Что значит целое число

Итак, рассмотрим, какие числа называют целыми.

Таким образом, целыми будут обозначаться такие числа: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ и т.д.

Множество натуральных чисел есть подмножеством множества целых чисел, т.е. любое натуральное будет являться целым числом, но не любое целое является натуральным числом.

Целые положительные и целые отрицательные числа

Определение 2

плюс .

Числа $3, 78, 569, 10450$ – целые положительные числа.

Определение 3

являются целые числа со знаком минус .

Числа $−3, −78, −569, -10450$ – целые отрицательные числа.

Замечание 1

Число ноль не относится ни к целым положительным, ни к целым отрицательным числам.

Целыми положительными числами являются целые числа, большие нуля.

Целыми отрицательными числами являются целые числа, меньшие нуля.

Множество натуральных целых чисел являет собой множество всех целых положительных чисел, а множество всех противоположных натуральным числам являет собой множество всех целых отрицательных чисел.

Целые неположительные и целые неотрицательные числа

Все целые положительные числа и число нуль называются целыми неотрицательными числами .

Целыми неположительными числами являются все целые отрицательные числа и число $0$.

Замечание 2

Таким образом, целым неотрицательным числом являются целые числа, большие нуля или равные нулю, а целым неположительным числом – целые числа, меньшие нуля или равные нулю.

Например, целые неположительные числа: $−32, −123, 0, −5$, а целые неотрицательные числа: $54, 123, 0, 856 342.$

Описание изменения величин при помощи целых чисел

Целые числа применяются для описания изменения числа каких-либо предметов.

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Пусть в магазине продается какое-то число наименований товара. Когда в магазин поступит $520$ наименований товаров, то число наименований товара в магазине увеличится, а число $520$ показывает изменение числа в положительную сторону. Когда в магазине продастся $50$ наименований товара, то число наименований товара в магазине уменьшится, а число $50$ будет выражать изменение числа в отрицательную сторону. Если в магазин не будут ни привозить, ни продавать товар, то число товара будет оставаться неизменным (т.е. можно говорить о нулевом изменении числа).

В приведенном примере изменение числа товара описывается с помощью целых чисел $520$, $−50$ и $0$ соответственно. Положительное значение целого числа $520$ указывает на изменение числа в положительную сторону. Отрицательное значение целого числа $−50$ указывает на изменение числа в отрицательную сторону. Целое число $0$ указывает на неизменность числа.

Целые числа удобно использовать, т.к. не нужно явное указание на увеличение числа или уменьшение, – знак целого числа указывает на направление изменения, а значение – на количественное изменение.

С помощью целых чисел можно выразить не только изменение количества, но и изменение любой величины.

Рассмотрим пример изменения стоимости товара.

Пример 2

Повышение стоимости, например, на $20$ рублей выражается с помощью положительного целого числа $20$. Понижение стоимости, например, на $5$ рублей описывается с помощью отрицательного целого числа $−5$. Если изменений стоимости нет, то такое изменение определяется с помощью целого числа $0$.

Отдельно рассмотрим значение отрицательных целых чисел как размера долга.

Пример 3

Например, у какого-либо человека есть $5 000$ рублей. Тогда с помощью целого положительного числа $5 000$ можно показать количество рублей, которые у него есть. Человек должен оплатить квартплату в размере $7 000$ рублей, но у него таких денег нет, в таком случае подобная ситуация описывается отрицательным целым числом $−7 000$. В таком случае человек имеет $−7 000$ рублей, где «–» указывает на долг, а число $7 000$ показывает количество долга.

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Целые числа. Определение, примеры

Вначале вспомним про натуральные числа ℕ . Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Определение 1. Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль.

Множество целых чисел обозначается буквой ℤ .

Множество натуральных чисел ℕ - подмножество целых чисел ℤ . Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Из определения следует, что целым является любое из чисел 1 , 2 , 3 . . , число 0 , а также числа - 1 , - 2 , - 3 , . .

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 являются целыми числами.

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0 , а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число.

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Положительные и отрицательные целые числа

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Определение 2. Положительные целые числа

Положительные целые числа - это целые числа со знаком "плюс".

