматной доски фигуру наименьшей возможной площади, состоящую из некоторого числа примыкающих друг к другу клеток доски, так, чтобы на этой фигуре разместилось любое пентамино.

Минимальная площадь такой фигуры - 9 квадратов (клеток); два 9-клеточных решения задачи приведены на рис. 27. В самом деле, нетрудно проверить, что любое пентамино уместится на каждой из изображенных на рисунке "досок". С другой стороны, можно доказать, что наименьшая возможная площадь требуемой фигуры есть площадь в 9 квадратов. Действительно, если бы существовала менее чем 9-клеточная фигура, удовлетворяющая требуемым условиям, то, размещая на ней I-, Х- и V-пентамино, мы совместили бы их так, чтобы они вместе покрывали площадь не более чем 8 клеток. Ясно, что I- и Х-пентамино совместятся при этом по трем клеткам: в противном случае мы либо сразу же получим фигуру из 9 клеток, либо (если центральная клетка Х-пентамино совпадет с крайней клеткой I-пентамино) придем к фигуре из 9 клеток - если потребуем, чтобы на этой фигуре можно было бы разместить и V-пентамино. Но этому условию отвечают всего две изображенные на рис. 28 конфигурации из 8 клеток, такие, что и V-пентамино размещается на рассматриваемой "доске". Однако легко видеть, что на обеих "досках" не умещается, например, U-пентамино; для того чтобы обеспечить размещение на "доске" также и U-пентамино, потребуется увеличить любую из изображенных на рис. 28 фигур еще минимум на одну клетку. Таким образом, площади в 8 клеток для решения задачи будет не хватать, в то время как 9-клеточные фигуры, удовлетворяющие условию задачи, как мы видели выше, существуют.

Несколько лет назад к решению разнообразных задач о полимино были привлечены современные электронные вычислительные машины. Так, в сообщении известного американского специалиста по математической логике Дана Стюарта Скотта, профессора Стэнфордского университета (см. библиографию в конце книги), говорилось о двух задачах, решенных с помощью ЭВМ Стэнфордского университета MANIAC. Первая из них, уже знакомая нам, состояла в складывании из 12 разных пентамино прямоугольника размером 3×20. Выяснилось, что два ее решения, указанные на стр. 24, являются единственно возможными. Вторая задача заключалась в перечислении всех возможных покрытий 12 различными пентамино шахматной доски размером 8×8, в центре которой вырезан квадрат размером 2×2 (квадратное тетрамино). Оказалось, что последняя задача имеет 65 разных (то есть не получающихся друг из друга поворотами и отражениями доски) решений.

При составлении программы Д. Скотт воспользовался очень простой и остроумной идеей, которая заключалась в следующем: Х-пентамино можно расположить на шахматной доске лишь тремя существенно различными способами, показанными на рис. 29; Электронная вычислительная машина MANIAC нашла 20 решений для первого расположения Х-пентамино, 19 - для второго и 26 - для третьего расположения. Три из наиболее интересных решений, входящих в число этих 65, приведены на рис. 30, а на рис. 31 показаны три невозможные ситуации - они невозможны просто потому, что их нет в списке Скотта.

Рис. 29. Три возможных положения Х-пентамино на шахматной доске 8×8 с удаленным центральным квадратом 2×2

Рис. 30. Три интересных решения задачи о покрытии доски 8×8 с удаленным центральным квадратом 2×2

Рис. 31. Невозможные покрытия полимино шахматной доски 8×8

Профессор Манчестерского университета С. Б. Хэзелгроув, английский астроном, известный также своими результатами по теории чисел, не так давно с помощью ЭВМ подсчитал число всевозможных способов сложения из всех 12 пентамино прямоугольника размером 6×10. Вот его результат: не считая поворотов и отражений шахматной доски, ЭВМ нашла 2339 принципиально разных решений! Вместе с тем Хэзелгроув проверил и подтвердил два названных выше результата Дана Скотта.

В заключение приведем еще три несомненно заслуживающие внимания задачи, относящиеся к составлению фигур из пентамино:

1. Покройте "64-клеточную пирамиду", изображенную на рис. 32, 12 разными пентамино и квадратным тетрамино (впрочем, последнее можно заменить любым другим тетрамино). Одно из решений приведено на рис. 32.

Рис. 32. "Треугольник" из 64 квадратов

2. Покройте 12 пентамино вытянутый крест, изображенный на рис. 33.

