В Древнем Вавилоне за единицу длины принимали расстояние, которое проходил взрослый человек за время выхода диска Солнца из за горизонта.Эта единица называ. Что из себя представляли вавилонские числа

Наука начинается с тех пор как начинают измерять.
Д.И. Менделеев

С давних пор люди сталкивались с необходимостью определять расстояния, длины предметов, время, площади, объемы и т. д.

Измерения нужны были и в строительстве, и в торговле, и в астрономии, фактически в любой сфере жизни. Очень большая точность измерений нужна была при строительстве египетских пирамид.

Значение измерений возрастало по мере развития общества и, в частности, по мере развития науки. А чтобы измерять, необходимо было придумать единицы различных физических величин. Вспомним, как написано в учебнике: “Измерить какую-нибудь величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу этой величины”.

Целью моей работы было выяснить: какие существовали и существуют сейчас единицы длины и массы, каково их происхождение?

Вершок, локоть и другие единицы...

Измеряй все доступное измерению и делай не доступное измерению доступным”.
Г.Галилей

Самыми древними единицами были субъективные единицы. Так, например, моряки измеряли путь трубками, т. е. расстоянием, которое проходит судно за время, пока моряк выкурит трубку. В Испании похожей единицей была сигара, в Японии – лошадиный башмак, т. е. путь, который проходила лошадь, пока не износится привязанная к ее копытам соломенная подошва, заменявшая подкову.

В программе Олимпийских игр Древней Эллады был бег на стадию. Установлено, что греческая стадия (или стадий) это длина стадиона в Олимпии – 192,27 м. Стадий равняется расстоянию, которое проходит человек спокойным шагом за время от появления первого луча солнца, при его восходе, до момента, когда диск солнца целиком окажется над горизонтом. Это время приблизительно равно двум минутам...

Стадий, как единица измерения расстояний, был и у римлян (185 см), и у вавилонян (около 195 см), и у египтян (195 см).

В Сибири в стародавние времена употреблялась мера расстояний – бука. Это расстояние, на котором человек перестает видеть раздельно рога быка.

У многих народов для определения расстояния использовалась единица длины стрела – дальность полета стрелы. Наши выражения “не подпускать на ружейный выстрел”, позднее “на пушечный выстрел” – напоминают о подобных единицах длины.

Древние римляне расстояния измеряли шагами или двойными шагами (шаг левой ногой, шаг правой). Тысяча двойных шагов составляла милю (лат. “милле” – тысяча).

Длину веревки или ткани неудобно измерять шагами или стадиями. Для этого оказались пригодными встречающиеся у многих народов единицы, отождествляемые с названиями частей человеческого тела. Локоть – расстояние от конца пальцев до локтевого сустава.

Мерой длины для тканей, веревок и т.п. наматывающихся материалов у многих народов был двойной локоть. Этой мерой мы и сейчас пользуемся для приблизительной оценки длины...

На Руси долгое время в качестве единицы длины использовали аршин (примерно 71 см). Эта мера возникла при торговле с восточными странами (перс, “арш” – локоть). Многочисленные выражения: “Словно аршин проглотил”, “Мерить на свой аршин” и другие – свидетельствуют о ее распространении.

Для измерения меньших длин применяли пядь – расстояние между концами расставленных большого и указательного пальцев.

Пядь или, как ее еще называли, четверть (18 см) составляла 1 / 4 аршина, а 1/ 16 аршина равнялся вершок (4,4 см).

Очень распространенной единицей длины была сажень. Впервые упоминание о ней встречается в XI в. С 1554 г. сажень устанавливают равной 3 аршинам (2,13 м) и она получает название царской (или орленой, печатной) в отличие от произвольных – маховой и косой. Маховая сажень – размах рук – равна примерно 2,5 аршинам. Рыбак, который показывает, какую большую рыбу он упустил, демонстрирует нам маховую.

Косая сажень – расстояние от конца вытянутой вверх правой руки до носка левой ноги, она примерно равна 3,25 аршинам.

