Закон распределения минимума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых статистик

В этом пункте мы рассмотрим прежде всего такое функциональное преобразование с. в., которое заключается в выборе максимальной (минимальной) из двух величин.

Задача 1. Закон распределения минимума двух случайных величин. Дана непрерывная система с. в. (Х и Х 2) с п. р./(*!, х 2). Найти функцию распределения с.в. Y:

Решение. Найдем сначала Р {Y> у} = Р {Xi > у; Х 2 > у}. Область D (у), где Х > у и Х 2 > у показана на рис. 9.6.1. Вероятность попадания точки {Х[, Х 2 } в область D (у) равна

где F (х ь х 2) - функция распределения системы с. в. (Х ь Х 2), F x (jq), F 2 (х 2) - функции распределения с. в. Х и Х 2 соответственно. Следовательно,

Для определения п. р. g (у) нужно найти производную правой части (9.6.1):

Если с. в. Х х, Х 2 независимы и распределены одинаково с п. р. Fi (х) =/ 2 (х) =f(x), то

Пример 1. Рассматривается работа ТУ, состоящего из двух блоков Bi и Б 2 , совместная работа которых безусловно необходима для работы ТУ. Времена работы блоков Б! и Б 2 представляют собой независимые с. в. Х и Х 2 , распределенные по показательным законам с параметрами Х и Х 2 . Требуется найти закон распределения с. в. У- времени работы ТУ.

Решение. Очевидно, что

По формулам (9.6.4) находим:

т. е. минимум двух независимых случайных величин , распределенных по показательным законам с параметрами Х х и Х 2 , распределен тоже по показательному закону с параметром Х х + Х 2 . ?

Задача 2. Закон распределения минимальной из п независимых случайных величин. Дана система п независимых с. в. (Х х, Х 2 , ..., Х п) с п. р.f (x x),f 2 (х 2), ...,f n (х п ). Найти ф. р. и плотность с. в. Y= min {Х х,.... Х п).

Решение. По определению

Пример 2. Рассматривается работа автоматизированной системы (АС), состоящей из п подсистем. Для работы АС необходима работа всех п подсистем; время безотказной работы /-й подсистемы 7} распределено по показательному закону с параметром (/ = 1, 2,п) и не зависит от времени работы других подсистем. Определить закон распределения времени Д я) безотказной работы АС.

Решение. Очевидно, что

По формуле (9.6.6) находим функцию распределения с.в. Д л)

Таким образом, закон распределения с. в. - минимальной из п независимых с. в., распределенных по показательным законам, также является показательным; при этом его параметр i}S n)) равен сумме параметров этих показательных распределений. Из этого следует, что

Можно показать, что закон распределения с. в. Д я) при достаточно большом п будет сходиться к показательному закону, даже если с. в. 7} (/= 1, 2, ..., п) не распределены по показательным законам. Покажем это на примере одинаково равномерно распределенных с. в.:

В этом случае

а это есть ф. р. показательного закона.

Таким образом, можно сделать вывод, широко применяемый в инженерных приложениях: если какое-либо устройство состоит из достаточно большого числа элементов п, работа которых безусловно необходима для работы устройства , то закон распределения времени Ф п) безотказной работы устройства близок к показательному с параметром , определяемым по формуле

где М [ Tj - среднее время безотказной работы /-го элемента.

Поток отказов такого устройства будет близок к пуассоновскому с параметром )S n ?

Задача 3. Закон распределения максимальной из двух случайных величин. Дана непрерывная система с. в. (Х ь Х 2) с плотностью/(лс ь х 2). Требуется найти закон распределения с.в.

Решение. По определению,

где F(x x , х 2) - функция распределения системы (Х и Х 2).

Дифференцируя это выражение, как делали раньше, получим:

Если случайные величины Х и Х 2 распределены одинаково, то

Если случайные величины Х ь Х 2 независимы, то

Если случайные величины Х ь Х 2 независимы и распределены одинаково, то

Пример 3. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончена сборка двух его блоков Bi и Б2. Время сборки блоков Bi и Б 2 представляет собой систему независимых с. в. Х х и Х 2 , распределенных по показательным законам с параметрами Х х и Х 2 . Y- времени окончания сборки обоих блоков ТУ.