Например, число 7 - целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0 . Другие примеры положительных целых чисел: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Определение 3. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа - это целые числа со знаком "минус".

Примеры целых отрицательных чисел: - 528 , - 2568 , - 1 .

Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным.

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число.

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Определение 4. Положительные целые числа

Положительные целые числа - это целые числа, которые больше нуля.

Определение 5. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа - это целые числа, которые меньше нуля.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа - это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Важно!

Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить - нет, не являются.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа - это положительные целые числа и число нуль.

Определение 7. Неположительные целые числа

Неположительные целые числа - это отрицательные целые числа и число нуль.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных целых чисел: 52 , 128 , 0 .

Примеры неположительных целых чисел: - 52 , - 128 , 0 .

Неотрицательное число - это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число - это число, меньшее или равное нулю.

Термины "неположительное число" и "неотрицательное число" используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a - целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a - целое неотрицательное число.

Использование целых чисел при описании изменения величин

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200 деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.

Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом - 30 , а увеличение на 2 градуса - положительным целым числом 2 .

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем - 5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак "минус" говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 - другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

2 + (- 3) = - 5

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

§ 77. О долях единицы.

Мы изучили свойства целых чисел и действия над ними. Кроме целых чисел, существуют числа дробные, с которыми мы сейчас ознакомимся. Когда ученик говорит, что ему от дома до школы полчаса ходьбы, то он выражает время не в целых часах, а в частях часа. Когда врач рекомендует больному растворить порошок в четверти стакана горячей воды, то здесь вода измеряется не целыми стаканами, а частями стакана. Если один арбуз нужно разделить поровну между тремя мальчиками, то каждый из них может получить только треть арбуза, или третью его часть.

Во всех случаях мы говорили не о целых единицах, а о частях, или долях единицы. Доли могут быть самые разнообразные, например грамм есть тысячная доля килограмма, миллиметр - миллионная доля километра. Сначала мы будем говорить о наиболее простых долях (половина, треть, четверть и т. д.).

Для большей наглядности будем изображать эти доли отрезками прямой линии.

Если отрезок АВ примем за единицу (рис. 9), то, разделив его на две равные части, мы можем сказать, что полученные отрезки АС и СВ будут половинами отрезка АВ.

Далее, если отрезок DE (рис. 10) примем за единицу и разделим его на 3 равные части, то каждый из полученных отрезков DF, FH, HE будет равен одной трети отрезка DE, а отрезок DH будет равен двум третям отрезка DE. Точно так же отрезок FE будет равен двум третям отрезка DE.

Возьмём ещё отрезок MN (рис. 11), примем его за единицу и разделим на четыре равные части; тогда каждый из отрезков МР, PQ, QR, RN будет равен одной четверти отрезка MN; каждый из отрезков MQ, PR, QN будет равен двум четвертям его, а каждый из отрезков MR и PN равен трём четвертям MN.

В рассмотренных примерах мы ознакомились с половиной, третью, четвертью, двумя третями, двумя четвертями, тремя четвертями, т. е. либо с одной долей единицы, либо с двумя, либо с тремя равными долями единицы.

Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы, называется дробью .

Мы уже сказали, что вместо слова «доля» можно говорить слово «часть»; поэтому дробью можно назвать число, выражающее одну или несколько одинаковых частей единицы.

Таким образом, названные в этом параграфе числа: половина, или одна вторая, одна треть, одна четверть, две трети и прочие, будут дробями.

Часто приходится рассматривать не только доли предметов, но вместе с ними и целые предметы. Например, два мальчика решили разделить поровну имеющиеся у них пять яблок. Очевидно, каждый из них возьмёт сначала по два яблока, а оставшееся последнее яблоко они разрежут на две равные части. Тогда у каждого будет по два с половиной яблока. Здесь число яблок у каждого мальчика выражается целым числом (два) с некоторой дробью (половина).

Числа, в состав которых входит целое число и дробь, называются смешанными числами.

§ 78. Изображение дробей.

