Апории зенона - ахиллес и другие - новый взгляд. Апории зенона о движении
Зенон Элейский - греческий логик и философ, который в основном известен по парадоксам, названным в его честь. О его жизни известно не очень много. Родной город Зенона - Элея. Также в трудах Платона упоминалась встреча философа с Сократом.
Примерно в 465 году до н. э. Зенон написал книгу, где подробно изложил все свои идеи. Но, к сожалению, до наших дней она не дошла. Согласно легенде, философ погиб в бою с тираном (предположительно, главой Элеи Неархом). Всю информацию о Элейском собирали по крупицам: из трудов Платона (родившегося на 60 лет позже Зенона), Аристотеля и Диогена Лаэртия, написавшего три века спустя книгу биографий греческих философов. Упоминания о Зеноне есть и в трудах поздних представителей школы греческой философии: Фемистия (4 век н. э.), Александра Афродийского (3 век н. э.), а также Филопона и Симплиция (оба жили в 6 веке н. э.). Причём данные в этих источниках настолько хорошо согласуются между собой, что по ним можно реконструировать все идеи философа. В этой статье мы расскажем вам про парадоксы Зенона. Итак, приступим.
Парадоксы множества
Ещё с эпохи Пифагора пространство и время рассматривались исключительно с точки зрения математики. То есть считалось, что они составлены из множества моментов и точек. Однако у них есть свойство, которое проще ощутить, чем определить, а именно «непрерывность». Некоторые парадоксы Зенона доказывают, что её невозможно разделить на моменты или точки. Рассуждение философа сводится к следующему: «Допустим, что мы провели деление до конца. Тогда верен только один вариант из двух: либо мы получим в остатке минимально возможные величины или части, которые неделимы, но бесконечны в своём количестве, либо деление приведёт нас к частям без величины, так как непрерывность, являясь однородной, должна быть делимой при любых обстоятельствах. Она не может быть в одной части делима, а в другой - нет. К сожалению, оба результата довольно нелепы. Первый из-за того, что процесс деления не может закончиться, пока в остатке есть части, имеющие величину. А второй потому, что в подобной ситуации изначально целое было бы сформировано из ничего». Симплиций приписывал данное рассуждение Пармениду, но более вероятно, что его автор - Зенон. Идём далее.
Парадоксы Зенона о движении
Они рассматриваются в большей части книг, посвящённых философу, поскольку вступают в диссонанс со свидетельствами чувств элеатов. Применительно к движению, выделяют следующие парадоксы Зенона: «Стрела», «Дихотомия», «Ахилл» и «Стадий». И дошли они до нас благодаря Аристотелю. Давайте рассмотрим их подробней.
«Стрела»
Другое название - квантовый парадокс Зенона. Философ утверждает, что любая вещь либо стоит на месте, либо движется. Но ничто не пребывает в движении, если занимаемое пространство равное ему по протяжённости. В определённый момент движущаяся стрела находится на одном месте. Поэтому она не движется. Симплиций сформулировал этот парадокс в краткой форме: «Летящий предмет занимает равное себе место в пространстве, а то, что занимает равное себе место в пространстве, не движется. Следовательно, стрела покоится». Фемистий и Фелопон сформулировали аналогичные варианты.
«Дихотомия»
Занимает второе место списка «Парадоксы Зенона». Он гласит следующее: «Прежде чем объект, который начал движение, сможет пройти определённое расстояние, он должен преодолеть половину данного пути, далее половину оставшегося и т. д. до бесконечности. Так как при повторных делениях расстояния пополам отрезок всё время становится конечным, а число данных отрезков бесконечно, то это расстояние невозможно преодолеть за конечное время. Причём данный довод справедлив как в отношении малых расстояний, так и больших скоростей. Следовательно, любое движение невозможно. То есть бегун даже не сможет стартовать».
Этот парадокс очень подробно прокомментировал Симплиций, указав, что в данном случае за конечное время нужно совершить бесконечное количество касаний. «Тот, кто чего-либо касается, может вести счёт, но бесконечное множество нельзя перебрать или сосчитать». Или, как сформулировал Филопон, бесконечное множество неопределимо.