Вспомним, как в сказках о великанах: “Косая сажень в плечах”. Удивительно совпадение древнеримской меры длины - "архитектурной трости" и древнерусской косой сажени: 248 см. Имеется в виду сажень "с ноги на руку косая, от земли и до земли". Эту сажень определяли длиной веревки, один конец которой прижимался ногой к земле, а другой перекидывался через согнутую в локте руку стоящего человека и опускался снова до земли.

При сложении упомянутой выше косой сажени вчетверо получаем "литовский локоть" (62 см).

В странах Западной Европы издавна применяли в качестве единиц дюйм (2,54 см) –длина сустава большого пальца (от голл. “дюйм” – большой палец) и фут (30 см) – средняя длина ступни человека (от англ. “фут” – ступня).

Рис. 6 Рис. 7

Локоть, вершок, пядь, сажень, дюйм, фут и т. д. очень удобны при измерениях, так как они всегда “под руками”. Но единицы длины, соответствующие частям человеческого тела, обладают большим недостатком: у различных людей пальцы, ступни и т. д. имеют разную длину. Чтобы избавиться от произвола, в XIV в. субъективные единицы начинают заменять набором объективных единиц. Так, например, в 1324 г. в Англии был установлен законный дюйм, равный длине трех приставленных друг к другу ячменных зерен, вытянутых из средней части колоса. Фут определили как среднюю длину ступни шестнадцати человек, выходящих из церкви, т. е. обмером случайных людей стремились получить более постоянное значение единицы – среднюю длину ступни.

Какую величину мы определяем, взвешивая тело на рычажных весах?

Какой народ и когда изобрел рычажные весы – неизвестно. Возможно, что это было сделано многими народами независимо друг от друга, а простота использования послужила причиной их широкого распространения.

Рис. 9

При взвешивании на рычажных весах на одну чашку кладут взвешиваемое тело, на другую – гири. Гири подбирают так, чтобы установить равновесие. При этом уравновешиваются массы взвешиваемого тела и гирь. Если уравновешенные весы перенести, например, на Луну, где вес тела меньше, чем на Земле, в 6 раз, равновесие не нарушится, так как вес и тела, и гирь на Луне уменьшился в одинаковое число раз, а масса осталась прежней.

Следовательно, взвешивая тело на рычажных весах, мы определяем его массу, а не вес.

Единицы массы, как и единицы длины, сначала устанавливались по природным образцам. Чаще всего по массе какого-нибудь семени. Так, например, массу драгоценных камней определяли и до сих пор определяют в каратах (0,2 г) – это масса семени одного из видов бобов.

Позднее за единицу массы стали принимать массу воды, наполняющей сосуд определенной вместимости. Например, в Древнем Вавилоне за единицу массы принимали талант – массу воды, наполняющей такой сосуд, из которого вода равномерно вытекает через отверстие определенного размера в течение одного часа.

По массе зерен или воды изготовляли металлические гири разной массы. Ими пользовались при взвешивании.

Гири, служившие эталоном (образцом), хранились в храмах или правительственных учреждениях.

На Руси древнейшей единицей массы была гривна (409,5 г). Существует предположение, что эта единица ввезена к нам с Востока. Впоследствии она получила название фунта. Для определения больших масс использовался пуд (16,38 кг), а малых – золотник (12,8 г).

В 1791 г. во Франции было принято решение создать десятичную метрическую систему мер. Основными величинами в этой системе были выбраны длина и масса.

Комиссия, в которую входили крупнейшие французские ученые, предложила принять за единицу длины 1/40000000 часть длины земного меридиана, проходящего через Париж. Измерить длину меридиана было поручено астрономам Мешену и Деламберу. Работа продолжалась шесть лет. Ученые измерили часть длины меридиана, расположенную между городами Дюнкерком и Барселоной, а затем вычислили полную длину четверти меридиана от полюса до экватора.

Рис. 11

На основании их данных из платины был изготовлен эталон новой единицы. Эту единицу назвали метром – от греческого слова “метрон”, что значит “мера”.