Рассмотрим последний чертёж предыдущего параграфа (рис. 11). Мы говорили, что отрезок MR составляет три четверти отрезка MN. Теперь возникает вопрос, как эту дробь, т. е. три четверти, записать с помощью цифр. Припомним, как возникла дробь три четверти. Мы приняли отрезок MN за единицу, разделили его на 4 равные части и из этих частей взяли 3. Вот этот процесс возникновения дроби и должен быть отражён в её записи, т. е. из этой записи должно быть видно, что единица разделена на 4 равные части и полученных частей взято 3. В силу этого дробь изображают с помощью двух чисел, разделённых горизонтальной чёрточкой. Под чёрточкой пишется число, указывающее, на сколько равных частей разделена единица, от которой берётся дробь, а над чертой пишется другое число, показывающее, сколько долей содержится

в данной дроби. Дробь три четверти будет записана так: 3 / 4 .

Число, стоящее над чертой, называется числителем дроби; это число показывает число долей, содержащихся в данной дроби.

Число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби; оно показывает, на сколько равных частей разделена единица.

3 - числитель,
_
4 - знаменатель.

Чёрточка, отделяющая числитель от знаменателя, называется дробной чертой. Числитель и знаменатель оба вместе называются членами дроби. Напишем в качестве примера дроби:

две трети - 2 / 3 ; пять двенадцатых - 5 / 12 .

Смешанные числа записывают так: сначала пишут целое число и рядом с ним справа приписывают дробь. Например, смешанное число два и четыре пятых нужно записать так: 2 4 / 5 .

§ 79. Возникновение дробей.

Рассмотрим вопрос о том, как и откуда возникают дроби, почему и при каких обстоятельствах они появляются.

Возьмём, например, такой факт. Нужно измерить при помощи метра длину классной доски. Мы берём метровую деревянную линейку и прикладываем её вдоль нижнего края доски, перемещаясь слева направо. Пусть она уложилась два раза, но ещё осталась некоторая часть доски, где линейка в третий раз уже не уложится, потому что длина оставшейся части меньше длины линейки.

Если в оставшейся части доски содержится, например, половина метра, то длина доски равняется двум с половиной (2 1 / 2) метрам.

Будем теперь измерять ширину доски той же самой линейкой. Допустим, что она уложилась один раз, но после этого единственного откладывания осталась небольшая часть доски, длиной меньше метра. Прикладывая метр к этой части доски, положим, удалось обнаружить, что она равна одной четверти (1 / 4) метра.

Значит, вся ширина доски равна 1 1 / 4 м.

Таким образом, при измерении длины и ширины доски мы получили числа 2 1 / 2 м и 1 1 / 4 м (т. е. дробные числа).

Не только длина и ширина предметов, но и очень многие другие величины выражаются часто дробными числами.

Время мы измеряем не только в часах, минутах и секундах, но нередко и в частях часа, в частях минуты и даже в частях секунды.

Очень часто дробными числами выражают вес, например, говорят: 1 / 2 кг, l 1 / 2 кг, 1 / 2 г, 3 / 4 г, 1 / 2 т и т. д.

До сих пор мы говорили о происхождении дробей от измерения, но существует ещё один источник возникновения дробей - это действие деления. Остановимся на этом. Пусть требуется 3 яблока разделить между 4 мальчиками; очевидно, в этом случае каждый мальчик не получит целого яблока, потому что яблок меньше, чем детей. Возьмём сначала 2 яблока и разрежем каждое пополам. Получится 4 половины, а так как мальчиков четыре, то каждому можно дать по половине яблока. Оставшееся третье яблоко разрежем на 4 части и тогда добавим каждому мальчику к тому, что он имеет, ещё по четверти. Тогда все яблоки будут распределены и каждый мальчик получит по одной половине да ещё по одной четверти яблока. Но так как в каждой половине содержится по 2 четверти, то окончательно можно сказать, что каждому мальчику придётся по две четверти и плюс по одной четверти, т. е. всего по три четверти (3 / 4)яблока.

§ 80. Сравнение дробей по величине.

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12 отрезок AВ равен отрезку CD; отрезок EF больше отрезка QH; отрезок KL меньше отрезка MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице измерения). Возьмём отрезок СК и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1 / 2 . Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2 / 4 ; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать дробь 4 / 8 . Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1 / 2 , 2 / 4 и 4 / 8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными числителями: 1 / 4 и 1 / 8 , и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части, а во втором случае о н а же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1 / 4 больше 1 / 8 . Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными знаменателями: 5 / 8 и 3 / 8 . Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с разными числителями и знаменателями, то судить об их величине можно путём сравнения каждой из них с единицей. Например, 2 / 3 меньше 4 / 5 , потому что первая дробь отличается от единицы на 1 / 3 , а вторая на 1 / 5 , т. е. у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.