«Ахилл»
Также известен, как парадокс черепахи Зенона. Это наиболее популярное рассуждение философа. В движения Ахиллес состязается в беге с черепахой, которой на старте даётся небольшая фора. Парадокс в том, что греческому воину не удастся догнать черепаху, так как сначала он добежит до места её старта, а она уже будет на следующей точке. То есть черепаха постоянно будет впереди Ахиллеса.
Этот парадокс очень похож на дихотомию, но здесь бесконечное деление идёт сообразно прогрессии. В случае же дихотомии была регрессия. К примеру, тот же бегун не может стартовать, потому что не может покинуть своего местонахождения. А в ситуации с Ахиллом, даже если бегун тронется с места, он всё равно никуда не прибежит.
«Стадий»
Если сравнивать все парадоксы Зенона по степени сложности, то этот вышел бы победителем. Он труднее прочих поддаётся изложению. Симплиций и Аристотель описали это рассуждение фрагментарно, и нельзя со 100 % уверенностью полагаться на его надёжность. Реконструкция данного парадокса имеет следующий вид: пусть А1, А2, А3 и А4 являются неподвижными телами равного размера, а Б1, Б2, Б3 и Б4 - это тела того же размера, что и А. Тела Б движутся вправо так, что каждое Б минует А за одно мгновение, являющееся наименьшим промежутком времени из всех возможных. Пусть В1, В2, В3 и В4 - тела идентичные А и Б, и движутся относительно А влево, преодолевая каждое из тел за одно мгновение.
Очевидно, что В1 преодолело все четыре тела Б. Примем за единицу время, понадобившееся одному телу В для прохождения одного тела Б. В этом случае на всё передвижение понадобилось четыре единицы. Однако считалось, что два момента, прошедших за это передвижение, минимальны и потому - неделимы. Из этого следует, что четыре неделимых единицы равны двум неделимым единицам.
«Место»
Итак, теперь вы знаете основные парадоксы Зенона Элейского. Осталось рассказать о последнем, который известен под названием «Место». Данный парадокс Зенону приписывает Аристотель. Похожие рассуждения приводились в трудах Филопона и Симплиция в 6 веке н. э. Вот как Аристотель рассказывает об этой проблеме в своей Физике: «Если существует какое-то место, то как определить, где оно находится? Затруднение, к которому пришел Зенон, требует объяснения. Поскольку всё существующее имеет место, то становится очевидным, что и у места должно быть место, и т. д. до бесконечности». По мнению большинства философов, парадокс здесь появляется только потому, что ничто из существующего не может отличаться от самого себя и содержаться само в себе. Филопон считает, что, акцентируя внимание на самопротиворечивости понятия «места», Зенон хотел доказать несостоятельность теории множественности.
Ямпольский
Юрий Семёнович
Россия, Санкт-Петербург
E-mail: *****@***ru
АННОТАЦИЯ
Понимание апорий Зенона о движении рассматриваются на основе идеи, заложенной в работе автора «Пространственная среда – единая основа взаимодействий в природе материального мира». В результате рассмотрения апорий становится понятным, что Зенон допустил логическую ошибку в постановке задач, так как основывался на бесконечной делимости материи, пространства и времени, что в природе материального мира быть не может. Если признавать бесконечную делимость чего-либо, то следует отказаться от бесконечно повторяющегося эволюционного процесса, и признать, что образование Вселенной и материального мира в целом, случайное явление.
ТЕКСТ СТАТЬИ
Во всех рассуждениях, которые будут представлены по поводу рассматриваемых апорий в данной статье, как и при изложении других тем в других публикациях, я основываюсь на идее, которая заложена в моей работе «Пространственная среда – единая основа взаимодействий в природе материального мира». Не опираясь на какую-то идею, невозможно выразить понимание природных процессов в материальном мире. Мне думается, что причиной того, что за 2500 лет изучения апорий Зенона их истинная суть не раскрыта, является то, что в основе рассмотрения апорий, как и многих явлений природы, не лежат истинные представления о фундаментальных основах материи и пространства. Раскрытие сути апорий следует искать в естественном представлении структуры материального мира, и происходящих в этом мире явлений природы, чем занимаются две науки: физика и философия. Без этих представлений, исследования, основанные на применении только математической логической последовательности, не достаточны, чтобы привести к истинному пониманию природы вещей. На основании упомянутой идеи, я даю своё представление понимания излагаемой темы.