Рис. 12

За единицу массы была принята масса одного кубического дециметра дистиллированной воды при температуре ее наибольшей плотности 4°С, определяемая взвешиванием в вакууме. Был изготовлен эталон этой единицы, названной килограммом, в виде платинового цилиндра

В 1869 г. Петербургская академия наук обратилась к научным учреждениям всего мира с призывом сделать предложенную французскими учеными десятичную метрическую систему мер международной. В этом обращении говорилось и о том, что “достижения науки привели к необходимости отказаться от прежнего определения метра как 1/40000000 доли четверти длины парижского меридиана, так как позднейшие более точные измерения меридиана давали другие результаты”. Кроме того, стало известно, что длина меридиана со временем меняется. Но так как немыслимо было после каждого измерения меридиана менять длину метра, то Петербургская академия наук предложила принять метр, хранившийся во французском архиве (архивный метр), за прототип – первый образец и изготовить с него возможно точные и устойчивые копии для разных стран, сделав этим метрическую систему мер международной.

Когда же была введена метрическая система мер в нашей стране? Передовые русские ученые, много сделавшие для того, чтобы метрическая система мер стала международной, не смогли преодолеть сопротивления царского правительства введению метрической системы мер в нашей стране. Удалось добиться только того, что в 1899 г. был принят закон, подготовленный Д. И. Менделеевым, по которому наравне с российскими мерами “дозволялось применять в России международный метр и килограмм”, а также кратные им единицы – грамм, сантиметр и др.

Вопрос об использовании метрической системы мер в России был окончательно решен после Великой Октябрьской социалистической революции. 14 сентября 1918 г. Советом Народных Комиссаров РСФСР было издано постановление, в котором говорилось: “Положить в основу всех измерений международную метрическую систему мер и весов с десятичными подразделениями и производными”.

Заключение

По подсчету академика Б. С. Якоби (сторонника превращения метрической системы в международную), от замены прежней системы мер на метрическую преподавание арифметики в школе выиграло третью часть времени, отводившегося на этот предмет. Соответственно значительно упростились расчеты в промышленности и торговле.

Вывод: такую длинную историю прошли длина и масса, пока не стали измеряться в метрах и килограммах соответственно.

Что имеем сейчас:

Единицы СИ

Размерности основных величин в СИ

Базовые единицы СИ

Определения базовых единиц

Метр равен расстоянию, которое проходит плоская электромагнитная волна в вакууме за 1/299792458 долю секунды.
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма.
Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия 133 Cs.
Ампер равен силе постоянного тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2·10 –7 Н.
Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды.
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде 12 C массой 0,012 кг.
Кандела равна силе света в заданном направлении от источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·10 12 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.

Использованная литература:

С.А.Шабалин. Измерения для всех.
Энциклопедия Кирилла и Мефодия.
А.Г.Чертов. Физические величины.
И.Г.Кириллова. Книга для чтения по физике.

«Древний Египет 5 класс» - Древние египтяне верили, что людьми и природой управляют… Боги и жрецы. Построены в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Книга из папируса, свернутая в трубку… Тесты. Люди строили для богов… Письменность в Египте… 5 класс Повторительно-обобщающий урок «Страна большого Хапи». Письменность. Задание на повторение Найдите ошибки.

«Древняя письменность» - Название «глаголица» образовано от глаголъ – «слово», «речь». Но когда такое наконец произошло, новый способ продемонстрировал несомненные преимущества. Второй способ письменности. Рождение славянской письменности... Глаголица хорошо отвечала фонемному составу старославянского языка. Финикийский. Становление письменности - очень непростой процесс, длившийся тысячелетия.

«Древний Вавилон» - Древний Вавилон. Конституция – основа всего законодательства страны. Вавилонская башня. Висячие сады Семирамиды. Законы царя Хаммурапи стали первыми письменными законами. Висячие сады Семирамиды – одно из Семи чудес света. Вавилонский царь обладал неограниченной властью. Хаммурапи – вавилонский царь правивший с 1792 по 1750 до н.э. Сколько лет правил Хаммурапи?

