Комбинаторика является одним из разделов математики, изучающая задачи расположения, сочетания, выбора объектов в различных ситуациях (условиях).

Иногда обсуждение "перестановок и сочетаний" начинается с вопроса, подобного следующему:

Сколькими способами может одеться человек, комбинируя три рубашки, два галстука и две пары ботинок?

Пусть первая координата указывает вариант выбора рубашки, вторая - галстука, а третья - ботинок.

(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,2,2) для комбинации с первой рубашкой

(2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,2) для комбинации со второй рубашкой

(3,1,1) (3,1,2) (3,2,1) (3,2,2) для комбинации с третьей рубашкой

Эта совокупность является множеством всех упорядоченных пар.

Теперь понятно, что правильным ответом служит число 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12.

Итак, сформулируем общее утверждение:

Основное правило комбинаторики

Пусть необходимо несколько раз произвести выбор. Существует m 1 вариантов при первом выборе, m 2 - при втором, m 3 - при третьем и т.д.

Если каждый раз выбор производится без всяких ограничений, тогда общее число возможностей для всей последовательности выборов равно:

m 1 ∙ m 2 ∙ m 3 ∙ ...

Теперь познакомимся с основными стандартными методами вычислений, используемыми при решении комбинаторных задач.

Рассуждения будем приводить на основе следующего примера:

Пусть урна содержит m различных шаров с номерами от 1 до m . Из неё извлекаются n шаров при соблюдении некоторых условий на способ извлечения. Для каждой модели вычисляются количества всех возможных исходов.

1. Размещение (или упорядоченный выбор)

1.1 Число размещений с возвращением

Шары извлекаются наудачу один за другим, причем каждый вынутый шар возвращается назад в урну прежде, чем будет извлечен следующий. При этом записываются номера шаров в порядке их появления.

Таким образом, мы имеем дело с упорядоченными наборами (a 1 ,...,a n ), в которых каждое a j может принимать любое значение от 1 до m .

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Курсовая работа по дисциплине

«Теория вероятности и математическая статистика»

Выполнил: студент группы ИСТ-236-12

Божков Д.И.

Проверил: Мартынов И.В.

Задачи из учебника

5. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение - четырем.

Решение

Поскольку бросают две кости, то всего число вариантов различных выпадений равно 6*6=36.

а) сумму очков, равную семи, дают варианты: 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1. То есть, всего 6 подходящих вариантов. Таким образом, искомая вероятность равна 6/36=1/6 .

б) для данного случая подходят варианты: 2-6, 6-2, то есть, всего 2 варианта. Искомая вероятность равна: 2/36=1/18 .

в) совпадает со случаем б. 1/18 .

г) для данного случая подходят варианты: 1-4, 4-1, то есть, всего 2 варианта. Искомая вероятность равна: 2/36=1/18 .

7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

Решение

Вероятность выпадения «герба» при одном броске равна ½. Вероятность невыпадения «герба» при одном броске равна ½. Тогда вероятность, что при двух бросаниях не выпадет ни одного «герба» равна (1/2)*(1/2)=1/4.

Событие, что при двух бросках монеты выпадет хотя бы один «герб», является обратным к событию, что не выпадет ни одного герба. Следовательно, искомая вероятность равна 1-1/4=3/4.

Ответ: ¾.

12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение

Всего извлечь из ящика три детали возможно способами. Извлечь из ящика три окрашенные детали возможноспособами. Получаем, что искомая вероятность будет равна 120/455=24/91.

Ответ: 24/91.

51. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероят­ность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение.

Разделим событие на два случая.

В первом случае попадает первый стрелок, а второй стрелок промахивается. По правилу умножения вероятностей получаем, что вероятность этого случая равно 0,7*(1-0,8)=0,14.

Во втором случае попадает второй стрелок, а первый стрелок промахивается. По правилу умножения вероятностей получаем, что вероятность этого случая равно (1-0,7)*0,8=0,24.

Тогда вероятность искомого события равна сумме вероятностей этих двух случаев, т.е. 0,14+0,24=0,38.

Ответ: 0,38

52. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Решение

Пусть р – вероятность поражения цели первым орудием. Тогда вероятность, что при залпе двух орудий будет только одно попадание в цель, равна р*(1-0,8)+(1-р)*0,8 (либо первый попадет, а второй – нет, либо наоборот, вероятности при этом складываются), что по условию равно 0,38. Получаем уравнение:

р*(1-0,8)+(1-р)*0,8=0,38

0,2р+0,8-0,8р=0,38

Ответ: Вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий равна 0,7.

59. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани - другое число очков; б) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани - другое число очков; в) на всех выпавших гранях появится разное число очков.

Решение

а) Вероятность выпадения на первой кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на второй кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на третий кости другого числа очков равна 5/6. Таким образом, вероятность данной комбинации равна 5/216 .

б) Вероятность выпадения на первой кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на второй кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на третий кости другого числа очков равна 5/6. Таким образом, вероятность данной комбинации равна 5/216.

Аналогично получаем вероятности для случаев, когда на первых двух костях выпадает 2, 3, 4, 5 или 6 очков, а на третьей – другое число очков. Все они равны 5/216. Получаем, что общая вероятность того, что на первых двух костях выпадет одинаковой число очков, а на третьей кости – другое, равна 6*5/216=5/36 .

в) Поскольку бросается 3 кости, то всего возможно 216 различных комбинаций их выпадения.

Число очков на каждой ксоти может быть от 1 до 6, всего 6 вариантов. Поскольку все три числа очков разные, то воспользуемся формулой для размещения без повторений.

В нашем случае n=6, k=3.

Получаем, что общее число комбинаций из трех разных цифр равно 120.

Тогда искомая вероятность равна 120/216=20/36=5/9 .

81. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08, Найти вероятности отказа устрой­ства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение

Найдем вероятность безотказной работы устройства: (1-0,05)*(1-0,08)=0,874.

Тогда вероятность отказа устройства равна 1-0,874=0,126 (обратное событие).

Ответ: 0,126

90. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение

Пусть в урне первоначально m белых шаров. После того, как в урну положили еще один белый шар, то вероятность достать белый шар стала (m+1)/(n+1).

Вероятность того, что в урне m белых шаров, равна 1/(n+1). (от 0 до n, всего n+1 вариант).

Тогда по формуле полной вероятности получаем, что искомая вероятность равна:

Ответ:

94. В первой урнt содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Решение

Рассмотрим события: А1 – взято 2 белых шара из урн, А2 – взят один белый шар из урн, А3 – взятые из урн шары все не белые, В – из выбранных шаров взяли белый шар.

Вероятность, что из первой урны взят белый шар, равна 8/10=4/5. Вероятность, что из второй урны взят белый шар, равна 4/20=1/5. Получаем, что Р(А1)=4/5*1/5=4/25. При этом Р(В|А1)=1.

Событие А2 складывается из двух вариантов: из первой взяли белый, а из второй – не белый и из первой взяли не белый, а из второй – белый шары. Тогда P(A2)=4/5*(1-1/5)+(1-4/5)*1/5=16/25+1/25=17/25. При этом Р(В|А2)=1/2.

Р(А3)=1-Р(А1)-Р(А2)=4/25, поскольку они образуют полную группу событий. При этом Р(В|А3)=0.

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 1/2

98. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Решение:

Рассмотрим события: А1 – стрелок взял винтовку с оптическим прицелом, А2 – у стрелка была винтовка без оптического прицела, В – стрелок попал в цель.

Тогда по условию задачи

По формуле полной вероятности вероятность попадания стрелком в цель равна:

Тогда по формуле Байеса получаем, что

Ответ: Вероятнее, что стрелок взял винтовку без оптического прицела.

112. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Решение

Вероятность выпадение «герба» равна 1/2.

Пусть Х – число выпадений «герба». Х имеет биномиальное распределение. .

В нашем случае p=1/2, n=5.

а) Тогда вероятность, что из 5 испытаний менее 2 закончатся успехом (0 или 1), равна

б) Данное событие является обратным к событию пункта а), поэтому его вероятность равна 1-3/16=13/16.

167. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

Решение

Х имеет биномиальное распределение с параметрами р=0,1, n=4.

171. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение

Вероятность, что одна наудачу отобранная деталь является стандартной, равна 4/6=2/3.

Х – количество стандартных деталей. Х имеет биномиальное распределение с параметрами р=2/3, n=3.

257. Случайная величина X задана функцией распре­деления

Найти вероятность того, что в результате четырех неза­висимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75).

Решение.

Найдём вероятность, что в результате одного испытания величина Х примет значение из заданного интервала:

Пусть Y – число попаданий величины Х в заданный интервал. Величина Y имеет биномиальное распределение. Тогда:

Ответ: 0,25.

261. Дискретная случайная величина задана законом распределения

р 0,2 0,1 0,4 0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение:

Функция распределения:

269. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F (х).

Решение

Поскольку f (x ) является производной от F(x), то

,

следовательно

.

276. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2)х в интервале (0; 2); вне этого интервала f (х)= 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение:

314. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

Решение

Поскольку величина имеет равномерное распределение, то М(х)=(a+b)/2, где а=2, b=8. Получаем M(x)=5.

322. Математическое ожидание нормально распреде­ленной случайной величины X равно а = 3 и среднее квадратическое отклонение σ= 2. Написать плотность вероятности X.

Решение

323. Написать плотность вероятности нормально рас­пределенной случайной величины X, зная, что M(X) = 3, D (X) = 16.

Решение:

399. Задана функция распределения F (х) случайной величины X . Найти функцию распределения G (у) случайной величины Y, если: а) Y = 4Х + 6; б) Y =- 5Х + 1; в) Y = aX+b.

Решение

а) G(Y)=F((y-6)/4)

б) G(Y)=1-F((1-y)/5), поскольку функция убывающая.

в) G(Y)=F((y-b)/a), если a> 0 (функция возрастающая), G(Y)=1-F((y-b)/a), если a<0 (функция убывающая).

422. Задана дискретная двумерная случайная вели­чина (Л, К):

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; 6) условный закон распределения Y при условия, что Х = 6.

Решение

а) зафиксируем значение Y=10. P(Y=10)=0.25+0.10=0.35.

Тогда для P(X=3|Y=10)=0.25/0.35=5/7, P(X=6|Y=10)=0.10/0.35=2/7

244. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

Решение

D(X)=npq=800*1/4*3/4=150.

Воспользуемся неравенством Чебышева

3.1 .В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

3.2 . В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

3.3 .В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

3.4 В.ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

3 .5 . В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во 2-ой урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

3 .6 . В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

3.7. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

3.8. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

3.9 . Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3 .10. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

Формула Бернулли

4.1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырехили три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

4.2. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются

4.3. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

4.4. а ) Найти вероятность того, что событие А по явится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие В появится в случае, если событие А на­ступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступ­ления события В, если будет произведено пять независи­мых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

4.5. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов

4.6. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения маль­чика принять равной 0,51.

4.7. Отрезок AВ разделен точкой С в отношении 2: 1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.8. На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а три – на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.9. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от резка и не зависит от его расположения.

4.10. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Случайные величины

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). Найти значения входящих в формулу параметров, функцию распределения F(x) , математическое ожидание М(х) , дисперсию D(x) , вероятность попадания в интервал . Нарисовать графики функций f(x) и F(x) .

Вопросы, выносимые на зачет по дисциплине «Математика»

Преподаватель: Глушко Ольга Васильевна

1. Испытания и события. Их классификация.

2. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности случайного события.

3. Основные понятия и формулы комбинаторики.

4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Формулировка, пример.

5. Полная группа событий, противоположные события. Определения, примеры.

6. Произведение событий, условная вероятность. Определение. Примеры.

7. Теорема умножения вероятностей. Формулировка, пример.

8. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

9. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

10 Формула полной вероятности.

11. Вероятность гипотез. Формула Байеса. Пример.

12. Формула Бернулли. Пример.

13. Локальная теорема Лапласа. Пример.

14. Интегральная теорема Лапласа.

15. Случайная величина (СВ). Основные определения.

16. Биномиальное распределение СВ.

17. Распределение Пуассона СВ.

18. Геометрическое распределение СВ.

19. Гипергеометрическое распределение СВ.

20. Числовые характеристики дискретных случайных величин (ДСВ).

21. Математическое ожидание ДСВ, его свойства.

22. Дисперсия ДСВ, его свойства.

23. Среднее квадратическое отклонение ДСВ.

24. Начальные и центральные теоретические моменты.

25. Закон больших чисел (неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли).

26. Определение функции распределения вероятностей СВ. Ее свойства.

27. График функции распределения СВ.

28. Определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ).

29. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал.

30. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

31. Свойства плотности распределения НСВ.

32. Числовые характеристики НСВ.

33.Нормальное распределение НСВ.

34. Нормальная кривая, влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

35. Вероятность попадания в заданный интервал НОВ.

36. Правило трех сигм.

37. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

38. Определение показательного распределения НСВ.

39. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной СВ.

40. Числовые характеристики показательного распределения НСВ.

41. Функция надежности НСВ, показательный закон надежности.

42. Понятие о системе нескольких случайных величин.

43. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной СВ.

44. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.

45. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.

46. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

47. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

48. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме. Формулы Эйлера.

Похожая информация.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В урне находится $K$ белых и $N-K$ чёрных шаров (всего $N$ шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.

