Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Выполнил: Капустин Дмитрий 6 «а» класс МБОУ «ЦО№32» Соавтор, консультанты: Белова Татьяна Евгеньевна Руководитель: Механич Галина Борисовна г. Череповец 2017г. Отрицательные числа в истории. Исследовательская работа.

2 слайд

Описание слайда:

3 слайд

Описание слайда:

Цель работы: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел в истории. Задачи: Изучить литературу по данной теме. Понять суть отрицательных чисел. Исследовать применение отрицательных чисел в истории. Создать проект по теме и защитить его. Введение: В нашей жизни любые числа играют очень важную роль, в том числе и отрицательные числа. Эти числа возникли из практических нужд людей. Раньше я думал, что самое маленькое число –это ноль, а оказывается, есть еще числа меньше 0. Это я узнал на уроках математике в нашей школе. Для чего эти числа нужны людям? Попробую выяснить применение отрицательных чисел в истории.

4 слайд

Описание слайда:

История возникновения отрицательных чисел Китайский ученый (примерно II веке до н.э.). Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые считает «долгами». В Древней Индии ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые». В Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет. В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что ничто не может быть меньше нуля - пустоты.

5 слайд

Описание слайда:

Впервые свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который ввёл их для решения финансовых задач с долгами и использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Он описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году. В XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать. А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности

6 слайд

Описание слайда:

Отрицательные числа в истории. В исторической науке отрицательные числа необходимы для определения времени. Ведь времени тоже нужен счёт. В древности в разных странах года считали по-разному. В Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. 1-й год правления царя считался первым годом, 2-й– вторым и т. д. Когда этот царь заканчивал своё правление, к власти приходил новый правитель, вновь наступал первый год, второй, третий. В одном из древнейших городов мира-Риме, его жители считали первым Год основания своего города, следующий -вторым и так далее. Счет времени в нашей стране связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Мы ведём счёт от рождения Иисуса Христа. Было это введено царём Петром Первым триста лет назад. До этого летоисчисление велось от «сотворения мира». Во многих других странах постепенно был принят такой же счёт – от Рождества Христова. Мы называем его НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.) и говорим так: «Пифагор жил в 4 веке до нашей эры»,«Русь находилась под игом монголо -татар в течении 13-15 веков нашей эры» ,«В 2014 году зимняя олимпиада пройдёт в Сочи»,«В 2018 году пройдёт чемпионат мира по футболу».

7 слайд

Описание слайда:

8 слайд

Описание слайда:

Время в нашей личной истории жизни В повседневной жизни мы тоже часто используем «отрицательные» термины «вчера», «позавчера», «третьего дня», «4 дня назад», означающие прошедшее (отрицательное) время в нашей личной истории жизни. Мы часто берём за начало отсчёта какое-то важное событие в своей истории – Рождение, поступление в 1 класс, окончание института и т.д и делим наше время на «до» и «после» этого события. Или в определении какого-то промежутка времени в недавней истории страны, наши родители пользуемся такими выражениями как «до революции», «до войны», «до развала СССР» и сразу понятно, когда произошло то или иное событие.

9 слайд

Описание слайда:

Выводы: выполняя данную работу, я расширил свои знания по математике и истории. Древнегреческий философ Платон прав своим утверждением «Мы…никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы». Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Работая со школьными учебниками, я выяснил, что отрицательные числа кроме математики, физики, географии. встречаются и в истории. Литература и интернет ресурсы. 1.Свободная интернет-энциклопедия http://ru.wikipedia.org/ 2.Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 3.Большая научная энциклопедия, 2005. 4.Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г. 5.Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г

ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4. Задачи измерения длин, площадей и т. п. , а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв.

Впервые отрицательные числа встречаются в одной из книг древнекитайского трактата « Математика в девяти главах » (Джан Цань – 1 век до нашей эры). Отрицательное число понималось как долг, а положительное – как имущество. Сложение и вычитание отрицательных чисел производилось на основе рассуждений о долге. Например, правило сложения формулировалось так: « Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество ». Знака минус тогда не было, а чтобы отличать положительные и отрицательные числа, Джан Цань писал их разными по цвету чернилами.