«Древний город» - Разрушение города. Тигеш был довольно большим городом. А по Волге можно и в Багдад, и в Скандинавию. Через века в современность. Археологические раскопки. А после рва - третья крепостная стена. Если так, город жил, получается, до тридцатых годов тринадцатого века. Тигеш. Там теперь пасется скот. Перед каждой стеной был вырыт глубокий ров, наполненный водой.

«Вавилон» - Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. «…Построен Вавилон вот так… Официальным названием государства касситов было Кардуниаш. Висячие сады Семирамиды - одно из Семи чудес света. Ступени соединялись лестницами, по краю стены шёл ведущий к храму пандус. Вавилонская математика. Вавилонская Башня.

«Развитие Древнего Рима» - Легендарное основание Рима. Республиканский этап. Царский этап. Волчица вскармливает Ромула и Рема. Древнеримский бог войны Марс и Рея. Сильное влияние на становление древнеримской цивилизации оказали культуры этрусков, латинов и древних греков. Ранняя Республика. Затем братьев подобрал царский пастух Фаустул.

14. Представьте себе монету достоинством 50 к. и футбольный мяч. Мысленно прикиньте, во сколько раз диаметр мяча больше диаметра монеты. (Для проверки ответа см. таблицу 13.)
Диаметр мяча больше диаметра монеты примерно в 10 раз.

15. а) Толщина волоса равна 0,1 мм. Выразите эту толщину в см, м, мкм, нм. б) Длина одной из бактерий равна 0,5 мкм. Сколько таких бактерий уложилось бы вплотную на отрезке длиной 0,1 мм, 1 мм, 1 см?
а) 0,1 мм = 0,01 см = 0,0001 м= 100 мкм = 100000 нм.
б) 200 бактерий, 2000 бактерий, 20000 бактерий.

16. В Древнем Вавилоне за единицу длины принимали расстояние, которое проходил взрослый человек за время выхода диска Солнца из-за горизонта. Эта единица называлась стадием. Могла ли такая единица длины быть точной? Ответ объясните.
Нет, так как разные люди проходят разное расстояние за время выхода диска Солнца из-за горизонта.

17. Какова длина бруска, изображенного на рисунке 1?
L = 38 мм = 0,038 м.

18. На рисунке 2 показано, как можно измерить диаметр шара. Определите его. Пользуясь указанным методом, определите диаметр мяча, которым вы играете.
d= 16 мм = 0,016 м.

19. На рисунке 3 показаны части брусков и линеек. Левые концы брусков совпадают с нулевыми отметками линеек, что на рисунке не показано, а правые концы относительно числовых отметок шкалы расположены так, как показано на рисунке. Определите на глаз длину каждого бруска, если цена деления линеек 1 см.
6 см; 3,6 см; 5,4 см; 8,7 см; 2,15 см; 3,9 см; 11,35 см; 7,25 см; 9,8 см; 10,75 см.

20. С какой точностью вы можете измерить длины небольших предметов линейками, изображенными на рисунке 4, а, б, в, г?
а, б - с точностью до 1 мм; в - с точностью до 5 мм; г - с точностью до 1 см.

21. Чтобы определить диаметр проволоки, ученик намотал вплотную на карандаш 30 витков, которые заняли часть карандаша длиной 3 см (рис. 5). Определите диаметр проволоки.
d = 3 см/30 = 0,1 см = 1 мм.

22. Определите длину окружности головки винта или гвоздя один раз способом, изображенным на рисунке 6, другой раз - измеряя диаметр и умножая его на число π. Результаты сравните и запишите в тетради.
Головку винта нужно плотно прижать к линейке, совместив шлиц винта с 0 шкалы, а затем катить винт по линейке без проскальзывания, повернув его на 360°. Сравнить полученное значение с числом πd, где d - диаметр винта, измеренный линейкой.

23. Возьмите несколько одинаковых монет, сложите их так, как показано на рисунке 7, и измерьте линейкой, имеющей цену деления 1 мм, толщину получившейся стопки. Определите толщину одной монеты. В каком случае толщина одной монеты будет измерена более точно: с малым или большим числом монет?
Толщина одной монеты равна отношению толщины всех монет к их количеству. Чем больше взято монет, тем точнее результат измерений.