Апории Зено́на (от др.-греч. ἀπορία, трудность) - внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, автором которых является древнегреческий философ Зенон Элейский (V век до н. э.). Современники упоминали более 40 апорий Зенона, обсуждавшиеся в «трудах Аристотеля, и других древнегреческих философов; до нас дошли только 9.
Греческий комментатор Аристотеля философ Элиас сообщает, что Зенон высказал 40 рассуждений (эпихейрем) о множестве и пять - о движении. Он выдвинул пять рассуждений в пользу того, что сущее неподвижно . В моей работе «Пространственная среда – единая основа взаимодействий в природе материального мира» показано, что под первоосновой материального мира следует понимать неразрывное пространство, несущее в себе материальный фактор. Причём пространство неподвижно и бесконечно протяжённо. Эту неподвижность не следует понимать, как застывшую структуру. В связи с неразрывностью, оно несёт в себе деформационный фактор, то есть способно подвергаться сжатию, растяжению и искривлению под влиянием происходящих во Вселенной физических процессов. Иными словами, под влиянием этих процессов, пространство непрерывно колеблется, на основании чего я предполагаю, что это является причинным фактором, как непрерывного колебания макротел, так и неопределённого движения микротел, интенсивность которых определяется в зависимости от массы тел, несущих в себе соответствующую инертность. Без представления истинной природной структуры пространственной среды, невозможно прийти к пониманию представленных Зеноном апорий.
Наиболее известны апории о движении: «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия» (деление пополам) и «Летящая стрела» (стрела Зенона), которые обсуждаются более двух тысячелетий; им посвящены сотни исследований. Такое большое количество исследований имеет место потому, что не найдено сколько-нибудь достоверного объяснения логической сути апорий. Английский математик, философ и общественный деятель Бертран Рассел писал, что апории Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней». Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль непрерывного и дискретного (прерывного) в природе. Чтобы понять суть идеи, заложенной в апории, эти дискуссии продолжаются и в настоящее время.
В двух апориях («Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия») предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы. Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени; в этом случае, как показал Зенон, возникают другие трудности. Это напоминает понимание физиками общепринятой сущности фотона: то фотон рассматривается, как частица, то он рассматривается, как волна. И поэтому до настоящего времени фотон – это тёмное пятно физики. И всякие, имеющиеся в настоящее время представления о фотоне, носят только гипотетический характер. Истинного представления о том, что собой представляет фотон, не имеется до настоящего времени. Мною в моей книге сделана попытка определить истинную сущность фотона, который я определяю, как псевдочастицу.
После краткого вступления я представляю содержание апорий о движении, и применяю ту логику рассуждений, которая, как мне видится, даёт возможность понять истинную суть апорий. В основе моих рассуждений лежит моё представление о пространстве, времени, дискретности, непрерывности и бесконечности.
Апория №1: «Ахиллес и черепаха»
В этой апории движение рассматривается, как бесконечный процесс в разных, не связанных между собой, инерциальных системах, то есть, расположенных изначально, в разных точках отсчёта. (Системы отсчета, для которых выполняется закон инерции, называют инерциальными системами. Вообще всякая система отсчета, движущаяся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно, равномерно, прямолинейно, - также инерциальная система).
Участники движения рассматриваются, как движущиеся каждый раз по разным меньшим отрезкам пути, то есть, каждый раз начинают своё движение заново, и так до бесконечности. Следовательно, каждый раз речь идёт о несвязанных между собой отрезках пути, по которым движется каждый персонаж апории. При таком рассмотрении движения, делимых отрезков пути должно быть бесконечное множество. Но это будет справедливо, если основываться на том, что пространство, в котором прокладывается путь, бесконечно делимо, то есть, бесконечно делимы указанные отрезки пути в пространстве. И только в этом случае результатом этого процесса является то, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, так как каждый движется по отдельным бесконечно делимым и не связанным в единое целое участкам. К тому же, если бесконечно делим путь, по которому движется Ахиллес и черепаха, то бесконечно делимы и скорость движения, и время, за которое происходит движение. То есть, каждый раз участники движения попадают в несвязанные между собой единой точкой отсчёта инерциальные системы. А это не даёт возможность объединить их в единую систему рассмотрения, то есть, здесь нет основания для сравнения несравнимых факторов движения. Отсюда мы видим, что рассуждение о том, догонит Ахиллес черепаху или не догонит, не подтверждается логикой сравнения несравнимых отрезков пути.