§ 81. Дроби правильные и неправильные. Смешанные числа.

Возьмём отрезок АВ, равный двум каким-нибудь линейным единицам (рис. 15). Разделим каждую единицу на 10 равных частей, тогда каждая часть будет равна 1 / 10 , т. е.

AD = DE = EF = FH = ... = 1 / 10 AC.

Рассмотрим другие отрезки и подумаем, какими дробями они выражаются. Например, AF - 3 / 10 , АК - 5 / 10 , AM - 7 / 10 ; АО - 9 / 10 , АС - 10 / 10 , АР - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Все взятые отрезки мы выразили дробными числами со знаменателем 10. У первых четырёх дробей (3 / 10 , 5 / 10 , 7 / 10 ; 9 / 10) числители меньше знаменателей, каждая из них меньше 1.

У пятой по порядку дроби (10 / 10) числитель равен знаменателю, а сама дробь равна 1, она соответствует отрезку АС, принятому за единицу.

У двух последних дробей (11 / 10 , 13 / 10) числители больше знаменателей, а каждая дробь больше 1.

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью. Как сказано выше, правильная дробь меньше единицы. Значит, первые четыре дроби - правильные и поэтому можно написать: 3 / 10 <1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Дробь, у которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной дробью. Таким образом, неправильная дробь или равна единице, или больше её. Значит, три последние дроби - неправильные и можно написать:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Остановимся на двух последних (неправильных) дробях. Дробь 11 / 10 состоит из одной целой единицы и правильной дроби 1 / 10 , значит, её можно написать так: 1 1 / 10 . Получилось число, представляющее собой соединение целого числа и правильной дроби, т. е. смешанное число. То же самое можно повторить и относительно неправильной дроби 13 / 10 . Её мы можем представить как 1 3 / 10 . Это тоже будет смешанное число.

Необходимо научиться заменять неправильную дробь смешанным числом. Две предыдущие неправильные дроби мы легко заменили смешанными числами. Но если бы нам встретилась дробь,например 545 / 32 , то выделить из нее целую часть сложнее, а без выделения целой части трудно судить о величине этого числа.

С другой стороны, при выполнении различных вычислений иногда удобнее пользоваться не смешанными числами, а неправильными дробями. Значит, нужно уметь в случае надобности делать и обратное преобразование, т. е. заменять смешанное число неправильной дробью.

§ 82. Обращение неправильной дроби в смешанное число и обратное преобразование.

Возьмём неправильную дробь 9 / 4 и попробуем заменить её смешанным числом. Будем рассуждать так: если в одной единице заключено 4 четверти, то в 9 четвертях заключается столько целых единиц, сколько раз 4 четверти содержатся в 9 четвертях. Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно 9 разделить на 4. Полученное частное укажет число целых, а остаток даст число четвертей, не составляющих целой единицы. 4 содержится в 9 два раза с остатком, равным 1. Значит, 9 / 4 = 2 1 / 4 , так как 9: 4 = 2 и 1 в остатке.

Обратим в смешанное число неправильную дробь 545 / 32 , указанную выше.

545 ; 32 = 17 и 1 в остатке, значит, 545 / 32 = 17 1 / 32 .

Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток; частное покажет число целых единиц, а остаток - число долей единицы.

Так как, обращая неправильную дробь в смешанное число, мы всякий раз выделяем целую часть, то это преобразование принято называть исключением целого числа из неправильной дроби.

Рассмотрим случай, когда неправильная дробь равна целому числу. Пусть требуется исключить целое число из неправильной

дроби 36 / 12 По правилу получаем 36: 12 = 3 и 0 в остатке, т. е. числитель разделился на знаменатель без остатка, значит, 36 / 12 =3 .

Перейдём теперь к обратному преобразованию, т. е. к обращению смешанного числа в неправильную дробь.