24. Как с помощью измерительной линейки определить средние диаметры мелких однородных предметов, например зерен пшена, чечевицы, булавочных головок, зерен мака и т. п.?
Для этого надо выложить предметы вплотную вдоль линейки, измерить длину получившегося ряда и разделить ее на число предметов.

25. а) При строительстве дома уложили железобетонную плиту длиной 5,8 м и шириной 1,7 м. Определите площадь, которую заняла эта плита, б) В любом цирке мира диаметр арены равен 13 м. Какую площадь в цирке занимает арена?

26. Какой длины будет полоса, состоящая из квадратных кусочков площадью 1 см2, вырезанных из листа площадью 1 м2?

27. Измерив диаметр круга, изображенного на рисунке 8, вычислите его площадь. Определите площадь круга, подсчитав в нем квадратики. Сравните полученные вами численные результаты.

28. Определите объем прямоугольного бруска, длина которого 1,2 м, ширина 8 см и толщина 5 см.

29. Измерив длину, ширину и высоту своей комнаты, определите ее объем.

30. Высота гранитной колонны равна 4 м, основание колонны - прямоугольник со сторонами 50 и 60 см. Определите объем колонны.

31. Каковы объемы жидкостей в мензурках, изображенных на рисунке 9?
950 мл; 76 мл; 165 мл.

32. В чем состоит сходство и различие шкал мензурок, изображенных на рисунке 10?
Цена деления и диапазон измерений одинаковы в обеих мензурках. У первой (конической) мензурки шкала неравномерная, а у второй (цилиндрической) - равномерная.

33. В мензурку с водой (рис. 11) опущено тело неправильной геометрической формы. Определите цену деления мензурки и объем тела.
Цена деления мензурки - 10 см3; V = 800 см3 - 500 см3 = 300 см3.

34. Как определить объем одной дробинки, если даны мензурка, дробь, вода?
Надо налить воду в мензурку, измерить ее объем V1. Затем кинуть в мензурку дробинку и измерить новый объем V2 воды с дробинкой. Объем дробинки V = V2 – V1.

35. Объясните, пользуясь рисунком 12, как можно определить объем тела, которое не помещается в мензурке.
Поместить тело в сосуд с жидкостью, налитой до максимально возможного уровня. Тогда объем тела равен объему жидкости, вылившейся в мензурку.

36. С какой точностью можно измерить время секундомером, изображенным на рисунке 13?
С точностью до 0,5 с.

37. Победитель школы по легкой атлетике пробежал дистанцию 100 м за время, которое показано на секундомере на рисунке 13. Выразите это время в минутах, часах, миллисекундах, микросекундах.
11 с ≈ 0,18 мин; 11 с ≈ 0,003 ч;
11 с = 11000 мс; 11 с = 11000000 мкс.

38. Ночью температура воздуха была -6 °С, а днем +4 °С. На сколько градусов изменилась температура воздуха?

Математика, как наука, обязана своим появлением Древнему Востоку. Нет точных дат ее зарождения, но достоверно известно, что практически каждое отдельно взятое восточное государство имело свою и методы расчета. В данной статье мы обсудим такое явление, как вавилонские числа, рассмотрим археологические артефакты, подтверждающие их существование, и оценим их влияние на дальнейшее развитие науки.

Вступление

Вавилонское царство начало свое существование во II тысячелетии, а пало в 539 году до нашей эры. За этот период данный восточный регион сделал серьезный шаг вперед во многих сферах жизни, уделив особое внимание архитектуре и астрономии. Но для того, чтобы постройки были устойчивыми и долговечными, чтобы наблюдения за небесными светилами можно было записать и проанализировать, требовалась математика. Поэтому на заре зарождения новой цивилизации в Месопотамии появились и числа.

Так как государство строилось на обломках некогда существовавших здесь Шумера и Аккада, также весьма могущественных держав, изобретения и научные достижения предшественников помогли вавилонянам стать развитой и прогрессирующей расой.