Таким образом, в этой апории видно явное смысловое противоречие, которое основано на представлении о бесконечной делимости не связанных друг с другом в единую инерциальную систему отсчёта отрезков пути, а, следовательно, основано на утверждении о бесконечной делимости пространства. А что означает делимость пространства, что, собственно, делится. Следовательно, каждый участник движения, движется независимо друг от друга, в разных, не связанных между собой инерциальных системах.
Итак, в рассматриваемой апории Ахиллес стремится догнать черепаху, он находится позади неё. Но если они начнут движение одновременно с одной исходной точки, на одном отрезке пути, то Ахиллес тут же обгоняет черепаху на 900 шагов. И это пример события, когда не имеет места представление о бесконечной делимости отрезков пути.
Итак, если исключить из понимания бесконечную делимость чего-либо в материальном мире, а неразрывное пространство представлять однородным и не делимым фактором, то следует отвергнуть утверждение апории о невозможности догнать черепаху. В таком представлении ни путь, ни скорость, ни время не могут представляться бесконечно делимыми.
Если рассматривать путь, пройденный Ахиллесом и черепахой в единой и неделимой бесконечно пространственной среде, как непрерывный процесс, происходящий за каждую единицу времени с постоянной скоростью у каждого, то этот процесс не будет продолжаться бесконечно и Ахиллес догонит, и перегонит черепаху. Ничто не может быть большим подтверждением истинного характера любого процесса, чем сам процесс, определяемый опытным путём, и долговременной проверкой. И следствием этого должно быть отвержение ложных, умозрительных заключений, о пространстве и времени.
На основании представленных рассуждений следует вывод: Движение в пространственной среде материального мира возможно только при условии существования совокупности элементарных пространств, как неделимых образований пространства. Отсюда следует, что представление о бесконечной делимости чего-либо (материи, времени, скорости, пути) в материальном мире носит чисто умозрительный характер, не подтверждённый происходящими в природе непрерывными физическими процессами, имеющими начало и завершающий конец совершения. Следовательно, логика сделанного Зеноном вывода в апории, основана на неестественном представлении о факторе бесконечной делимости, приводящей к отвержению эволюционного процесса в материальном мире, а потому является ошибочной логикой.
Апория № 2: Дихотомия (деление пополам)
Эта апория аналогична по смыслу происходящего с апорией «Ахиллес и черепаха». Отличие между апориями заключается только в том, что в апории «Ахиллес и черепаха» каждый процесс движения связан с прибавлением меньшего пути, как части большего, к этому большему, а в «Дихотомии» процесс движения связан с возвращением каждый раз от большего отрезка пути – к меньшему отрезку, прежде чем начать движение вперёд. Такой процесс движения – это не движение вперёд по преодолению пути, а непрерывное возвращение к начальной точке отсчёта. Основывается такой процесс в апории «Дихотомия» так же, как и в апории «Ахиллес и черепаха», на представлении о бесконечной делимости отрезков пути, или пространственного фактора, в котором прокладывается путь для движения в нём материального тела.
Если основываться на представлении о бесконечной делимости отрезков пути, а, следовательно, на бесконечной делимости пространственного фактора, то невозможно вернуться к точке начала отсчёта движения. Следовательно, вывод апории о том, что движение никогда не начнётся, может быть справедлив только в том случае, если считать, что материальный фактор бесконечно делим. Но если за основу структуры пространственной среды принять конечность делимости пространства на уровне элементарных пространств, то логика рассмотрения «Дихотомии» ошибочна, так как не учитывает природной структуры конечной делимости пространства, в частности, и материальной сущности в целом. Если бы бесконечная делимость соответствовала природной сущности, то движения в пространственной среде не могло бы быть ни вперёд, ни назад; и тогда встал бы вопрос о возможности существования материального мира. А поскольку такой процесс движения не соответствует истинным фактам, происходящих в природе процессов, то концепция бесконечной делимости чего-либо в материальном мире неестественна, а, следовательно, несостоятельна и ошибочна, и приводит в теоретических разработках к неестественному представлению окружающего нас мира.