Решение. Очевидно, что Y= max {Х ъ Х 2 }. Плотность распределения с. в. ^определяется по формуле (9.6.12)

Этот закон не является показательным. ?

Задача 4. Закон распределения максимальной из п независимых случайных величин. Дана непрерывная система с. в. {Х х, Х 2 , ..., Х п) с плотностью f{x x , х 2 ,

Найти закон распределения случайной величины

Решение. По определению

где F(x 1, х 2 ,..., х п) - функция распределения системы (Х х, Х 2 , ..., X п). Дифференцируя, найдем плотность распределения:

где Fj (Xj ) - ф. р. с. в. Xjfj(xj ) - ее плотность.

Если с. в. Х ь ..., Х п независимы и распределены одинаково (Fi(y) = F(y);f (у) =f(y ) (/"= 1,п )), то

Если случайные величины Х и ..., Х п независимы, то

Пример 4. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончена сборка всех п его блоков: Б ь Бг, ..., Б„. Времена сборки блоков Б ь..., Б л представляют собой систему п независимых с. в. (Х ь..., Х п), распределенных по показательным законам с параметрами А.1,..., А, п.

Требуется найти плотность с. в. У- времени окончания сборки всех п блоков ТУ.

Решение. Очевидно, что у = max {Х ,..., Х п). По формуле (9.6.16) имеем

Задача 5. Закон распределения порядковых статистик. Рассмотрим непрерывную систему одинаково распределенных, независимых с. в. (X v Х 2 , ..., X п) с ф. р. F(x) и п. р./(х). Расположим значения, принятые случайными величинами X v Х 2 , ...,Х п, в порядке их возрастания и обозначим:

Х (1) - случайная величина, принявшая наименьшее из значений: (X (1) = min {X v Х 2 , ...,Х п });

Х(2) - вторая по величине принятого значения из случайных величин X v Х 2 , ...,Х п;

Х (т) - т-я по величине принятого значения из случайных величин Х х, Х 2 , ..., Х п;

Х(П) - наибольшая по принятому значению из случайных величин Х, Х 2 , х„ (Х (п) = шах {Х и Х 2 , ..., Х п }).

Очевидно,

Случайные величины X(i), Х @),..., Х(„) называются порядковыми статистиками.

Формулы (9.6.8) и (9.6.17) дают законы распределения крайних членов X(i), и Х(„) системы (*).

Найдем функцию распределения F^ m) (х) с. в. Х^ т у Событие {Х^ х} состоит в том, что т с. в. из системы п с. в. (Х { , Х 2 ,..., Х п) будут меньше х и (п - т) с. в. будут больше х. Так как с. в. X t (/" = 1, 2,..., п) независимы и одинаково распределены, то Р {X t х} = F (х) Р {Xj > х} = 1 - F (х). Нам нужно найти вероятность того, что в п независимых опытах событие {Xj х} появится ровно т раз. Применяя биномиальное распределение, получим

Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Пример 1 . Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.

Пример 2 . Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end{array}$

Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end{array}$

Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.

Пусть случайная величина $X$ - число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ - число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.

Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$

Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end{array}$

В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.

Определение 1 . Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Определение 2 . Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:

$$p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Пример 3 . Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$

Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$

Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.

В результате получим распределение $Z=2X+Y$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end{array}$

Назначение сервиса. С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) — 8*M(Y) + M(7) = 9*8 — 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) — D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) — 8^2D(Y) + 0 = 81*9 — 64*6 = 345

Непрерывные случайные величины. Системы случайных величин. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки. Устойчивость нормального распределения, страница 3

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х-дискретная случайная величина с рядом распределения

.

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Найти математическое ожидание функции .

Возможные значения Y:

; ; .

2. Пусть аргумент Х-непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .

Если возможны значения , то .

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .

, , , ; Следовательно,

§ 17. Функция двух случайных аргументов.

Формула свертки. Устойчивость нормального распределения.

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

.

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х-погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача-найти закон распределения суммы погрешностей .

Случай 1. Пусть Х и Y-дискретные независимые случайные величины . Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на игральной кости, число дефектных изделий в партии, отклонение точки падения снаряда от цели, время безотказной работы устройства и т. п. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной Называется случайная величина, возможные значения которой образуют счетное множество, конечное или бесконечное (т. е. такое множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной Называется случайная величина, возможные значения которой непрерывным образом заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой оси. Число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита: X , Y , . ; значения случайной величины – строчными буквами: Х, у, . . Таким образом, X Обозначает всю совокупность возможных значений случайной величины, а Х – Некоторое ее конкретное значение.

Законом распределения дискретной случайной величины называется задаваемое в любой форме соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пусть возможными значениями случайной величины X Являются . В результате испытания случайная величина примет одно из этих значений, т. е. Произойдет одно событие из полной группы попарно несовместных событий.

Пусть также известны вероятности этих событий:

Закон распределения случайной величины X Может быть записан в виде таблицы, которую называют Рядом распределения Дискретной случайной величины:

Дан закон распределения двух независимых случайных величин х и у

qp

q
p

Это геометрический закон распределения.

(получаем сходящийся ряд, так как
).

Задача 4. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобрали две детали. Написать закон распределения числа нестандартных деталей среди двух отобранных. Подсчитать математическое ожидание этой случайной величины.

Решение . Случайная величина X – число нестандартных деталей среди двух отобранных имеет следующие возможные значения:


Найдем их вероятности

Составим искомый закон распределения случайной величины

Находим математическое ожидание

.

Задача 5. Вероятный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течении шести месяцев – дан в виде закона распределения:

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц составит через 6 месяцев Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Задача 6 . Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

а)Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.. б) Дисперсию ежедневной продажи числа автомашин.

Решение. а)Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле

П = (150Х – 100) тыс. р.

Искомая характеристика М (П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):

б) Закон распределения случайной величины Х 2 имеет вид:

М (Х 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Математическое ожидание М (Х ) = 2,675. Следовательно, получаем искомую величину дисперсии:

Задача 7 . Случайная величина X задана на всей оси функцией распределения
. Найти функцию плотности вероятности и вероятность того, чтоX примет значение, заключенное в интервале (0,1 ).

Решение . По определению

Полезно сопроводить решение задачи рис.4.

Задача 8 . Функции распределения случайной величины имеет вид, изображенный на рис.5.

Найти: a)функцию плотности вероятности; б) глядя на график F (x ), указать основные особенности случайной величины, например, интервал возможных значений, наиболее вероятные значения и т.д.; в) M (X ), D (X ) ; г) P (X 2 ) . Тогда вероятность того, что деталь годная, равна

Изготовление детали рассматриваем как независимый опыт с вероятностью “успеха” p =0,31 . Тогда необходимое число деталей определяется из соотношения

Задача 1. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продаётся 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины Х – чистого выигрыша на один билет – равны 0 – 7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 – 7 =193, 250 – 7 =243, 5000 – 7 = =4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим:

т.е. ряд распределения

Задача 2. Вероятность того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б , равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение . Возможные значения случайной величины Х — числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.

Пусть A i – событие, состоящее в том, что студент сдаст i -й экзамен (i =1,2). Тогда вероятность того, что студент сдаст в сессию 0,1,2 экзамена, будут соответственно равны (считаем события А 1 и А 2 независимыми):

Итак ряд распределения случайной величины

Задача 3. Вычислить М(Х) для случайной величины Х — чистого выигрыша по данным задачи 1.

т.е. средний выигрыш равен нулю. Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билетов идёт на выигрыши.

Задача 4. Известны законы распределения случайных величин X и Y – числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками.