Система счисления Вавилонского царства

При первом взгляде на вавилонские числа сразу возникает ассоциация с римскими, так как принцип их записи практически идентичен, и при этом куда более простой. В системе используется всего два знака: прямой клинок, обозначающий единицы, и лежачий клинок, который оценивают в десяток.

Для записи цифр от 1 до 9 используется только первый символ, а для всех последующих показателей применяется та или иная комбинация двух клиньев. Важно отметить, что была шестидесятеричной и делилась на соответствующие разряды, и это неслучайно. Шестеричным делением Вавилон обязан шумерам, а наличием десятка - аккадцам. В дальнейшем вавилонские числа продублированы арабскими, римскими и греческими и стали основой времяисчисления. С тех пор мы делим час на 60 минут, а каждую минуту на 60 секунд.

Трудности в вавилонской математике

Как мы видим на таблице, в Древнем Вавилоне оканчивался на 59, так как система была шестидесятеричной. Но ведь столь развитая цивилизация не могла ограничиваться лишь таким объемом цифр? Совершенно верно. Вавилонская нумерация чисел предполагала огромные показатели, которые сегодня мы называем трех-, четырех- и пятизначными.

Как пример возьмем отрезок от 60 до 120. Для цифры 60 применялся тот же клинок, что и для единицы, только большего размера. После него оставляли большой пробел и далее записывали остальную часть числа. Это со временем стало порождать путаницу, с которой порой не могли разобраться даже сами древние пользователи. Можно только гадать, как ломали мозг эксперты, которые расшифровывали подобные артефакты. Кроме того, вавилоняне не имели нуля, а это значительно упростило бы запись сложных чисел.

От путаницы к порядку

Чтобы узнать вавилонские числа в ряде других систем исчисления, достаточно запомнить два знака. Чтобы правильно прочитать их и определить значение, необходимо ознакомиться с принципом позиционности. Для нас в этом нет ничего сложного, так как в современном мире существует единая позиционная система. Суть ее заключается в том, что место той или иной цифры влияет на значимость числа. Согласитесь, если мы меняем местами 1 и 7 в числе 17, то результат становится совсем иным. Но для древних народов это не было столь очевидным, так как ранее позиция цифры в числе не имела значения. Вавилоняне первыми в истории человечества поняли, что нет необходимости создавать множество знаков, записывая их хаотично. Достаточно будет двух, значение которых будет зависеть от позиции.

Вавилонские «тетрадки»

В государствах между Тигром и Евфратом не только правители, но и простые люди были весьма образованными, но для полной гармонии им не хватало одного элемента - бумаги. В Египте вместо нее использовали папирус, на котором рисовали древние иероглифы и значки, а вавилонская запись чисел и букв-картинок велась на глиняных табличках.

Такая техника называется клинописью, и суть ее заключается в том, что пока глина мягкая, заточенным деревянным клинком на ней выводятся необходимые символы, которые впоследствии застывают. Таблички были различной величины, толщины и качества. В зависимости от этих показателей на них записывали законы и указы, научные труды, или же рассказы простых людей, их наблюдения и случаи из жизни.

История и наука

В наши дни прослеживается четкое разделение профессий на технические, подразумевающие знание математики, физики и прочих и гуманитарные, где главную роль играют языки, литература, история и философия. Когда существовали и развивались древние цивилизации, все эти отрасли не просто тесно переплетались между собой, но и формировали единое целое, что позволяло людям получать новые знания. Выше мы уже затрагивали такую тему, как история математики, и хотелось бы раскрыть еще пару моментов.

Именно потому, что Восточному Древнему миру выпала честь быть колыбелью мировой цивилизации, он был вынужден просчитать буквально все. Достаточно рано там появилась экономика, которая строилась на таких элементах, как числовой ряд и операции с цифрами. Велись подсчеты зерна и круп, измерялись площади полей, просчитывались массы и параметры построек. Активно развивалась также астрономия. Для дальнейшего продвижения работ в этой области были разработаны первые формулы, по которым высчитывались расстояния до видимых звезд и планет. Некоторые из них ученые до сих пор используют в неизменном формате.