Возьмём смешанное число 3 3 / 4 и обратим его в неправильную дробь. Будем рассуждать так: каждая целая единица содержит 4 четверти, а 3 единицы будут содержать в 3 раза больше четвёртых долей, т. е. 4 х 3 = 12 четвёртых долей. Значит, в 3 целых единицах содержится 12 четвертей, да ещё в дробной части смешанного числа имеется 3 четверти, а всего будет 15 четвертей, или 15 / 4 . Следовательно, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Пример. Обратить в неправильную дробь смешанное число 8 4 / 9:

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целое число, к полученному произведению прибавить числитель и сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний.

§ 83. Обращение целого числа в неправильную дробь.

Всякое целое число можно выразить в каких угодно долях единицы. Это иногда бывает полезно при вычислениях. Пусть, например, число 5 требуется выразить в шестых долях единицы.

Будем рассуждать следующим образом: так как в одной единице заключается шесть шестых долей, то в 5 единицах этих долей будет не шесть, а в 5 раз больше, т. е. 6 x 5 = 30 шестых долей. Действие принято располагать так:

Таким же образом мы можем всякое целое число обратить в неправильную дробь с любым знаменателем. Возьмём число 10 и представим его в виде неправильной дроби с различными знаменателями:

знаменатель 2, тогда

знаменатель 3, тогда

знаменатель 5, тогда

Таким образом, чтобы выразить целое число в виде неправильной дроби с данным знаменателем, нужно этот знаменатель умножить на данное число, полученное произведение сделать числителем и подписать данный знаменатель.

Наименьший из возможных знаменателей - единица (1). Поэтому, когда хотят представить целое число в виде дроби, то в качестве знаменателя часто берут единицу (l2 = 12 / 1). Эту мысль иногда выражают так: всякое целое число можно рассматривать как дробь со знаменателем, равным единице (2 = 2 / 1 ; 3 = 3 / 1 ; 4 = 4 / 1 ; 5 = 5 / 1 и т. д.)

§ 84. Изменение величины дроби с изменением её членов.

В этом параграфе мы рассмотрим, как будет изменяться величина дроби при изменении её членов.

1-й вопрос. Что происходит с величиной дроби при увеличении её числителя в несколько раз? Возьмём дробь 1 / 12 и будем постепенно увеличивать её числитель в два, в три, в четыре и т. д. раз. Тогда получатся следующие дроби:

Если мы станем сравнивать эти дроби между собой, то увидим, что они постепенно увеличиваются: вторая дробь в два раза больше первой, потому что в ней вдвое больше долей, третья дробь в три раза больше первой и т. д.

Отсюда можно сделать вывод: если числитель дроби увеличить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

2-й вопрос. Что происходит с величиной дроби при уменьшении её числителя в несколько раз? Возьмём дробь 24 / 25 и будем постепенно уменьшать её числитель в два раза, в три раза, в четыре раза и т. д. Тогда получатся следующие дроби:

Посмотрите одну за другой эти дроби слева направо и вы убедитесь, что вторая дробь (12 / 25) в два раза меньше первой 24 / 25 , потому что у неё вдвое меньше долей, т. е. вдвое меньше числитель; четвертая дробь 6 / 25 вчетверо меньше первой и в два раза меньше второй.

Значит, если числитель дроби уменьшить в несколько раз, то дробь уменьшится во столько же раз.

3-й вопрос. Что произойдёт с величиной дроби при увеличении её знаменателя в несколько раз? На этот вопрос мы можем ответить, взяв какую-нибудь дробь, например 1 / 2 , и увеличив её знаменатель, не изменяя числителя. Увеличим знаменатель в два раза, в три раза и т. д. и посмотрим, что при этом произойдёт с дробью:

Постепенно увеличивая знаменатель, мы довели его, наконец, до 100. Знаменатель стал довольно велик, но зато сильно уменьшилась величина доли, она стала равна одной сотой. Отсюда ясно, что увеличение знаменателя дроби неизбежно приведёт к уменьшению самой дроби.

Значит, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то дробь уменьшится во столько же раз.