На основании представленных рассуждений, логика, заложенная в апории «Дихотомия», не соответствует естественным природным факторам, так как основывается на ошибочных представлениях о структуре материального пространства и на неограниченности деления материального фактора.
Апория №3. Летящая стрела, или «Стрела Зенона»
Утверждение о том, что летящая стрела в каждый момент покоится, основывается на том, что пространственная среда, в которой летит стрела, представляет собой бесконечно делимую структуру. Это означает, что имеет место совокупность бесконечно делимых элементарных пространств, и бесконечно делимое время, то есть, на вневременных промежутках, где ничего не происходит, так как всё может происходить только при непрерывном течении времени. Действительно, невозможно представить, как может происходить движение вперёд, если движение происходит в бесконечно делимой среде. В этом представлении стрела непрерывно попадает в часть целого, то есть всё время является неподвижной. По-видимому, из такой среды выбраться невозможно. Отсюда и сделан вывод о том, что в такой среде движение невозможно. Следует также учесть то, что не оговаривается в апории. Имеется в виду то, что материальная стрела также дискретна, но при движении в среде должна сохранять свою длину, иначе о какой стреле идёт речь. Если стрела непрерывно переходит в бесконечно уменьшающийся объём пространства, то возникает вопрос: что должно происходить сокращение длины стрелы и её материальной массы? В таком представлении возможным объяснением может быть только представление о бесконечной делимости материи. По-видимому, при представлении бесконечной делимости материальной массы стрелы, невозможно говорить не только о движении стрелы, но и факте существования самой стрелы, так как её дискретная масса становится исчезающе малой. В результате этого стрела лишается своего изначального размера, то есть, в бесконечности она исчезает, а, следовательно, исчезает совокупная масса стрелы и логика дальнейших рассуждений приводит к рассмотрению не движения стрелы, а к дискретному делению распавшейся массы бывшей конструкции стрелы. Но, если в действительности стрела движется в пространстве, то тогда пространство не может быть бесконечно делимым; и тогда остаётся признать, что пространство представляет собой совокупность неделимых элементарных пространств. А само движение в пространстве связано не с фактором делимости пространства, а с фактором деформационных свойств пространства, основанном на неделимости совокупности неразрывных элементарных пространств. В таком понимании, следствием движения в пространственной среде является сжатие последовательного ряда элементарных пространств, то есть движение материального тела в неразрывном пространстве, несущем в себе деформационный фактор, а не нахождение каждый раз в изменяющейся бесконечно делимой дискретной сущности.
Таким образом, из всего сказанного следует, что в виду того, что пространство не может быть бесконечно делимым, то не может быть ограничения движению стрелы. Следовательно, летящая стрела не может быть неподвижной, что и подтверждается в действительности в природе материального мира.
Что касается утверждения о том, что стрела «…покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда», следует понимать, что в неразрывном деформационном пространстве движение носит дискретный характер.
Возможно, я несколько повторюсь, но для большего понимания моего представления о пространстве, следует добавить к сказанному несколько слов о характере движения материального тела в пространственной среде в соответствии с моим представлением о неразрывном пространстве, изложенным в упомянутой выше работе. Следствием неразрывности пространственной среды является его деформационное состояние. Это означает, что пространство способно сжиматься (уплотняться), растягиваться и искривляться. А это означает, что движение материального тела носит деформационный, то есть, дискретный характер. Состояние пространства при движении в нём материального тела, образно говоря, подобно мгновенному непрерывному локальному сжатию и растяжению пружины, как последовательному и непрерывному процессу. Следовательно, в связи с неразрывностью пространственной совокупности, тело движется в пространстве с мгновенными микроостановками. И тогда, движение любого материального тела в пространственной среде, носит непрерывный процесс перехода из одного состояния в другое. Подобное рассуждение, в какой-то степени, соответствует тому, что высказал в своё время представитель древнекитайской «школы имён» Гунсунь Луну, в III-IV веке до н. э.; он сказал, что «В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
Близкую точку зрения можно найти у «Николя Бурбаки», псевдонима коллективного члена французских математиков: «Вопрос о бесконечной делимости пространства привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии. От Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера». А ведь любое целое тело так и представляется теми, кто основывает свои теории на бесконечном делении. И в результате получается, что целое в своей совокупности состоит из ничего».