Идея отрицательных чисел с трудом завоевывала себе место в математике. Эти числа казались математикам древности непонятными и даже ложными, действия с ними – неясными и не имеющими реального смысла.

Использование отрицательных чисел индийскими математиками.

В 6 – 7 веках нашей эры индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, по-прежнему понимая их как долг. Начиная с 7 века индийские математики пользовались отрицательными числами. Положительные числа они называли « дхана » или « сва » (« имущество »), а отрицательные – « рина » или « кшайя » («долг »). Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598 – 660 гг.).

Например, правило деления он формулировал так:« Положительное, делённое на положительное, или отрицательное, делённое на отрицательное, становится положительным. Но положительное, делённое на отрицательное, и отрицательное, делённое на положительное, остаётся отрицательным ».

(Брахмагупта (598 – 660 гг.) – индийский математик и астроном. До нас дошло сочинение Брахмагупта « Пересмотр системы Брахмы » (628), значительная часть, которого посвящена арифметике и алгебре. Важнейшим здесь является учение об арифметической прогрессии и решение квадратных уравнений, с которыми Брахмагупта справлялся во всех случаях, когда они имели действительные решения. Брахмагупта допускал и рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях. Кроме того Брахмагупта решал некоторые неопределённые уравнения в целых числах; он дал правило составления прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и др. Брахмагупту было известно обратное тройное правило, у него встречается приближение П,самая ранняя интерполяционная формула 2 – го порядка. Его интерполяционное правило для синуса и обратного синуса при равных интервалах являются частным случаем интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга. В более поздней работе Брахмагупта приводит интерполяционное правило при неравных промежутках. Его работы были в 8 веке переведены на арабский язык.)

Понимание отрицательных чисел Леонардом Фибоначчи Пизанским.

Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел как противоположности положительных пришёл итальянский математик Леонардо Фибоначчи Пизанский (13 в.). Но понадобилось ещё около 400 лет, прежде чем « абсурдные » (бессмысленные) отрицательные числа получили полное признание математиков, а отрицательные решения в задачах перестали отбрасываться как невозможные.

(Леонардо Фибоначчи Пизанский (ок. 1170 – после 1228) – итальянский математик. Родился в Пизе (Италия). Начальное образование получил в Буше (Алжир) под руководством местного учителя. Тут он овладел арифметикой и алгеброй арабов. Посетил многие страны Европы и Востока и всюду пополнял свои знания по математике.

Издал две книги: « Книгу об абаке » (1202), где абак рассматривался не столько как прибор, сколько, как исчисление вообще, и « Практическую геометрию » (1220). По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления. Изложение материала в ней было оригинальным и изящным. Учёному принадлежат и собственные открытия, в частности он положил начало разработке вопросов, связанных с Т. Н. числами Фибоначчи, и дал оригинальный приём извлечения кубического корня. Его труды получили распространение только в конце 15 века, когда Лука Пачоли переработал их и опубликовал в своей книге « Сумма » .

Рассмотрение отрицательных чисел Михаилом Штифелем по - новому.

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. (Штифель Михаил (19. 04. 1487 – 19. 06. 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключён в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.

После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Н. Шюке начал оперировать отрицательными числами; ввёл дробный и нулевой показатели степени, а также термин « показатель » ; в работе « Полная арифметика » (1544) дал правило деления на дробь как умножения на дробь, обратную делителю; сделал первый шаг в развитии приёмов, упрощающих вычисления с большими числами, для чего сопоставлял две прогрессии: геометрическую и арифметическую. Позднее это помогло И. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления.)

Современное истолкование отрицательных чисел Жираром и Рене Декартом.