4-й вопрос. Что произойдёт с величиной дроби при уменьшении её знаменателя в несколько раз? Мы возьмём те дроби, которые недавно были написаны, и перепишем их с конца; тогда у нас первая дробь будет самой маленькой, а последняя - самой большой, но зато самый большой знаменатель будет у первой, а самый маленький знаменатель будет у последней дроби:

Нетрудно сделать вывод: если знаменатель дроби уменьшить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

5-й вопрос. Что произойдёт с дробью при одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одно и то же число раз?

Возьмём дробь 1 / 2 и будем последовательно и одновременно увеличивать её числитель и знаменатель. Рядом с дробью иногда ставят множитель, на который умножаются члены первой дроби:

Мы написали шесть дробей, они различны по своему внешнему виду, но нетрудно сообразить, что все они равны по величине. В самом деле, сравним хотя бы первую дробь со второй. Первая дробь равна 1 / 2 ; если мы увеличим в два раза её числитель, то дробь увеличится вдвое, но если мы тотчас же увеличим вдвое её знаменатель, то она уменьшится вдвое, т. е., иными словами, она останется без изменения. Значит, 1 / 2 = 2 / 4 . То же самое рассуждение можно повторить и относительно других дробей.

В ы в о д: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить в одинаковое число раз), то величина дроби не изменится.

Это свойство запишем в общем виде. Обозначим дробь через a / b , число, на которое умножается числитель и знаменатель, - буквой т ; тогда указанное свойство примет вид равенства:

Остаётся рассмотреть вопрос об одновременном уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз. Напишем в ряд несколько дробей, где на первом месте будетдробь 36 / 48 , а на последнем 3 / 4:

Все они будут равны между собой, что можно обнаружить, сравнив любые две соседние дроби, например, уменьшая числитель первой дроби (36) вдвое, мы уменьшаем дробь в 2 раза, но уменьшая вдвое и её знаменатель (48), мы увеличиваем дробь в 2 раза, т. е. в результате оставляем её без изменения.

Вывод: если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одинаковое число раз), то величина дроби не изменится:

Сущность двух последних выводов состоит в том, что при одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз величина дроби не изменится.

Это замечательное свойство дроби будет иметь большое значение в дальнейшем, поэтому мы будем называть его основным свойством дроби.

§ 85. Сокращение дробей.

Возьмём отрезок АВ (рис. 16) и разделим его на 20 равных частей, тогда каждая из этих частей будет равна 1 / 20 ; Отрезок же АС, который содержит 15 таких частей, будет представлен дробью 15 / 20 .

Теперь попробуем укрупнить доли, например разделим отрезок не на 20 частей, а на 4 равные части. Новые доли оказались крупнее прежних, так как каждая новая доля содержит 5 прежних, что отчётливо видно на чертеже. Теперь подумаем, чему при новом дроблении равен отрезок АС, который при первом дроблении был равен 15 / 20 отрезка АВ. Из чертежа видно, что если отрезок АВ разделить на 4 части, то отрезок АС будет равен 3 / 4 отрезка АВ.

Итак, отрезок АС в зависимости оттого, на сколько частей делится отрезок АВ, может изображаться и дробью 15 / 20 , и дробью 3 / 4 . По величине это одна и та же дробь, потому что она измеряет один и тот же отрезок в одних и тех же единицах измерения. Значит, вместо дроби 15 / 20 мы можем пользоваться дробью 3 / 4 , и обратно.

Возникает вопрос, какой дробью удобнее пользоваться? Удобнее пользоваться второй дробью, потому что у неё числитель и знаменатель выражены меньшими числами, чем у первой, и она в этом смысле является более простой.

В процессе рассуждения оказалось, что одна величина (отрезок АС) выразилась двумя дробями, различными по внешнему виду, но одинаковыми по величине (15 / 20 , 3 / 4) Очевидно, таких дробей может быть не две, а бесчисленное множество. Опираясь на основное свойство дроби, мы можем первую из этих дробей привести к такому виду, что числитель и знаменатель будут наименьшими. В самом деле, если числитель и знаменатель дроби 15 / 20 разделить на 5, то она будет равна 3 / 4 , т. е. 15 / 20 = 3 / 4 .

Вот это преобразование (одновременное уменьшение числителя и знаменателя в одинаковое число раз), позволяющее из дроби с большими числителем и знаменателем получить другую по виду, но равную по величине дробь с меньшими членами, и называется сокращением дробей.