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

Рассматривая ряды распределения случайных величин X и Y , ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений, К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (X = 0; 1 и X = 9; 10), а у второго стрелка – промежуточные значения (Y = 4; 5; 6).

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

т.е среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое.

Задача 5. В задаче 4 вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка.

Итак, при равенстве средних значений числа выбиваемых очков (M (X )=M (Y )) его дисперсия, т.е. характеристика рассеяния относительно среднего значения, меньше у второго стрелка (D (X )

Убеждаемся, что

Учитывая, что закон распределения случайной величины X биномиальный имеем

Задача 7. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если её математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.

Решение. Ряд распределения имеет вид

или

Решая полученную систему, находим два решения:

и

Записываем выражение функции распределения:

или

Задача 8. Дана функция распределения случайной величины X :

а) Найти плотность вероятности f (x ); б) построить графики f (x ) и F (x ); в) убедиться в том, что X – непрерывеая случайная величина; г) найти вероятности P (X =1), P (X

Задача 10. Банк выдал ссуды n разным заёмщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r . Найти а) математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заёмщиком равна p ; б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при n =1000, p =0,8, S = 100 тыс. р. и r = 30%.

Решение. а) Поскольку заёмщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем n независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании равна q = = 1 – p. Пусть X – число заёмщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой

где X является случайной величиной с биномиальным законом распределения.

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

б) Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Математическое ожидание прибыли:

100 ∙ 1000(30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 млн. р.

Среднее квадратическое отклонение прибыли:

Задача 1 . В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения.

Задача 2. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.

Задача 3. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель равна 0,8, а вероятность того, что второй – 0,6. Случайная величина Х – число покупок, сделанных покупателями. Описать закон распределения случайной величины Х .

Задача 4. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

Задача 5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в интервале (–π/2; π/2) функцией
Вне этого интервала
Найти параметрС и определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; π/4).

Задача 6. Случайная величина Х задана плотностью вероятности
при – ∞

4)M (X ) = 2,519, σ(X ) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M x = =1ч., D x = 1/3 ч 2 ; 8)σ x = 48,8 г.

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предельные теоремы теории вероятностей.

Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

P (| X — a |> ε )≤
(1)

P (| X — a |≤ ε )≥ 1-

Теорема Чебышева : Если дисперсии n независимых случайных величин X 1 , X 2 . X n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайная величина сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.

Следствие: Если независимые случайные величины X 1 , X 2 . X n имеют одинаковые математические ожидания, равные a , а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то неравенство Чебышева и теорема Чебышева примут вид:

Теорема Бернулли : Относительная частота событий в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p , при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании:

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных величин : Если X 1 , X 2 . X n – независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания M [ X i ] =a , дисперсии D [ X i ]= a 2 и абсолютные центральные моменты третьего порядка M (| X i — a i | 3 )= m i , (
) , то закон распределения суммы Y n = X 1 + X 2 +. + X n при
неограниченно приближается к нормальному. В частности, если все случайные величиныX i одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при
.

Локальная теорема Муавра-Лапласа : Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P m , n того, что событие A произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n , приближенно равна

,

.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа : Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

–

функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

,
.

Цель занятия : 1. Добиться усвоения условий применения центральной предельной теоремы.

2. Закрепить навыки вычисления вероятностей, связанных с нормальным законом распределения.

3. Научить студентов распознавать проявление закона больших чисел.

К занятию по данной теме должны быть подготовлены ответы на следующие вопросы:

В чем сущность закона больших чисел?

Какое практическое и теоретическое значение имеет неравенство Чебышева?

Какое практическое значение имеет теорема Чебышева?

Объснить, пользуясь теоремой Бернулли, свойство устойчивости относительных частот.

В чем заключается сущность центральной предельной теоремы теории вероятностей?

Задача 1. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.

Решение. Дисперсия D (X )=σ 2 ≤200 2 . Так как границы интервала 0≤X≤2000 симметричны относительно математического ожидания М(Х)=1000 , то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева.