Современное истолкование отрицательных чисел, основанное на откладывании единичных отрезков на числовой оси влево от нуля, было дано в 17 веке, в основном в работах голландского математика Жирара (1595 – 1634 гг.) и знаменитого французского математика и философа Рене Декарта (1596–1650гг.) (Жирар Альберт (1595 – 1632) – бельгийский математик. Жирар родился во Франции, но бежал в Голландию от преследований католической церкви, так как был протестантом. Альберт Жирар внёс большой вклад в развитие алгебры. Основным его сочинением была книга « Новое открытие в алгебре». Впервые высказал основную теорему алгебры о наличии корня у алгебраического уравнения с одним неизвестным. Хотя строгое доказательство впервые дал Гаусс. Жирару принадлежит вывод формулы площади сферического треугольника.) С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы. Автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением частиц материи (вихри Декарта). Ввел представление о рефлексе (дуга Декарта). В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяженной» субстанции. Материю отождествлял с протяжением (или пространством), движение сводил к перемещению тел. Общая причина движения, по Декарту, - Бог, который сотворил материю, движение и покой. Человек - связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей. Безусловное основоположение всего знания, по Декарту, - непосредственная достоверность сознания («мыслю, следовательно, существую»). Существование Бога рассматривал как источник объективной значимости человеческого мышления. В учении о познании Декарт - родоначальник рационализма и сторонник учения о врожденных идеях. Основные сочинения: «Геометрия» (1637), «Рассуждение о методе. » (1637), «Начала философии» (1644).

ДЕКАРТ (Descartes) Рене (латинизированное - Картезий; Cartesius) (31 марта 1596, Лаэ, Турень, Франция - 11 февраля 1650, Стокгольм), французский философ, математик, физик и физиолог, основатель новоевропейского рационализма и один из влиятельнейших метафизиков Нового времени.

Жизнь и сочинения

Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, напр. , разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.

После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.

1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта. Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.

В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1628 Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.

В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.

В 1637 на французском языке выходит работа Декарта «Рассуждение о методе», с которой, как многие считают, и началась новоевропейская философия.

В 1641 появляется главное философское сочинение Декарта «Размышления о первой философии» (на латинском языке), а в 1644 «Первоначала философии», работа, замышлявшаяся Декартом как компендий, суммирующий наиболее важные метафизические и натурфилософские теории автора.

Большое влияние на европейскую мысль оказала и последняя философская работа Декарта «Страсти души», опубликованная в 1649 г. В том же году по приглашению шведской королевы Кристины Декарт отправился в Швецию. Суровый климат и непривычный режим (королева заставляла Декарта вставать в 5 утра, чтобы давать ей уроки и выполнять другие поручения) подорвали здоровье Декарта, и, подхватив простуду, он умер от пневмонии.

Философия Декарта ярко иллюстрирует стремление европейской культуры к освобождению от старых догм и построению новой науки и самой жизни «с чистого листа». Критерием истины, считает Декарт, может быть только «естественный свет» нашего разума. Декарт не отрицает и познавательной ценности опыта, но он видит его функцию исключительно в том, чтобы он приходил на помощь разуму там, где собственных сил последнего недостаточно для познания. Размышляя над условиями достижения достоверного знания, Декарт формулирует «правила метода», с помощью которого можно прийти к истине. Первоначально мыслившиеся Декартом весьма многочисленными, в «Рассуждении о методе», они сводятся им к четырем основным положениям, составляющим «квинтэссенцию» европейского рационализма: 1) начинать с несомненного и самоочевидного, т. е. с того, противоположное чему нельзя помыслить, 2) разделять любую проблему на столько частей, сколько необходимо для ее эффективного решения, 3) начинать с простого и постепенно продвигаться к сложному, 4) постоянно перепроверять правильность умозаключений. Самоочевидное схватывается разумом в интеллектуальной интуиции, которую нельзя смешивать с чувственным наблюдением и которая дает нам «ясное и отчетливое» постижение истины. Разделение проблемы на части позволяет выявить в ней «абсолютные», т. е. самоочевидные элементы, от которых можно отталкиваться в последующих дедукциях. Дедукцией Декарт называет «движение мысли», в котором происходит сцепление интуитивных истин. Слабость человеческого интеллекта требует проверять корректность сделанных шагов на предмет отсутствия пробелов в рассуждениях. Такую проверку Декарт называет «энумерацией» или «индукцией». Итогом последовательной и разветвленной дедукции должно стать построение системы всеобщего знания, «универсальной науки». Декарт сравнивает эту науку с деревом. Корнем его является метафизика, ствол составляет физика, а плодоносные ветви образуют конкретные науки, этика, медицина и механика, приносящие непосредственную пользу. Из этой схемы видно, что залогом эффективности всех этих наук является правильная метафизика.