Следовательно, сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Мы сократили дробь 15 / 20 и пришли к дроби 3 / 4 , которую уже нельзя сократить, потому что её члены 3 и 4 не имеют общего делителя (кроме единицы). Такая дробь называется несократимой . Есть два пути, по которым можно следовать при сокращении дробей. Первый путь состоит в том, что дробь сокращают постепенно, а не сразу, т. е. после первого сокращения получают снова сократимую дробь, которую потом опять сокращают, причём этот процесс может быть длительным, если числитель и знаменатель выражаются большими числами и имеют много общих делителей.

Возьмем дробь 60 / 120 и будем сокращать ее последовательно, сначала на 2, получим 60 / 120 = 30 / 60 Новую дробь (30 / 60) тоже можно сократить на 2, получим 30 / 60 = 15 / 30 . Члены новой дроби 15 / 30 имеют общих делителей, поэтому можно сократить эту дробь на 3, получится 15 / 30 = 5 / 10 . Наконец, последнюю дробь можно сократить на 5, т. е. 5 / 10 = 1 / 2 . В этом и состоит последовательное сокращение дробей.

Нетрудно сообразить, что данную дробь (60 / 120)можно было бы сократить сразу на 60, и мы получили бы тот же самый результат. Чем является 60 для чисел 60 и 120? Наибольшим общим делителем. Значит, сокращение дроби на наибольший общий делитель её членов даёт возможность сразу привести её к виду несократимой дроби, минуя промежуточные деления. Это второй путь сокращения дробей.

§ 86. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.

Возьмём несколько дробей:

Если мы станем сравнивать первую дробь со второй (1 / 2 и 1 / 3), то почувствуем некоторое затруднение. Конечно, мы понимаем, что половина больше одной трети, так как в первом случае величина разделена на две равные части, а во втором случае - на три равные части; но какая между ними разница, всё-таки ответить трудно. Другое дело вторая дробь и третья (1 / 3 и 2 / 3), их сравнить легко, так как сразу видно, что вторая дробь меньше третьей на одну треть. Нетрудно понять, что в тех случаях, когда мы сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями, затруднений не происходит, в тех же случаях, когда знаменатели у сравниваемых дробей различны, возникают некоторые неудобства. Убедитесь в этом, сравнивая остальные данные дроби.

Поэтому напрашивается вопрос: нельзя ли при сравнении двух дробей добиться того, чтобы знаменатели были одинаковы? Это можно сделать, опираясь на основное свойство дроби, т. е. если мы в несколько раз увеличим знаменатель, то, чтобы не изменилась величина дроби, надо во столько же раз увеличить и её числитель.

Этим путём мы можем дроби с разными знаменателями приводить к общему знаменателю.

Если требуется привести к общему знаменателю какие-нибудь дроби, то сначала нужно найти число, которое делилось бы на знаменатель каждой из данных дробей. Следовательно, первым шагом в процессе приведения дробей к общему знаменателю будет нахождение наименьшего общего кратного для данных знаменателей. После того как наименьшее общее кратное найдено, нужно путём деления его на каждый знаменатель получить для каждой дроби так называемый дополнительный множитель . Это будут числа, указывающие, во сколько раз нужно увеличить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы знаменатели их сравнялись. Рассмотрим примеры.

1. Приведём к общему знаменателю дроби 7 / 30 и 8 / 15 . Найдём для знаменателей 30 и 15 наименьшее общее кратное. В данном случае таковым будет знаменатель первой дроби, т. е. 30. Это и будет наименьший общий знаменатель для дробей 7 / 30 и 8 / 15 . Теперь найдём дополнительные множители: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Значит, для первой дроби дополнительным множителем будет 1, а для второй 2. Первая дробь останется без изменения. Умножая члены второй дроби на дополнительный множитель, приведём и её к знаменателю 30:

2. Приведём к общему знаменателю три дроби: 7 / 30 , 11 / 60 и 3 / 70 .

Найдём для знаменателей 30, 60 и 70 наименьшее общее кратное:

Наименьшее общее кратное будет 2 2 3 5 7 = 420.