,

т.е. не менее, чем 0,96.

Задача 2. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).

,

т.е. не менее, чем на 0,929.

Задача 3. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более, чем на 5 часов (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 часов.

Находим вероятность искомого события

,

т.е. не менее, чем 0,9902.

Задача 4. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

Необходимо найти n , при котором

.

Применим неравенство Чебышева:

, откуда

и при
, т.е. потребуется не менее 500 измерений.

Задача 5. Поезда метро идут с интервалом 2 минуты. Каждый из пассажиров независимо от других приходит на платформу в случайный момент времени. В данный поезд село 75 пассажиров. Какова вероятность того, что их суммарное время ожидания будет заключено в границах от одного до двух с половиной часов?

Решение. Обозначим время ожидания i -го пассажира через X i . Естественно предполагать что равновозможен приход пассажира в любой момент времени между поездами. Формально это означает, что X i имеет равномерный закон распределения с функцией плотности вероятности

f (x ) =

Тогда
и

Суммарное время ожидания Y =∑ X i представляет собой сумму большего числа независимых одинаково распределённых случайных величин с ограниченными дисперсиями. В силу центральной предельной теоремы можно утверждать, что Y имеет закон распределения близкий к нормальному. Нормальный закон распределения определяется математическим ожиданием и дисперсией. Подсчитаем их.

N (75,25) . В задаче требуется вычислить

Задача 6. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,4 , в девятку — с вероятностью 0,3 , в восьмёрку — с вероятностью 0,2 , в семёрку — с вероятностью 0,1 . Какова вероятность того, что при 25 выстрелах стрелок из 250 очков выбьет от 220 до 240 очков?

Решение. Пусть при i -м выстреле стрелок набирает X i очков. Величины X i независимы и имеют одинаковое распределение

Сумма очков Y = будучи суммой большого числа независимых одинаково распределённых слагаемых с ограниченными дисперсиями, имеет закон распределения близкий к нормальному, параметры которого

N (225,25) и P (220 2 ). Какова вероятность того, что при одном измерении ошибка не превысит 1 мк? Для повышения точности измерения проделано 25 измерений, в качестве измеряемой величины взято среднее арифметическое наблюдаемых значений. Какова в этом случае вероятность того, что ошибка не превзойдет 1 мк? (Указание: воспользоваться фактом устойчивости нормального закона распределения.) Определить последнюю вероятность, если закон распределения ошибки измерения неизвестен, а известна лишь ее дисперсия равная 4 мк 2 .

Решение. Пусть Х – ошибка измерения. Тогда

Если закон распределения ошибки измерения неизвестен, то из неравенства Чебышева:

Р(|  0 | 1 , то справедливы обе теоремы Муавра – Лапласа.

а) По локальной теореме Муавра – Лапласа

б) Случайная величина Химеет смысл относительной частоты успехов вn опытах, причем D

Так как в опыте Пирсона было получено отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте, равное
то согласно интегральной теореме Муавра – Лапласа

Задача 1. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).

Задача 2. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).

Задача 3. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.

Задача 4. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

Задача 5. У страховой компании имеется 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?

Это интересно:

• Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные […]
• Математический портал Nav view search Navigation Вы здесь: Home Математический анализ Правило Лопиталя Правило Лопиталя. Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида $\frac$ или $\frac$). Пусть функции […]
• Правила акции "Открываем второй миллион!" >> Шаг 1. Получить промо-код Получить промо-код участника можно на сайте kia.ru или непосредственно в официальных дилерских центрах KIA: Для получения промо-кода на сайте kia.ru необходимо […]
• Запрос по морским судам Порядок присвоения названий морским судам УТВЕРЖДЕНО приказом Минтранса России от 20 августа 2009 № 141 ПОЛОЖЕНИЕ о порядке присвоения названий морским судам I. Общие положения 1. Положение о порядке […]

Составить закон распределения количества бракованных деталей, выпускаемых в течение смены на обоих станках, и вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