От метода открытия истин Декарт отличает метод изложения уже разработанного материала. Его можно излагать «аналитически» и «синтетически». Аналитический метод проблемен, он менее систематичен, но больше способствует пониманию. Синтетический, как бы «геометризирующий» материал, более строг. Декарт все же отдает предпочтение аналитическому методу.

Сомнение и несомненное

Исходной проблемой метафизики как науки о самых общих родах сущего является, как и в любых других дисциплинах, вопрос о самоочевидных основаниях. Метафизика должна начинаться с несомненной констатации какого-либо существования. Декарт «пробует» на самоочевидность тезисы о бытии мира, Бога и нашего «Я». Мир можно представить несуществующим, если вообразить, что наша жизнь есть долгое сновидение. В бытии Бога тоже можно усомниться. А вот наше «Я», считает Декарт, нельзя подвергнуть сомнению, так как само сомнение в своем бытии доказывает существование сомнения, а значит и сомневающегося Я. «Сомневаюсь, следовательно существую» - так Декарт формулирует эту важнейшую истину, обозначающую субъективистский поворот европейской философии Нового времени. В более общем виде этот тезис звучит так: «мыслю, следовательно существую» - cogito, ergo sum. Сомнение составляет лишь один из «модусов мышления», наряду с желанием, рассудочным постижением, воображением, памятью и даже ощущением. Основой мышления является сознание. Поэтому Декарт отрицает существование бессознательных идей. Мышление является неотъемлемым свойством души. Душа не может не мыслить, она - «мыслящая вещь», res cogitans. Признание несомненным тезиса о собственном существовании не означает, однако, что Декарт считает вообще невозможным несуществование души: она не может не существовать, лишь пока мыслит. В остальном же душа - случайная вещь, т. е. может как быть, так и не быть, ибо она несовершенна. Все случайные вещи черпают свое бытие извне. Декарт утверждает, что душа ежесекундно поддерживается в своем существовании Богом. Тем не менее ее можно назвать субстанцией, так как она может существовать отдельно от тела. Впрочем, на деле душа и тело тесно взаимодействуют. Однако принципиальная независимость души от тела является для Декарта залогом вероятного бессмертия души.

Учение о Боге

От философской психологии Декарт переходит к учению о Боге. Он дает несколько доказательств существования высшего существа. Наиболее известным является так называемый «онтологический аргумент»: Бог есть всесовершенное существо, поэтому в понятии о нем не может отсутствовать предикат внешнего существования, что означает невозможность отрицать бытие Бога, не впадая в противоречие. Другое доказательство, предлагаемое Декартом, более оригинально (первое было хорошо известно в средневековой философии): в нашем уме есть идея Бога, у этой идеи должна быть причина, но причиной может быть только сам Бог, так как в противном случае идея высшей реальности была бы порождена тем, что этой реальностью не обладает, т. е. в действии было бы больше реальности, чем в причине, что нелепо. Третий аргумент основан на необходимости существования Бога для поддержания человеческого существования. Декарт полагал, что Бог, не будучи сам по себе связан законами человеческой истины, является тем не менее источником «врожденного знания» человека, в которое входит сама идея Бога, а также логические и математические аксиомы. От Бога, считает Декарт, исходит и наша вера в существование внешнего материального мира. Бог не может быть обманщиком, а поэтому эта вера истинна, и материальный мир действительно существует.

Философия природы

Убедившись в существовании материального мира, Декарт приступает к исследованию его свойств. Главным свойством материальных вещей оказывается протяжение, которое может выступать в различных модификациях. Декарт отрицает существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяжение, имеется и «протяженная вещь», res extensa. Другие качества материи мыслятся смутно и, возможно, считает Декарт, существуют только в восприятии, а в самих предметах отсутствуют. Материя состоит из элементов огня, воздуха и земли, все различие которых состоит только в величине. Элементы не являются неделимыми и могут превращаться друг в друга. Пытаясь согласовать концепцию дискретности материи с тезисом об отсутствии пустоты, Декарт выдвигает любопытнейший тезис о нестабильности и отсутствии определенной формы у мельчайших частиц вещества. Единственным способом передачи взаимодействий между элементами и состоящими из их смешения вещами Декарт признает соударение. Оно происходит по законам постоянства, вытекающим из неизменной сущности Бога. При отсутствии внешних воздействий вещи не меняют свое состояние и двигаются по прямой, являющейся символом постоянства. Кроме того, Декарт говорит о сохранении исходного количества движения в мире. Само движение, однако, изначально не свойственно материи, а привносится в нее Богом. Но уже одного первотолчка достаточно, чтобы из хаоса материи постепенно самостоятельно собрался правильный и гармоничный космос.