Это и будет наименьший общий знаменатель данных дробей.

Теперь найдём дополнительные множители: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Значит, для первой дроби дополнительным множителем будет 14, для второй 7 и для третьей 6. Умножая члены дробей на соответствующие дополнительные множители, получим дроби с равными знаменателями:

3. Приведём к общему знаменателю дроби: 8 / 25 и 5 / 12 . Знаменатели этих дробей (25 и 12) - числа взаимно простые. Поэтому наименьшее общее кратное получится от их перемножения: 25 х 12 = 300. Дополнительным множителем для первой дроби будет 12, а для второй 25. Данные дроби примут вид:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно сначала найти наименьшее общее кратное всех знаменателей и для каждого знаменателя определить дополнительный множитель, а затем оба члена каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.

После того как мы научились приводить дроби к общему знаменателю, сравнение дробей по величине уже не будет представлять никаких затруднений. Мы можем теперь сравнивать по величине любые две дроби, приводя их предварительно к общему знаменателю.

В названиях арабских чисел каждая цифра принадлежит своему разряду, а каждые три цифры образуют класс. Таким образом, последняя цифра в числе обозначает количество единиц в нем и называется, соответственно, разрядом единиц. Следующая, вторая с конца, цифра обозначает десятки (разряд десятков), и третья с конца цифра указывает на количество сотен в числе – разряд сотен. Дальше разряды точно также по очереди повторяются в каждом классе, обозначая уже единицы, десятки и сотни в классах тысяч, миллионов и так далее. Если число небольшое и в нем нет цифры десятков или сотен, принято принимать их за ноль. Классы группируют цифры в числах по три, нередко в вычислительных приборах или записях между классами ставится точка или пробел, чтобы визуально разделить их. Это сделано для упрощения чтения больших чисел. Каждый класс имеет свое название: первые три цифры – это класс единиц, далее идет класс тысяч, затем миллионов, миллиардов (или биллионов) и так далее.

Поскольку мы пользуемся десятичной системой исчисления, то основная единица измерения количества – это десяток, или 10 1 . Соответственно с увеличением количества цифр в числе, увеличивается и количество десятков 10 2 ,10 3 ,10 4 и т.д. Зная количество десятков можно легко определить класс и разряд числа, например, 10 16 – это десятки квадриллионов, а 3×10 16 – это три десятка квадриллионов. Разложение чисел на десятичные компоненты происходит следующий образом – каждая цифра выводится в отдельное слагаемое, умножаясь на требуемый коэффициент 10 n , где n – положение цифры по счет слева направо.
Например: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

Также степень числа 10 используется и в написании десятичных дробей : 10 (-1) – это 0,1 или одна десятая. Аналогичным образом с предыдущим пунктом, можно разложить и десятичное число, n в таком случае будет обозначать положение цифры от запятой справа налево, например: 0,347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6)

Названия десятичных чисел. Десятичные числа читаются по последнему разряду цифр после запятой, например 0,325 – триста двадцать пять тысячных, где тысячные – это разряд последней цифры 5 .

Таблица названий больших чисел, разрядов и классов

1-й класс единицы	1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни	1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2
2-й класс тысячи	1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч	1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5
3-й класс миллионы	1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов	1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8
4-й класс миллиарды	1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов	1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11
5-й класс триллионы	1-й разряд единицы триллионов 2-й разряд десятки триллионов 3-й разряд сотни триллионов	1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14
6-й класс квадриллионы	1-й разряд единицы квадриллионов 2-й разряд десятки квадриллионов 3-й разряд десятки квадриллионов	1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17
7-й класс квинтиллионы	1-й разряд единицы квинтиллионов 2-й разряд десятки квинтиллионов 3-й разряд сотни квинтиллионов	1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
8-й класс секстиллионы	1-й разряд единицы секстиллионов 2-й разряд десятки секстиллионов 3-й разряд сотни секстиллионов	1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
9-й класс септиллионы	1-й разряд единицы септиллионов 2-й разряд десятки септиллионов 3-й разряд сотни септиллионов	1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
10-й класс октиллион	1-й разряд единицы октиллионов 2-й разряд десятки октиллионов 3-й разряд сотни октиллионов	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29