192. Вероятность того, что часы нуждаются в дополнительной регулировке, равна 0,2. Составить закон распределение количества часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, среди трех случайно отобранных. По полученному закону распределения найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Результат проверить по соответствующим формулам математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

193. Из имеющихся шести билетов лотереи, из которых четыре невыигрышных, наудачу вынимают по одному билету до тех пор, пока не встретится выигрышный билет. Составить закон распределения случайной величины X – числа вынутых билетов, если каждый вынутый билет обратно не возвращается. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

194. Студент может сдавать экзамен не более четырех раз. Составить закон распределения случайной величины X – числа попыток сдать экзамен, если вероятность его сдачи – 0,75 и в дальнейшем возрастает на 0,1 при каждой следующей попытке. Найти дисперсию этой случайной величины.

195. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

X	– 6					Y	– 3	– 1
P	0,3	0,45	0,25				0,75	0,25

Составить закон распределения случайной величины X–Y и проверить свойство дисперсии D(X –Y) = D(X) + D(Y).

196. Среди пяти однотипных часов, имеющихся в мастерской, только в одних смещен маятник. Мастер проверяет наудачу взятые часы. Просмотр заканчивается, как только обнаружатся часы со смещенным маятником (проверенные часы снова не просматриваются). Составить закон распределения числа просмотренных мастером часов и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

197. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

X						Y	– 2
P	0,1	0,3	?				0,4	0,6

Составить закон распределения случайной величины X 2 + 2Y и проверить свойство математического ожидания: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения x 1 = 1 и x 2 = 2, имеет математическое ожидание, равное 7/6. Найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои значения. Составить закон распределения случайной величины 2 X 2 и найти ее дисперсию.

199. Две независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

Найти P(X= 3) и P(Y= 4). Составить закон распределения случайной величины X – 2Y и проверить свойства математического ожидания и дисперсии: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

В задачах 201–210 заданы случайные величины, распределенные по нормальному закону

201. Случайная величина ξ распределена нормально. Найти Р(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. Случайная величина ξ распределена нормально. Найти Р(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. Случайная величина ξ распределена нормально. Найти Р(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. Для случайной величины ξ, распределенной по нормальному закону, найти Р(|ξ–а|<2σ).

206. Для случайной величины ξ, распределенной по нормальному закону, найти Р(|ξ–а|<4σ).

207. Независимые случайные величины ξ и η распределены нормально,

Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Записать плотность вероятностей и функцию распределения их суммы. Найти Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. Независимые случайные величины ξ, η, ζ распределены по нормальному закону и Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0.04; Мζ= 1; Dζ= 0.09. Записать для их суммы плотность вероятностей и функцию распределения. Найти Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. Независимые случайные величины ξ, η, ζ распределены нормально и Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0.64. Записать для их суммы плотность вероятностей и функцию распределения. Найти Р(ξ+η+ζ<0) и

Р(–3< ξ+η+ζ<0).

210. Станок автомат изготовляет валики, контролируя их диаметры ξ. Считая, что ξ распределена нормально и а= 10 мм,σ= 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

В задачах 211–220 выборка X объемом n =100 задана таблицей:

x i	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
n i			20+(a+b)	30–(a+b)

где результаты измерений x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – частоты, с которыми встречаются значения x i .

1) построить полигон относительных частот w i =n i /n;

2) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D B и среднее квадратическое отклонение σ B ;

3) вычислить теоретические частоты . Построить график на одном рисунке с полигоном;

4) с помощью критерия χ 2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;

215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.

В задачах 221–230 двумерная выборка результатов совместных измерений признаков X и Y объемом n = 100 задана корреляционной таблицей:

X Y	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	n xi
x 1			–	–	–
x 2				–	–
x 3	–	8+a	12+b	–	–	20+(a+b)
x 4	–	–	16–a	14–b	–	30–(a+b)
x 5	–	–			–
x 6	–	–
x 7	–	–	–
n yi		19+a	42+b–a	31–b		n = 100

где x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.