3. Профессору Р. М. Робинсону (который также впервые указал "зубчатый квадрат", приведенный в гл. VI) принадлежит очень простое доказательство того, что 60-клеточную фигуру, показанную на рис. 34, нельзя покрыть 12 разными пентамино. В самом деле, с краев эта фигура ограничена 22 клетками (считая и четыре угловые), а если сосчитать, сколько квадратов каждого из 12 пентамино может находиться на краю нашей фигуры, то в сумме мы получим всего лишь 21 клетку - на единицу меньше, чем требуется:

Т-пентамино - 1; W-пентамино - 3; Z-пентамино - 1; L-пентамино - 1; U-пентамино - 1; Х-пентамино - 3; F-пентамино - 3; Р-пентамино - 2; V-пентамино - 1; Y-пентамино - 2; 1-пентамино - 1; N-пентамино - 2 Итого: 21 клетка.

Рассуждения такого рода, где отдельно рассматриваются внутренние и "граничные" клетки доски, весьма полезны при складывании "зигзагообразных" фигур.

Другие любопытные головоломки с пентамино будут рассматриваться в гл. VI.

Результат. Фигура: прямоугольник

Какой в конечном итоге результат окажется перед нами? Какой мы сделали вывод? Прямоугольник символизирует постамент, на котором что-то может быть возведено.

«Согласен ли я с выводом?»

«Какой вывод я сделал?»

Это может быть констатация потерянного времени и ненужности информации. Но мы можем признать, что наши потребности вполне удовлетворены. Возможно, удалось найти огромное количество очень полезной и качественной информации.

При помощи формы прямоугольника мы даем заключения.

Удовлетворены ли наши информационные потребности? Каким образом они были удовлетворены? Нужна ли нам еще информация по этому вопросу? Довольны ли мы точностью полученных сведений? Появились ли у нас еще какие-либо вопросы?

Какова конечная ценность того, что мы узнали? Соответствует ли она важности наших нужд? Открылись ли новые направления для деятельности? Каково значение ценности добываемой информации? Как эта ценность влияет на наши действия, стратегию, планы, методы решения проблем и т. д.?

Какие мысли были почерпнуты нами из информации? Почему они представляют для нас интерес? Нужно ли делать что-то для их развития?

На эти вопросы мы должны дать себе подробные ответы. Основная цель метода «Шесть фигур мышления» - движение к ясности восприятия. Это означает, что вы должны научиться последовательно обращать внимание сначала на один аспект, а затем на другой - вместо того, чтобы метаться от одного к другому.

СЛЕДУЮЩИЙ ШАГ

Каким должен быть следующий шаг? Нуждаемся ли мы в большем количестве информации? Достаточно ли имеющейся сейчас информации для дальнейших действий?

Если полученная информация была распространена или доступна для того, чтобы изменить мышление, то что нужно предпринять далее? В каком направлении информация изменила наши соображения и стратегии? Нужно ли сообщать об этих изменениях другим людям?

Полученная информация была последовательно обработана, но никаким образом на нас не повлияла. Потеряли ли мы на этом время? Спокойствие также имеет высокую

цену. Если информация не принесла новых знаний, значит, мы движемся в правильном направлении, а это немаловажно.

ИНФОРМАЦИОННЫЙ ОТЧЕТ

Вы можете написать информационный отчет для себя или кого-то еще. Отчеты разных людей можно сравнить между собой. Они будут пропущены через все шесть рамок, будут прокомментированы и подвергнуты критике.

Само собой, отчеты следует составлять только по важной и полезной информации, прошедшей отбор из всей потребляемой.

Запоминание - настолько важный процесс, что мы должны относиться к нему особенно внимательно.

Всем известно, что информация может иметь очень большое значение. Но при этом мы очень мало знаем о том, как следует использовать информационные ресурсы и влияние информации.

КОМПЬЮТЕРЫ

Компьютерный анализ информации представляет собой растущую опасность.

Советы, данные в этой книге, не могут быть использованы в компьютерном анализе. Только человек обладает способностью оценить степень точности, важности, интерес или нейтральность информации.

Итак, чем чаще мы используем компьютерные программы для обработки информации, тем более необходимыми становятся фигуры мышления.

ФОРМА ПРЯМОУГОЛЬНИКА

«Что мы можем разместить на постаменте?»

«К какому выводу мы пришли при использовании фигуры прямоугольника?»

«Используйте, пожалуйста, вашу форму прямоугольника. Теперь мы можем сравнить наши выводы».

«Была ли эта информация полезной? Какой вывод нами сделан?»

«Мы вложили в это дело много усилий. И что мы видим через форму прямоугольника?»

«Я использовал форму прямоугольника и мне кажется, что наши с вами выводы различны. Я бы хотел обсудить это».

Прямоугольник служит пьедесталом для ваших выводов и заключений. Нужно приложить усилия, чтобы водрузить их на эту плиту. Нетрудно догадаться, что люди, столкнувшиеся с одной и той же информацией, приходят к одним и тем же выводам. Собственные заключения всегда следует проговаривать, стараться сделать их ясными для других. Для этого мы должны обдумывать их. Это самое главное.

