Все основные тригонометрические формулы. Формулы тригонометрии
Основные тригонометрические тождества.
secα читают: «секанс альфа». Это число, обратное косинусу альфа.
соsecα читают: «косеканс альфа». Это число, обратное синусу альфа.
Примеры. Упростить выражение:
а) 1 – sin 2 α; б) cos 2 α – 1; в) (1 – cosα)(1+cosα); г) sin 2 αcosα – cosα; д) sin 2 α+1+cos 2 α;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
а) 1 – sin 2 α = cos 2 α по формуле 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α также применили формулу 1) ;
в) (1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Вначале мы применили формулу разности квадратов двух выражений: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а затем формулу 1) ;
г) sin 2 αcosα – cosα. Вынесем общий множитель за скобки.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Вы, конечно, уже заметили, что так как 1 – sin 2 α = cos 2 α, то sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Точно так же, если 1 – cos 2 α = sin 2 α, то cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
д ) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
е ) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Имеем: квадрат выражения sin 2 α плюс удвоенное произведение sin 2 α на cos 2 α и плюс квадрат второго выражения cos 2 α. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Далее применим формулу 1) . Получим: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Применили формулу 1) , а затем формулу 2) .
Запомните: tg α ∙ cos α = sin α.
Аналогично, используя формулу 3) можно получить: ctg α ∙ sin α = cos α. Запомнить!
з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Мы вначале вынесли общий множитель за скобки, а содержимое скобок упростили по формуле 7).
Преобразовать выражение:
Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.
Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.
Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла
Выражения тригонометрических функций друг через друга
(выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол?)
Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:
Формулы двойных, тройных и половинных углов.
Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.
Формулы преобразования тригонометрических выражений:
Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества .
Тригонометрическое тождество - это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.
Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:
Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.
Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.
Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
(ВС) 2 + (АС) 2 = (АВ) 2
Теперь разделим на (АВ) 2 обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:
(ВС) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sin 2 x + cos 2 x = 1
Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.
Для этого обе части второго тождества разделим на cos 2 x:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:
1 + tg 2 x = 1/cos 2 x
Теперь разделим второе тождество на sin 2 x:
sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x есть не что иное, как 1/tg 2 x, поэтому получаем четвертое тождество:
1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x
Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 180 0 . Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 180 0 – 90 0 – х = 90 0 – х.
Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = sin x
Теперь выполним следующее:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 – x) = cos x
Как видите – здесь все элементарно.
Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.
sin 2х =2sin х*cos х
cos 2х =cos 2 х -sin 2 х =1-2sin 2 х =2cos 2 х -1
tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3х =3sin х - 4sin 3 х
cos3х =4cos 3 х - 3cos х
tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)
Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций »).
Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции - то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус - и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:
Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат - четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).
Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.
Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:
Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:
Эти уравнения легко выводятся из основного тождества - достаточно разделить обе стороны на cos 2 α (для получения тангенса) или на sin 2 α (для котангенса).
Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.
Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π /2; π ), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).
Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти - все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.
Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π /2). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим: α ∈ (180°; 270°).
Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.
Задача. Найдите tg α , если известно следующее:
Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:
Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α . Известно, что α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из радианной меры в градусную - получим α ∈ (270°; 360°).
Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.
Задача. Найдите cos α , если известно следующее:
Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) - это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.
Задача. Найдите sin α , если известно следующее:
Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:
Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π /2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) - I координатная четверть.
Итак, угол находится в I координатной четверти - все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.