По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения ):

$$ P=\frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. \qquad (1) $$

*Поясню, что значит "примерно": шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "белыми шарами", второй - "черными шарами" и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про шары в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе шаров

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:

$$ P=\frac{C_{10}^2 \cdot C_{8}^{3}}{C_{18}^5} = \frac{45 \cdot 56}{8568} = \frac{5}{17} = 0.294. $$

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:

$$ P=\frac{C_{5}^2 \cdot C_{5}^{0}}{C_{10}^2} = \frac{10 \cdot 1}{45} = \frac{2}{9} = 0.222. $$

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где
$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),
$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).

Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине). Выбираем $n=2$ шара.

Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:

$$ P(A_1)=\frac{C_{4}^2 \cdot C_{2}^{0}}{C_{6}^2} = \frac{6 \cdot 1}{15} = \frac{2}{5} = 0.4. $$

Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:

$$ P(A_2)=\frac{C_{4}^0 \cdot C_{2}^{2}}{C_{6}^2} = \frac{1 \cdot 1}{15} = \frac{1}{15}. $$

Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:

$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac{2}{5} + \frac{1}{15} =\frac{7}{15} = 0.467. $$

Из урны, где находятся шаров, среди которых черных белых, случайно вытащены шаров. Какова вероятность того, что среди них будет черных белых шара?

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P 1 – выпал герб, P 2 - иначе

b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B 1 – из первой урны, B 2 – из второй урны
,

Пример 2. В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные



в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

- хотя бы один из них белый

P а +P б +P в =

Пример 3 . В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A 1) – вынули белый шар

P(A 2) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а . В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) - ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, - вынули из других
C 1 – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С 2 – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – первый цилиндр, Ц 2 – второй цилиндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хотя бы один цилиндр
K 1 – первый конусообр.
K 2 - второй конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали


б) две из трех деталей бракованных P(2)
в) хотя бы одна стандартная
P(0)-нет бракованных

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной

Пример 7 . В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й - 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P ББ 1 =
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P БЧ =
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P ЧБ =
Итого: P БЧ 1 =
в) вынули за подряд 2 черных шара
P ЧЧ 1 =
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

P БЧ 2 P ББ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).

Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:

Ответ: P = 0.54

Пример 7а . Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б . В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в . В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А - одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В - из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В - они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г . В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем - 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A - событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
H1 - вытащенный шарик из первого ящика,
H2 - вытащенный шарик из второго ящика,
H3 - вытащенный шарик из третьего ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8 . В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава H1), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом - по 4 красных шара (это ящик состава H2). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

Вероятность того, что любой взятый шар содержится в одном из первых пяти ящиков:
P(H 1) = 5/11
Вероятность того, что любой взятый шар содержится в одном из шести ящиков:
P(H 2) = 6/11
Событие произошло – вытащили красный шар. Следовательно, это могло произойти в двух случаях:
а) вытащили из первых пяти ящиков.
P 5 = 5 красных шаров * 5 ящиков / (30 шаров * 5 ящиков) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
б) вытащили из шести других ящиков.
P 6 = 4 красных шара * 6 ящиков / (20 шаров * 6 ящика) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Итого: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Следовательно, вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков равна:
P к.ш. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Пример 9 . В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P б (2) = P 2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:


P 2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P ч (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:


Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P к (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P б (2) + P ч (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Пример 10 . В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А - из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.

1. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Таким образом, вероятность можно найти как сумму вышеуказанных вероятностей.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Пример 11 . В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m . Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1))
в) Вытащили два новых мяча, при условии P3: поскольку ранее для первой игры не использовали новых мячей, то для второй игры их количество не изменилось g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1))

Полная вероятность P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Ответ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Пример 12 . В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар - белый?
Решение .
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А - извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13 . В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = 1 / 3
Тогда P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) черный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = 1 / 3
Тогда P(A|H=Ч)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Пример 14 . Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 - из первой урны вынут красный шар; A2 - из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15 . Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A 1 - первая вынутая карта красной масти. Событие A 2 - вторая вынутая карта красной масти. B - обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A 1 , и событие A 2 , то B = A 1 · A 2 . События A 1 и A 2 зависимые, следовательно, P(B) :
,
Отсюда

Пример 16 . В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 - черный цвет; 3 - красный цвет. Пусть событие A i - из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B j - из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A - оба шара одного цвета.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . События A i и B j независимые, а A i · B i и A j · B j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Пример 17 . Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение .
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т.е. третий шар будет черным, а первые два - белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0