ЧАСТЬ III. ФИГУРА

автора Добролюбова Александра Владимировна

Стройная фигура Многие полные женщины сетуют на то, что и едят вроде бы немного, и на диете иногда сидят, и кое-какие физические упражнения выполняют, а вес, тем не менее, увеличивается. Но они забывают о том, что съеденная мимоходом булочка, выпитый стакан молока, частые

Из книги Женщина. Руководство продвинутого пользователя автора Львов Михаил

Фигура «Отмазка» При приглашении на свидание девушка старается всеми силами отказаться от свидания – и делает это почти всегда. Объяснить этот женский поступок с точки зрения логики невозможно. Зато возможно с точки зрения этологии – науки, изучающей поведение

Из книги Масса и власть автора Канетти Элиас

Фигура «Динамо» Красивые женщины или женщины, глубоко уверенные в своей сексуальной привлекательности, очень любят исполнять эту фигуру менуэта. Поев-попив, сходив на концерт или получив свою «выгоду» тем или иным способом, льстящим её самолюбию, девушка просто

Из книги Почему мужчины врут, а женщины ревут автора Пиз Алан

Фигура «Недотрога» На свидании девушка отвечает «нет» на любые предложения и пресекает – деликатно или грубо – любые попытки её потрогать: вплоть до прикосновения к руке. И опять же – фигура не исполняется, если мужчина докажет, что ему невозможно

Из книги Пульт управления жизнью. Энергетика взаимоотношений автора Кельмович Михаил

Из книги Не дай себя обмануть! [Язык жестов: о чем умолчал Пол Экман] автора Вемъ Александр

ПРИОРИТЕТ 1: СПОРТИВНАЯ ФИГУРА Основным сексуально привлекательным моментом для мужчин является спортивная фигура. Сильное подтянутое тело - это признак здоровья. Оно сигнализирует о том, что женщина способна благополучно вынашивать и рожать детей, вовремя скрываться

Из книги Шесть фигур мышления автора Боно Эдвард де

ПРИОРИТЕТ 1: СПОРТИВНАЯ ФИГУРА Более всего женщин привлекает в мужчинах спортивная, V-образная фигура. Сильное, атлетическое тело - это признак крепкого здоровья, сигнализирующий о том, что мужчина обладает потенциалом добывать пищу и бороться с врагами. Даже во времена

Из книги Разоблаченный логотип, или Психогеометрия автора Тараненко Владимир Иванович

Игра под названием «Фигура и фон» Пришло время Мастеру проверять своих учеников. Он позвал троих, взял белый лист бумаги, капнул на него чернила и спросил: – Что вы видите? Первый ответил: – Черное пятно. Второй: – Кляксу. Третий: – Чернила. Монах заплакал и ушел в свою

Из книги автора

Человек-прямоугольник Прямоугольники свидетельствуют о внутренней неудовлетворенности, о том, что поиск себя еще не закончен. В категорию «Прямоугольников» попадают лишь очень немногие люди, в жизни которых в данный момент происходит что-то очень серьезное. Либо

Из книги автора

Цель. Фигура: треугольник Треугольники имеют по три вершины. Вытянутый по горизонтали треугольник может обозначать стрелку, указывающую в определенном направлении. Это направление есть цель. С помощью треугольной рамки мы стремимся к результату в поиске информации.Мы

Из книги автора

Точность. Фигура: круг Точность информации оценивается с помощью круглой фигуры. Круг означает центр цели, увеличительное стекло. Точность зависит от того, насколько вы близки к цели или насколько далеко от нее оказались.Точность информации приобретает огромное

Из книги автора

Интерес. Фигура: сердце Сердечные дела всегда вызывают большой интерес человека, владеющего этим сердцем. Кроме того, ему интересны и другие люди. Поэтому фигура в виде сердца символизирует интерес. Для упрощения мы будем говорить не «фигура в виде сердца», а просто

Из книги автора

Ценность. Фигура: бриллиант Бриллианты символизируют ценность. Поэтому фигура в виде бриллианта поможет нам задать ценностный вопрос: насколько полезна эта информация?Между потребностью, ценностью и интересом есть очевидная связь, но все же их нужно отделять друг от

Презентация к уроку наглядной геометрии в 5 классе. Ориентирован на учебное пособие для общеобразовательного учреждения «Наглядная геометрия», 5-6 классы/ И.Ф.Шапрыгин, Л.Н.Ерганжиева - Издательство: Дрофа, 2015 г.

Основное понятие: равенство фигур. Предметные результаты: изображать равные фигуры и обосновывать их равенство; конструировать заданные фигуры из плоских геометрических фигур; создавать и манипулировать образом: расчленять, вращать, совмещать, накладывать. Метапредметные результаты: развитие образного мышления, конструкторских способностей, умения предвосхитить результат, формирование коммуникативных умений.