Тело и душа

Много времени Декарт уделял изучению законов функционирования животных организмов. Он считал их тонкими машинами, способными самостоятельно адаптироваться к окружающей среде и адекватно реагировать на внешние воздействия. Испытанное воздействие передается в мозг, являющийся резервуаром «животных духов», мельчайших частиц, попадание которых в мышцы через поры, открывающиеся вследствие отклонений мозговой «шишковидной железы» (являющейся седалищем души), приводит к сокращениям этих мышц. Движение тела составляется последовательностью таких сокращений. Животные лишены душ и не нуждаются в них. Декарт говорил, что его больше удивляет наличие души у человека, чем ее отсутствие у животных. Наличие души у человека, однако, не бесполезно, так как душа может корректировать естественные реакции тела.

Декарт-физиолог

Декарт изучал строение различных органов у животных, исследовал строение зародышей на различных стадиях развития. Его учение о «произвольных» и «непроизвольных» движениях заложило основы современного учения о рефлексах. В работах Декарта представлены схемы рефлекторных реакций с центростремительной и центробежной частью рефлекторной дуги.

Значение работ Декарта в математике и физике

Естественно-научные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единыго метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z.), коэффициентов (a, b, c.), обозначение степеней (a2, x-1.).

Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода. Он указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).

Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с П. Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя. В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Переменная трактуется им двояко: как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающей своим движением кривую) и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные Лейбницем алгебраическими) - линии, описываемые при движении шарнирными механизмами. Трансцендентные кривые (сам Декарт называет их «механическими») он исключил из своей геометрии. В связи с исследованиями линз (см. ниже) в «Геометрии» излагаются способы построения нормалей и касательных к плоским кривым.

«Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Действительные числа Декарт фактически трактовал как отношение любого отрезка к единичному (хотя саму формулировку дал позднее И. Ньютон). В переписке Декарта содержатся и другие его открытия.

В оптике он открыл закон преломления световых лучей на границе двух различных сред (изложены в «Диоптрике», 1637). Декарт внес серьезный вклад в физику, дав четкую формулировку закона инерции.

Влияние Декарта

Декарт оказал громадное влияние на последующую науку и философию. Европейские мыслители восприняли от него призывы к созданию философии как точной науки (Б. Спиноза), к построению метафизики на базе учения о душе (Дж. Локк, Д. Юм). Декарт активизировал и теологические споры в вопросе о возможности доказательств бытия Бога. Огромный резонанс имело обсуждение Декартом вопроса о взаимодействии души и тела, на которое откликнулись Н. Мальбранш, Г. Лейбниц и др. , а также его космогонические построения. Многие мыслители делали попытки формализовать методологию Декарта (А. Арно, Н. Николь, Б. Паскаль). В 20 веке к философии Декарта часто обращаются участники многочисленных дискуссий по проблемам философии сознания и когнитивной психологии.

Для того чтобы разработать этот понятный и естественный сейчас для нас подход, понадобились усилия многих учёных на протяжении восемнадцати веков от Джан Цаня до Декарта.

Ещё несколько тысяч лет назад потребности в измерении привели к расширению множества натуральных чисел, которыми до тех пор пользовались люди. Были введены новые, дробные числа, с помощью которых стало возможно производить измерения (длин, площадей, веса и пр.) с любой степенью точности, допускаемой инструментами.

Не так обстояло дело с отрицательными числами. В практической деятельности людей не ощущалась потребность во введении отрицательных чисел, и они прочно вошли в математику и получили применение лишь в XVII веке.

Но в самой математике потребность в расширении числового множества путём введения новых, отрицательных чисел ощущалась уже давно, и по мере развития математической науки эта потребность становилась всё более настоятельной.