Сегодня мы говорим, что математика - основа физики, химии и астрономии, но на самом деле она возникла на фундаменте данных уже существующих наук, так как была необходимостью.

Наряду с долиной Нила, другим районом массового поселения первобытных людей на Ближнем и Среднем Востоке была долина рек Тигра и Евфрата – Двуречье, или Месопотамия. Здесь, как и в долине Нила, очень плодородные почвы, поэтому первобытный человек, наряду с обычными в то время способами добываниями пищи, занялся земледелием. В конце IV тысячелетия до н.э. в Южном Двуречье складывается рабовладельческий строй в виде небольших государств. В III тысячелетии до н.э. в Двуречье существуют только два, но зато крупных государства двух различных племен – шумеров и аккаденян. В XXIII в. до н.э. оба государства были объединены аккадским царем. Вавилонское царство в борьбе с иноземными завоеваниями не раз испытало периоды подъема и упадка. В 729 г. до н.э. Вавилон был завоеван Ассирией, а в 538 г. до н.э. Ассирийско-Вавилонское царство было захвачено персами.

Стимулы развития математики в Вавилоне были примерно те же, что и в Египте: нужно было строить большие общественные здания и крепости, для нужд земледелия приходилось сооружать каналы и дамбы, нужно было вычислять длины, площади и объемы, считать налоги, составлять календарь. Царские указы и математические расчеты составляли писцы.

Вавилоняни писали на сырых глиняных табличках, которые затем сушили на солнце или обжигали в печах. Этот материал был весьма долговечен, поэтому большое количество исписанных табличек сохранилось до наших дней. Основным знаком при письме был клин; по этой причине вавилонская письменность называется клинописной. Клин выдавливали на глине специальной треугольной деревянной палочкой.

Арифметика. Вавилонская нумерация чисел также была клинописной. Основными знаками в ней были вертикальный клин ∇ и горизонтальный. Эта нумерация была изобретена шумерами. Приведем примеры записи чисел по вавилонской системе (рис.2).

(т.е. 3721 = 3600 + 2 ∙ 60 + 1).

Отсюда видно, что от 1 до 59 вавилонская система строилась по аддитивному принципу, который использовался и в Египте. Новое начинается в числа 60: один и тот же знак ∇ в зависимости от его позиции мог означать и 1, и 60, и 3600, а знак - и 10, и 600, и 36000. Следовательно, эта система по своему типу была шестидесятеричной позиционной. Точнее, она была полупозиционной, так как не было знака для нуля; знак для нуля появился, но сравнительно поздно и не получил широкого распространения. Конечно, отсутствие знака для нуля доставляло неудобства, но в задачах практического характера обычно по тексту легко было догадаться, каков порядок рассматриваемого числа.

Почему в Вавилоне в качестве основания системы счисления было выбрано такое большое число -60? На этот счет существует несколько гипотез. наиболее правдоподобной представляется следующая. Население Вавилонского царства было смешанным, и вавилонская культура сложилась в результате слияния культур нескольких народов. В частности, нужно было переводить меры одного народа в меры другого. Например, если у четырех народов применялись системы мер с основаниями 5, 10, 12 и 20, то наиболее удобным числом для такого перевода было 60 – наименьшее общее кратное этих чисел.

Шестидесятеричная система счисления распространялась и на дроби: знак ∇ мог означать так же или, а знак −=

Сложение и вычитание натуральных чисел и дробей выполнялись примерно так же, как и в нашей десятичной позиционной системе. Характерной особенностью умножения и деления в Вавилоне являлось широкое использование специальных таблиц. Применялись следующие таблицы: таблицы умножения натуральных чисел (от 1∙1 до 59∙59); таблица обратных чисел, с помощью которой деление заменялось умножением на число, обратное делителю; таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубичных корней и некоторые другие, например, таблица значений выражения .

Арифметические задачи у вавилонян носили прикладной характер и большей частью решались с помощью пропорциональной зависимости.