Личностные результаты: развитие познавательной активности; привитие вкуса к умственной работе. Внутрипредметные и межпредметные связи: планиметрия (равенство фигур, симметрия, площадь, равновеликость и равносоставленность), геометрическая комбинаторика, черчение, технология.

Данный урок - второй из двух по этой теме

Этот урок посвящен игре "Пентамино". Упражнения с игрой «Пентамино» можно упростить, давая такие з а д а н и я: а) сложить из двух пар фигур «Пентамино» одинаковые фигурки; б) сложить две фигурки, одна из которых имеет вдвое большие линейные размеры, чем другая (можно просто сказать «вдвое больше»). Затем переходить к более сложным заданиям.

Просмотр содержимого документа
«Задачи на разрезание и складывание фигур. Урок 2»

Задачи на разрезание

и складывание фигур

ПЕНТАМИНО

Цель: закрепить умение решать задачи на разрезание.

Наглядная геометрия

5 класс

• Пентамино́ (от др.-греч. πέντα пять , и домино) - пятиклеточные полимино , то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами.
• Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

• Эта игра была придумана в 50 –х годах ХХ века Соломоном Вольф Голомбом,

жителем Балтимора, математиком и инженером, профессором университета Южная Калифорния.

• Она очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.

• Игра состоит из плоских фигур, каждая из которых состоит из пяти квадратов, от этой игры и произошел известный Тетрис.

• Из двух различных фигур пентамино составьте данные фигуры.

Нарисуйте паркет из фигурок

Мне подарили на день рождения в прошлом году. Замечательная маленькая вещица - вы можете перемещать отдельные фрагменты, создавая любую форму, а они светятся по отдельности, питаясь через проводящие грани по периметру.

Из-за очевидной связи с тетрисом меня всегда раздражала одна вещь: лампу невозможно составить в чистый прямоугольник. Как бы я ни старался, всегда какой-нибудь кусочек торчал сбоку, а одного не хватало сверху, или получалась другая раздражающая комбинация.

Это раздражение распространялось на многих, кто посещал мою комнату. В частности, один товарищ потратил целый вечер, перебирая фрагменты в разных комбинациях и отказываясь признать, что у кого-то настолько извращённый ум и он успешно спроектировал фрагменты, которые невозможно составить вместе.

Его усилия оказались тщетными. С тех пор я смирился, что лампу, вероятно, невозможно составить в прямоугольник из-за специально подобранного набора фрагментов.

Однако, выпивая прошлым вечером в комнате, другой мой друг (который раньше не подвергался аморальному влиянию лампы) увидел конструкцию на столе, подумал несколько минут и придумал доказательство, что её действительно нельзя составить в прямоугольник. Доказательство оказалось настолько простым и элегантным, что я решил опубликовать его здесь.

Сама лампа состоит из семи отдельных частей: суммарно, это 28 квадратных фрагментов. Таким образом, если мы хотим сформировать правильную фигуру, она должна иметь размеры 7х4 или 14х2. Здесь мы показываем первый вариант просто потому, что у него более естественная форма. Но доказательство действует и для второй фигуры. Теперь представим, что мы пометили каждый квадрат цветом - чёрным или белым - так что вместе они формируют поверхность вроде шахматной доски, как показано вверху. Заметьте, что количество чёрных клеток должно быть равно количеству белых. Именно этим свойством мы будем оперировать.

Итак, получается 14 чёрных клеток и 14 белых. Если посмотреть отдельно на каждый блок, то проблема сразу становится очевидной.

Как видим, для блоков 1-6 количество чёрных фрагментов равно количеству белых. Естественно, местоположение белых и чёрных фрагментов зависит от позиции блока в прямоугольнике, но сама форма указывает количество таких фрагментов (поскольку соседние фрагменты должны быть разных цветов).

Однако, блок 7 нарушает гармонию. Независимо от того, как его разместить, он всё равно состоит из трёх фрагментов одного цвета и одного фрагмента другого цвета, это свойство напрямую следует из его формы.

Таким образом, если посчитать расцветку на всех блоках, то получится 13 клеток одного цвета и 15 клеток другого цвета, независимо от расположения блоков в общей структуре. А ведь нам нужно по 14 фрагментов каждого цвета, но мы никак не можем их получить, так что изначальное условие невозможно соблюсти, что и требовалось доказать.

Вывод

Доказательство само по себе настолько простое: я даже разочарован, что сам не нашёл его раньше. Тем не менее, приятно знать, что не придётся больше тратить время на бездумное тасование фрагментов в надежде на прорыв.

Может быть, мне стоит перенести свой раздражение с самой лампы на того, кто умышленно спроектировал её таким образом.