Так, ещё в III веке греческий математик Диофант при выполнении некоторых преобразований, например

фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел, которое он выражал так: «Отнимаемое, умноженное на прибавляемое, даёт в результате отнимаемое. Отнимаемое, умноженное на отнимаемое, даёт в результате прибавляемое».

Из этой формулировки видно, что Диофант ещё не признавал самостоятельного существования отрицательных чисел; для него они были прежними числами, «отнимаемыми» от какого-либо другого числа. Поэтому, если, например, при решении уравнения получался отрицательный корень, Диофант его просто отбрасывал как «недопустимый».

Но уже индийский учёный Брамагупта (VII век) в своих вычислениях свободно пользовался отрицательными числами и давал им наглядное истолкование. Он обозначал имущество положительными числами, а долг - отрицательными.

В этой наглядной форме он давал и правила действий с рациональными. числами, например: «Сумма двух имуществ - имущество. Сумма двух долгов - долг. Сумма имущества и долга равна их разности, а если они равны, то нулю» и т. д.

Индийский же математик Бхаскара (XII век) пользуется степенью отрицательного числа. В его сочинении «Венец системы» говорится:

«Квадрат как положительного, так и отрицательного числа даёт положительное число, например:

В Европе математики XVI века хотя и пользовались иногда отрицательными числами, всё же называли их сложными» и «неясными», «меньшими, чем ничто» и т. п.

Лишь голландский математик Жирар (XVI-XVII века) пользуется отрицательными числами наравне с положительными. Так, решая уравнение

он приводит три его корня:

Бурное развитие естествознания и техники в XVII веке предъявляло повышенные требования и к математике, требовало её дальнейшего развития и усовершенствования математического аппарата. Неприменение отрицательных чисел создавало излишние трудности в математических вычислениях и преобразованиях. Начиная с XVII века отрицательные числа прочно входят в математику и находят практические применения. Французский философ и математик Декарт даёт наглядное истолкование чисел с помощью точек числовой оси. Он пользуется отрицательными числами для графического изображения различных процессов и алгебраических выражений.

Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в -300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor - «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.

Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчета и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить.

Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают еще три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 - 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаем одну, у нас остается еще одна. Но что значит 2 - 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я все же могу это сделать - тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, ее отсутствие, причем такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.

Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин - правда, в определенной степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в черный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Как показано ниже, китайцы размещали палочки на разграфленной доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из черных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось.

Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы.

Китайцы раскладывали бамбуковые палочки на разграфленной доске; обычные палочки символизировали положительные числа, черные - отрицательные, что позволяло записывать и решать уравнения

Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст - деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий - отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму.

Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввел число ноль в его современном понимании.

Долг минус ноль - это долг.
Имущество минус ноль - это имущество.
Ноль минус ноль - это ноль.
Долг, вычтенный из нуля, - это имущество.
Имущество, вычтенное из нуля, - это долг.
И так далее.

Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время.

Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века - и в Испании. Тем не менее понадобилось еще три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе.

Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.

Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа (numeri absurdi) , и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел . Рассмотрим такое уравнение:

С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (-1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (-1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности . Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:

10/3, 10/2, 10/1, 10/(1/2)

Что эквивалентно ряду:

По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значения знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число), дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».

В этом смешении разных мнений прозвучала одна четкая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел . В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось (см. рисунок ниже), на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдет от ноля вперед на пять ярдов, а затем вернется назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто. А значит, -3 - это та же точка на линии, что и +3, но не вперед, как должно быть, а назад».

Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось - самая успешная разъяснительная схема всех времен. У нее множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.

Числовая ось

Немецкий философ Иммануил Кант тоже вступил в полемику по поводу отрицательных чисел, заявив в своем труде Attempt to Introduce the Concept of Negative Quantities into World-Wisdom («Опыт введения в философию понятия отрицательных величин»), что бессмысленно использовать против них метафизические аргументы . Он доказал, что в реальном мире многое может иметь как положительное, так и отрицательное значение, подобно двум противонаправленным силам, воздействующим на объект. Отрицательное число представляет собой не отрицание числа, а скорее, сопоставимое противоположное.

Тем не менее даже в конце XVIII столетия еще оставались математики, глубоко убежденные в том, что отрицательные числа - это «специальный термин, лишенный здравого смысла; но, будучи однажды введенным в оборот, подобно многим другим выдумкам, находит своих самых рьяных сторонников среди тех, кто любит принимать все на веру и не терпит тяжелый труд серьезных размышлений» .