Таким образом, я делаю вывод, что и данная апория «Летящая стрела» не находит своего подтверждения о неподвижности летящей стрелы в бесконечно делимом пространстве. Если представить бесконечную делимость материи материального тела, то в пределе делимости тело становится исчезающе малым, то есть, материя исчезает. Можно ли в таком случае ответить на вопрос, куда исчезает материя, хотя бы в перспективе бесконечного деления? Если материя не имеет величины, то она не существует. Тогда что мы пытаемся обсуждать?
Апория № 4: Стадион
В этой апории имеет место ошибка в логике рассуждений. Рассмотрим это. Если одно тело движется относительно другого, покоящегося, с некоторой скоростью V1, то при движении двух тел навстречу друг друга с одинаковой для каждого тела скоростью, это можно представить, как одно тело, движущееся со скоростью 2V1, относительно второго, покоящегося. Отсюда следует, что при движении одного тела относительно другого затраты времени при движении относительно покоящегося второго тела и при встречном движении различаются, а, следовательно «половина не равна целому».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К АПОРИЯМ О ДВИЖЕНИИ
Итак, на основании рассмотренных апорий, следует вывод о несоответствии представления о бесконечной делимости чего-либо в материальном мире. Такое представление неестественно, это логическая и физическая ошибка, основанная на неверном представлении философией, физической наукой и математикой в прошлом и в настоящем, тех истинных фундаментальных причин, которые лежат в основании понимания происходящих явлений в материальном мире, а потому умозрительны и не находят подтверждения ни в природе ни в экспериментах.
И в заключение, я хочу привести, высказываемое современной наукой, историческое значение апорий Зенона. «Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории - это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного». «Рассуждения Зенона, изложенные точной и ясной прозой, являются первым в истории примером чисто логических доказательств. Именно этим определяется исключительно важное место Зенона в истории науки». Здесь видно ясное указание на то, что наше представление о реальности (включая математическое) может быть неадекватно этой реальности; в последующем наука столкнулась с многочисленными примерами справедливости этого тезиса. Если материальное тело дискретно, то это означает, что оно является совокупностью меньших по массе материальных частиц. Тогда при бесконечной делимости каждой частицы, эти частицы не связаны между собой, каждая из них самостоятельна. Этим опровергается философское определение, что в материальном мире всё взаимосвязано и взаимообусловлено. Материалистическая философия понимания окружающего нас мира не может согласиться с этим. Следовательно, представление о бесконечной делимости неестественно, ложно и заводит своими выводами в логический тупик.
Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе – физика США. В заключение своей статьи автор приходит к выводу: «Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно».
Таким образом, я изложил своё отношение к апориям Зенона о движении, и представляю их всем, кто ознакомился с моим пониманием логики, заложенной Зеноном в апории.
Люди интуитивно отвергали этот парадокс на протяжении многих веков. С математической точки зрения, решение, сформулированное в XIXвеке, состоит в том, чтобы признать, что половина плюс одна четвертая плюс одна восьмая плюс одна шестнадцатая и т.д. составляет единицу. Это все равно, что сказать: ноль целых и девять в периоде равно единице.
Однако, это теоретическое решение фактически не дает ответа на вопрос, как объект может достичь конечной точки своего движения. Решение этой задачи является более сложным и до сих пор не вполне понятным, если опираться на теории XX столетия, которые отрицают бесконечную делимость материи, времени и пространства.
Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.
Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией - от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.
Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.
Вот еще одна апория, словами Зенона:
Если что-то движется, то оно движется либо в том месте, которое оно занимает, либо в том месте, где его нет. Однако оно не может двигаться в том месте, которое оно занимает (так как в каждый момент времени оно занимает все это место), но оно также не может двигаться и в том месте, где его нет. Следовательно, движение невозможно.
Этот парадокс называется стрела (в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется).
Наконец, существует четвертая апория, в которой речь идет о двух равных по длине колоннах людей, движущихся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Зенон утверждает, что время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.
Из этих четырех апорий первые три наиболее известны и наиболее парадоксальны. Четвертая просто связана с неправильным пониманием природы относительного движения.
Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона - это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху или выпустить стрелу. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.
Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу - и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.
Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным - собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.
источники
Https://elementy.ru/trefil/53/Paradoks_Zenona
Рассуждения очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь, движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть эту половину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности. Иными словами, при тех же условиях, что и в предыдущем случае, мы будем иметь дело с перевернутым рядом точек: (½)n,…, (½)3, (½)2, (½)1. Если в случае апории Ахилл и черепаха соответствующий ряд не имел последней точки, то в Дихотомии этот ряд не имеет первой точки. Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А поскольку движение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет. Существует легенда, о которой вспоминает А. С. Пушкин в стихотворении «Движение»:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Действительно, согласно легенде, один из философов так и “возразил” Зенону. Зенон велел бить его палками: ведь он не собирался отрицать чувственное восприятие движения. Он говорил о его немыслимости, о том, что строгое размышление о движении приводит к неразрешимым противоречиям. Поэтому, если мы хотим избавиться от апорий в надежде, что это вообще возможно (а Зенон как раз считал, что невозможно), то мы должны прибегать к теоретическим аргументам, а не ссылаться на чувственную очевидность. Рассмотрим одно любопытное теоретическое возражение, которое было выдвинуто против апории Ахилл и черепаха.
“Представим себе, что по дороге в одном направлении движутся быстроногий Ахилл и две черепахи, из которых Черепаха-1 несколько ближе к Ахиллу, чем Черепаха-2. Чтобы показать, что Ахилл не сможет перегнать Черепаху-1, рассуждаем следующим образом. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, Черепаха-1 успеет уползти несколько вперед, пока Ахилл будет пробегать этот новый отрезок, она опять-таки продвинется дальше, и такое положение будет бесконечно повторяться. Ахилл будет все ближе и ближе приближаться к Черепахе-1, но никогда не сможет ее перегнать. Такой вывод, конечно же, противоречит нашему опыту, но логического противоречия у нас пока нет.
Пусть, однако, Ахилл примется догонять более дальнюю Черепаху-2, не обращая никакого внимания на ближнюю. Тот же способ рассуждения позволяет утверждать, что Ахилл сумеет вплотную приблизиться к Черепахе-2, но это означает, что он перегонит Черепаху-1. Теперь мы приходим уже к логическому противоречию” .
Здесь трудно что-либо возразить, если оставаться в плену образных представлений. Необходимо выявить формальную суть дела, что позволит перевести дискуссию в русло строгих рассуждений. Как нам кажется, первая апория сводится к следующим трем утверждениям:
(1) Любой отрезок можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков … .
(2) Поскольку бесконечная последовательность аi (1 ≤ i ‹ ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение побывав в каждой из точке этой последовательности.
Проиллюстрировать полученный вывод можно по-разному. Наиболее известная иллюстрация – “самое быстрое никогда не сможет догнать самое медленное” – была рассмотрена выше. Но можно предложить более радикальную картину, в которой обливающийся потом Ахилл (вышедший из пункта А) безуспешно пытается настичь черепаху, преспокойно греющуюся на Солнце (в пункте В) и даже не думающую убегать. Суть апории от этого не меняется. Иллюстрацией тогда станет куда более острое высказывание – “самое быстрое никогда не сможет догнать неподвижное”. Если первая иллюстрация парадоксальна, то вторая – тем паче.
При этом нигде не утверждается, что убывающие последовательности отрезков ai для и ai" для должны быть одинаковы. Напротив, если отрезки и неравны по длине между собой, их разбиения на бесконечные последовательности убывающих отрезков окажутся различными. В приведенном рассуждении Ахилла отделяет от черепах 1 и 2 разные расстояния. Поэтому мы имеем два различных отрезка и с общей начальной точкой А. Неравные отрезки и порождают различные бесконечные последовательности точек, и недопустимо использовать одну из них вместо другой. Между тем именно эта незаконная операция применяется в аргументах о двух черепахам.
Если не смешивать иллюстрации и существо апории, то можно утверждать, на наш взгляд, что апории Ахилл и Дихотомия симметричны по отношению к друг другу. В самом деле, Дихотомия также водится к следующим трем утверждениям:
(0) Каков бы ни был отрезок , движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка .
(1) Любой отрезок можно представить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков … … .
(2) Поскольку бесконечная последовательность bi не имеет первой точки, невозможно побывать в каждой из точек этой последовательности.
Таким образом, апория Ахилл основывается на тезисе о невозможности завершить движение из-за необходимости посетить последовательно каждую из точек бесконечного ряда, упорядоченного по типу ω (т. е. по типу порядка на натуральных числах), который не имеет последнего элемента. В свою очередь Дихотомия утверждает невозможность начала движения из-за наличия бесконечного ряда точек, упорядоченных по типу ω* (так упорядочены целые отрицательные числа), который не имеет первого элемента.
Проанализировав более тщательно две приведенные апории, мы обнаружим, что обе они опираются на допущение о непрерывности пространства и времени в смысле их бесконечной делимости. Такое допущение непрерывности отличается от современного, но имело место в древности. Без допущения тезиса о том, что любой пространственный или временной интервал можно разделить на меньшие по длине интервалы, обе апории рушатся. Зенон прекрасно это понимал. Поэтому он приводит аргумент, исходящий из принятия допущения о дискретности пространства и времени, т. е. допущения о существовании элементарных, далее неделимых, длин и времен.
Один из известнейших доводов Зенона об отсутствии движения гласит: «В конечный промежуток времени нельзя пройти бесконечное число отрезков, что означает невозможность начала самого движения».
Суть данного высказывания состоит в следующем. Если существует некий отрезок А-В, то чтобы попасть из точки А в точку В, нужно сначала добраться до точки С, которая будет серединой отрезка А-В. А чтобы достичь точки С, необходимо сперва попасть в точку D, являющуюся серединой А-С, и так будет продолжаться бесконечно. Из этого следует, что движение не начнется никогда, так как никогда не будет найден конечный пункт даже бесконечно малого смещения.
К данной апории в своих работах обращались многие философы, в том числе Аристотель, Гегель и Ленин, причем они не поддерживали точку зрения Зенона, а наоборот, приводили аргументы в пользу неверности утверждения. Так, Аристотель писал, что «…пространство и время бесконечно делимы в возможности, но не бесконечно разделены в действительности». Гегель, развивая мысль Аристотеля, утверждал, что делимость есть не необходимость, а лишь возможность деления.
«Ахиллес и черепаха»
На принципах, изложенных в «Дихотомии», базируется и еще одна апория, в которой Зенон рассказывает о том, что, чтобы Ахиллес догнал черепаху, необходимо, чтобы исчезло разделяющее их расстояние, а это невозможно.
Философ объясняет свою мысль тем, что если черепаха и Ахиллес начинают двигаться в одном направлении в одну и ту же секунду, но черепаха находится на каком-то расстоянии впереди, то пока Ахиллес будет преодолевать этот путь, черепаха продвинется на сколько-нибудь вперед, и дистанция будет бесконечно сокращаться, но в итоге между ними всегда будет оставаться не равное нулю расстояние.
Записав уравнения движений Ахиллеса и черепахи, можно выяснить, что в момент их предполагаемой встречи они должны пройти равное количество отрезков пути, а проходят разное: человек преодолевает один «лишний» отрезок. Это, с одной стороны, показывает формальную некорректность зеноновских утверждений, но, при этом, дает современным математикам и философам огромный простор для действий по доказательству или опровержению того, что часть равна целому.
Д. Гильберт и П. Бернайс замечают: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться» Д. Гильберт, П. Бернайс «Основания математики. Теория доказательств», 1982.
Данная апория Зенона не переставала интересовать математиков и философов. Однако вплоть до наших дней существуют самые разнообразные мнения: от совершенно-пренебрежительного отношения до признания того, что она относятся к наиболее важным и трудным вопросам обоснования математики и физики.
Так, известному французскому математику Полю Леви парадокс об Ахиллесе и черепахе представляется очевидной нелепостью.
«Почему воображать себе, - пишет он, - что время остановит свой ход вследствие того, что некий философ занимается перечислением членов сходящегося ряда? Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущёнными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс, или, точнее, есть тот самый ответ, который я резюмировал тогда такой немногословной формулой: Этот грек был идиотом» Р. Levy, A propos du paradoxe et de la logique,. «Rev. Meta-phys. Morale», 1957, N 2, p. 130.