1) Найти и σ y . Значения и σ x взять из предыдущей задачи.

2) Вычислить коэффициент корреляции r B . Сделать вывод о характере связи между признаками X и Y.

3) Построить уравнение прямой линии регрессии Y на X в виде .

4) На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки (xi, yi) и построить прямую .

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

В задачах 231–240 найти максимальное значение функции

при условиях . Значения взять из таблицы

Параметры	Варианты
A 1
A 2
A 3
B 1
B 2
B 3
T 1
T 2
T 3
C 1
C 2

требуется:

1) решить задачу линейного программирования графическим методом;

2) решить задачу табличным симплексным методом;

3) показать соответствие опорных решений и вершин области допустимых решений;

В задачах 241–250 некоторый однородный груз, сосредоточенный у трёх поставщиков A i (), необходимо доставить пяти потребителям B j (). Запасы груза у поставщиков a i и потребности потребителей b j , а также стоимости перевозки единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю C ij заданы в таблице.

Поставщики	Потребители	Запасы
B 1	B 2	B 3	B 4	B 5
A 1	С 11	С 12	С 13	С 14	С 15	a 1
A 2	С 21	С 22	С 23	С 24	С 25	a 2
A 3	С 31	С 32	С 33	С 34	С 35	a 3
Потребности	b 1	b 2	b 3	b 4	b 5

Требуется определить оптимальный план перевозок, позволяющий вывезти все грузы от поставщиков и удовлетворяющий потребности всех потребителей таким образом, чтобы этот план имел минимальную стоимость. Первый опорный план найти методом «северо-западного» угла. Оптимальный план найти методом потенциалов. Вычислить стоимость перевозок для каждого плана.

Параметры	Варианты
a 1
a 2
a 3
b 1
b 2
b 3
b 4
b 5
С 11
С 12
С 13
С 14
С 15
С 21
С 22
С 23
С 24
С 25
С 31
С 32
С 33
С 34
С 35

В задачах 251-260 отрасли и осуществляют капитальные вложения в четыре объекта. С учетом особенностей вклада и местных условий прибыль отрасли в зависимости от объема финансирования выражается элементами платежной матрицы . Для упрощения задачи принять, что убыток отрасли равен прибыли отрасли . Найти оптимальные стратегии отраслей. Требуется:

1) свести исходные данные в таблицу и найти решение матричной игры в чистых стратегиях, если оно существует (в противном случае см. следующий п. 2);

2) упростить платежную матрицу;

3) составить пару взаимно двойственных задач, эквивалентную данной матричной игре;

4) найти оптимальное решение прямой задачи (для отрасли В) симплекс-методом;

5) используя соответствие переменных, выписать оптимальное решение двойственной задачи (для отрасли А);

6) дать геометрическую интерпретацию этого решения (для отрасли А);

7) используя соотношение между оптимальными решениями пары двойственных задач, оптимальными стратегиями и ценой игры, найти решение игры в смешанных стратегиях;

вариант 1 вариант 2 вариант 3

;

1. Аналитическая геометрия и векторная алгебра ……………….. 4

2. Системы линейных уравнений и комплексные числа ………….. 5

3. Построение графиков функций, вычисление пределов

и выявление точек разрыва функций.…………….……………. 6

4. Производные функций, наибольшее и наименьшее значения

на отрезке..…………………………………………………….… 9

5. Исследование функций и построение графиков,

функции многих переменных, метод наименьших квадратов..… 11

6. Неопределенный, определенный и несобственный интеграл ….. 12

7. Решение дифференциальных уравнений и систем

дифференциальных уравнений …………….……….…….….…… 14

8. Кратные и криволинейные интегралы …………………………… 15

9. Исследование числовых и степенных рядов, приближенные

решения дифференциальных уравнений ………………...……… 17

10. Теория вероятностей ……………….……………………...……… 18

Петр Алексеевич Буров

Анатолий Николаевич Муравьев

Сборник заданий

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07