Вавилоняне положили начало астрономии. Они первыми стали определять координаты светил на ночном небе. В связи с этим они делили окружность на 360 градусов, градус – на 60 минут, а также час на 60 минут. Вавилонская шестидесятеричная система счисления применялась в астрономии всеми народами Европы и Азии, которые занимались этой наукой, вплоть до XV-XVI вв. н.э. Но позиционный принцип записи чисел был распространен на арифметику лишь в средние века.

Алгебра. Вавилоняне в явной форме понятиями уравнения и неизвестного. Знаков действий и знака равенства не было ни в арифметике, ни в алгебре, отрицательные и нулевые корни уравнений не рассматривались.

В Вавилоне умели решать следующие типовые уравнения:

2)3), 4),, где- данные положительные рациональные числа.

Уравнения первого, второго и пятого типов решались с помощью числовых таблиц – таблиц обратных чисел, умножения, квадратных и кубичных корней. Для решения квадратных уравнений третьего и четвертого типов применялись алгоритмы.

Пример 1 . “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870”. Имеется в виду уравнение Получилось уравнение четвертого типа.

Оно решается по верной числовой формуле

Обоснования способа решения, как и везде в подобных случаях, нет, но, вероятно, как и у нас, левая часть уравнения дополнялась до полного квадрата. Следовательно, вавилоняне должны были знать тождество

В Вавилоне умели решать такие типовые системы уравнений:

1)2).

Пример2 . «Длина, ширина. Длину и ширину я сложил и получил 12. Затем длину и ширину перемножил, 27 получилось у меня».

Это система уравнений

Она решается по верным числовым формулам

Наиболее вероятное обоснование этого решения таково: вводилось новая переменная формулойоткуда

Но для подобного решения вавилоняне должны были знать тождество

В Вавилоне умели решать и многие нетиповые уравнения и системы уравнений.

Остановимся на других знаниях вавилонян по алгебре.

Они были знакомы с арифметической и геометрической прогрессиями, в частности, умели находить сумму членов арифметической и геометрической прогрессий (для геометрической прогрессии – только для некоторых частных случаев). Они знали формулу суммы квадратов первых чисел натурального ряда. Вавилоняне умели извлекать квадратные корни по приближенной формуле

где 𝒶 и b положительны, b мало сравнительно с 𝒶. Самой этой формулы

где и положительны, мало сравнительно с 𝒶. Самой этой формулы в явном виде мы в вавилонских текстах не найдем. Но в таблице квадратных корней приводится, например, в качестве значения число. Оно получено, вероятно, следующим образом:

(точное значение есть 1,4142…).

Обоснование записанной выше приближенной формулы получить современными средствами нетрудно:

Так как член в правой части последнего равенства по условию мал, то им можно пренебречь.

Геометрия. Вавилоняне умели правильно вычислять площадь прямоугольника, треугольника и трапеции, объем прямой призмы и прямого кругового цилиндра. Длина окружности находилась по формуле , а площадь круга – по формуле; в обоих случаях получаем плохое приближение для

Объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды и объем усеченного конуса находили по неверным формулам

В Вавилоне были хорошо знакомы с подобием треугольников и с правильными многоугольниками. Была известна теорема Пифагора.

Вавилоняне умели решать уравнение + в натуральных числах, что связано с теоремой Пифагора. Позднее прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами получили название пифагоровых. Решение уравнения выполнялось с помощью формул

где 𝒶 и b - любые натуральные числа,𝒶 > b . Например, при получаем треугольник со сторонами

В Вавилоне умели решать то же уравнение и в рациональных числах. Этот результат относится не столько к геометрии, сколько к теории чисел.

Подведем итоги. Вавилонская математика далеко превосходила египетскую, несмотря на то, что Вавилон и Египет находились рядом и существовали почти в одно и то же время. Но почему? Видимо, дело в том, что Египет был этнически однороден, а в Вавилоне было несколько народностей, каждая из которых внесла свой вклад в единую культуру Вавилонского царства. Далее, Вавилон находился на перекрестке важнейших древних торговых путей Ближнего и Среднего Востока и, следовательно, был хорошо знаком с культурой и наукой соседних народов, а Египет с его пустыней Сахарой торговые караваны старались обойти стороной.