Уильям Френд, второй среди лучших студентов, изучавших математику в Кембридже, написал эти слова в 1796 году в книге, которая стала уникальной в математической литературе: это было введение в алгебру, не содержащее ни единого отрицательного числа.

Когда мы изучаем отрицательные числа в школе, нам не рассказывают всю эту предысторию. Мы принимаем отрицательные числа по аналогии с числовой осью, а затем узнаем поразительную новость:

Минус, умноженный на минус, дает плюс . Вот это да!

Глава II. Отрицательные числа в других науках

§1. Отрицательные числа в физике…………………………………………………...5
1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа………………….6

1.2 С положительными и отрицательными числами по температурной шкале …7

§2. Отрицательные числа в географии
2.1 За положительными и отрицательными числами на горные вершины и в морские глубины……………………………………………………………………….8

2.2 Шкала глубин и высот в метрах…………………………………………………...9

2.3 Шкала высот в метрах……………………………………………………………..9
§3. Отрицательные числа в истории

3.1 Как в древности считали года? ……………………………………………….....10

§ 4. Отрицательные числа в биологии……………………………………………….11
Заключение…………………………………………………………………………….12

Приложение……………………………………………………………………………13

Список литературы………………...…………………………………………...........................14

Введение

«Твой ум без числа ничего не представляет». Это высказывание немецкого философа Н.Кузанского(1401 – 1464) показывает какую роль, играют любые числа в нашей жизни, поэтому тема «отрицательные числа» актуальна.

Мне поручили подготовить сообщение «История возникновения отрицательных чисел». Изучая литературу, я понял, что отрицательные числа возникли из практических нужд людей. С их появлением произошел большой толчок развития науки. В моем представлении было самое маленькое число 0, т.е. ничего, а оказывается, что есть еще числа меньше 0. Мне захотелось понять суть отрицательных чисел, для чего они нужны людям и я решил перелистать школьные учебники, выяснить применение отрицательных чисел на различных уроках.

Моя тема называется «Отрицательные числа на страницах школьных учебников».

Актуальность: любое число в жизни каждого человека играет важную роль

Цель работы: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел на различных уроках.

Объектом исследования является число.

Методом исследования – чтение и анализ используемой литературы и наблюдения.

Выборка: Учебники физики, географии, биологии, истории.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Понять суть отрицательных чисел.

3. Исследовать применение отрицательных чисел в физике, географии, истории и биологии.

4. Сделать сообщение учащимся класса.

Глава 1. История возникновения отрицательных чисел.

Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры. Так, во II в. до н.э. китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных.

В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые». В древности индийские ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. Если вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 1000 рублей, то у вас остается 4000 – 1000 = 3000 рублей. Но если вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 6000 рублей, то у вас образуется долг 2000 рублей. Поэтому, в этом случае считали, что совершается вычитание 4000 – 6000, результатом является число 2000 со знаком «минус», означающее «две тысячи долга». Таким образом, – 2000 это отрицательное число и в данном случае оно указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рублей. Индийский математик Брахмагупта в VII в. сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами. В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или сокращенными словами как наименования в именованных числах. Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.

Более современный пример можно привести, используя действия с телефонным балансом. Если на счету вашего телефона нет денег, то вы можете пользоваться услугами связи в долг, тогда на вашем телефоне может образоваться отрицательный баланс. Например: -45 рублей (минус 45 рублей).

Введение отрицательных чисел было связано с необходимостью развития математики как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательных чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. В индии еще в 6-11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Французского математика Р.Декарта(1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование отрицательным числам как направленных отрезков. В 1637 году он ввел «координатную прямую».

Глава 2. Отрицательные числа в других науках.

§1 Отрицательные числа в физике

Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».

Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?

Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.

Например, высоту здания и расстояния от школы до дома можно измерить рулеткой (линейкой), массу тела – рычажными весами, температуру – термометром, скорость автомобиля – спидометром, объем банки – мензуркой, силу тока – амперметром или гальванометром, показатель преломления воды – рефрактометром, напряжение между электродами – вольтметром, продолжительность урока – часами, мощность ядерного взрыва – сейсмографом, электрический заряд шарика – электрометром или баллистическим гальванометром.

Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения.
§1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа

Выполним опыт.

Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее.

Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.

Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить.

Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.

А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. В опытах мы видели, что заряженные предметы (физики говорят – заряженные тела) могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.

§1.2 С положительными и отрицательными числами по температурной шкале

Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.

Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами (шкала 2).

Температура льда выражается отрицательным числом.

холодно тепло

(-) (+)

§2. Отрицательные числа в географии

2.1 Положительные и отрицательные числа в горных вершинах и в морских глубинах

Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет, например, такая:

2.2 Шкала глубин и высот в метрах

Глубже 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 выше

На этой шкале мы видим только положительные числа и нуль. За нуль принимается высота (и глубина тоже), на которой находится поверхность воды в Мировом океане. Использование в этой шкале только неотрицательных чисел неудобно для математика или физика. У физика получается такая шкала.

2.3 Шкала высот в метрах

Меньше -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 больше

Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.

В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.

В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).

§3. Отрицательные числа в истории

3.1 Как в древности считали года?

В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.

Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах.В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет. Рассмотрим «линию времени» на рисунке.

«Линия времени»

До нашей эры Наша эра

776 55 1380 1637 2013

Начало Строительство Куликовская битва

Античных театра Помпея P.Декарт ввел 100 лет со дня

Олимпийских в Риме координатную рождения

игр в Греции прямую поэта

С. В. Михалкова

§4. Отрицательные числа в биологии

Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.

Заключение

Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Выполняя данную работу, я значительно расширил знания по математике. Подготовил реферат и презентацию по теме «Отрицательные числа в школьных учебниках», сделал сообщение в своем классе.

Работая с источниками, я выяснил, что положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (–).

Узнал, что больше всего отрицательные числа встречаются в точных науках, в математике и физике.

В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда: положительно заряженные атомы - протоны, отрицательно заряженные атомы – электроны.

В географии высота гор измеряется с помощью положительных чисел, а глубина воды с помощью отрицательных чисел (ниже уровня моря, выше уровня моря).

В биологии отрицательные числа в биологии выражают патологию зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.

В истории отрицательное число можно заменить словами, например: 145 лет до н.э.

Отрицательные числа появились значительно позже положительных. Отрицательными числами обычно обозначали долг. Наверно, поэтому человек воспринимает положительное – как «нечто хорошее», а отрицательное – как «нечто плохое».

В своей работе в Приложении я собрал правила действий с отрицательными и положительными числами в стихотворной форме и предложил формулу для запоминания знака при выполнении действий.

Приложение

СТИХОТВОРЕНИЕ

«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»

Если уж захочется вам сложить

Числа отрицательные, нечего тужить:

Надо сумму модулей быстренько узнать,

К ней потом знак «минус» взять да приписать.

Если числа с разными знаками дадут,

Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.

Больший модуль быстро очень выбираем.

Из него мы меньший вычитаем.

Самое же главное – знак не позабыть!

- Вы какой поставите? – мы хотим спросить

- Вам секрет откроем, проще дела нет,

Знак, где модуль больше, запиши в ответ.
Правила сложения положительных и отрицательных чисел

Минус с минусом сложить,

Можно минус получить.

Если сложишь минус, плюс,

То получится конфуз?!

Знак числа ты выбирай

Что сильнее, не зевай!

Модули их отними,

Да все числа помири!
- Правила умножения можно истолковать и таким образом:

«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .

«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ = ─.

«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.

Знак умножения есть точка, в ней три знака:

+
+

Прикрой из них два, третий даст ответ.

Например.

Как определить знак произведения 2∙(-3)?

Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»

Литература

1. 
   Большая научная энциклопедия, 2005.
2. 
   Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001.
3. 
   Выговская В.В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс» - М.:ВАКО, 2008г.
4. 
   Газета «Математика» №4, 2010г.
5. 
   Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
6. 
   Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
7. 
   Гусев В.А., А.Г.Мордкович «Справочные материалы», «Просвещение», 1986г.
8. 
   Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
9. 
   Малыгин К.А. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе», Москва, «Просвещение», 1982г
10. 
    Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г
11. 
    Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994