§ 1 Метод подобия и его применение при решении задач на построение

Давайте познакомимся с методом подобия, который применяется при решении задач на построение треугольников, а также рассмотрим, как свойства подобных треугольников используются для проведения измерительных работ на местности.

Рассмотрим применение метода подобия при решении задач на построение. Данный метод состоит в том, что на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят уже сам искомый треугольник.

Задача: Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Даны два угла и отрезок - биссектриса при вершине третьего угла.

Требуется построить треугольник по данным элементам.

Построение:

Построим треугольник подобный искомому. Для этого сначала начертим произвольный отрезок А1В1, затем построим треугольник А1В1С с углами А1 и В1, равными данным углам. С помощью циркуля и линейки разделим угол С пополам, получим биссектрису и отложим на ней отрезок СD, равный данному отрезку. Через точку D проведем прямую, параллельную А1В1, эта прямая пересечет стороны угла С в точках А и В. Треугольник АВС - искомый.

В самом деле, по построению биссектриса СD треугольника АВС равна данному отрезку, а так как А1В1 параллельна АВ, то ∠А=∠А1, ∠В=∠В1 как соответственные углы при параллельных прямых А1В1 и АВ и секущих АС и ВС. Значит, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. Таким образом, треугольник АВС удовлетворяет всем требованиям задачи.

Эта задача имеет единственное решение, и оно возможно, если сумма двух данных углов меньше 180°.

Подобием пользуются архитекторы, конструкторы, геодезисты, художники и многие другие специалисты. Перед тем как строить дом, завод или другое сооружение, сначала создают его план - уменьшенное изображение будущего строения. Увеличивая фотоснимки, тоже получают подобные изображения.

§ 2 Определение высоты предмета

С помощью подобия треугольников можно измерять высоты деревьев, вышек, заводских труб и т.д.

Предположим, что нам нужно определить высоту дерева.

Обозначим высоту дерева СD. На некотором расстоянии от дерева поставим шест АВ с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку дерева в точку С. Далее отметим на земле точку М, в которой прямая АС пересекается с ВD. По рисунку видим, получаются два подобных треугольника МВА и МDС (угол М - общий, шест и дерево перпендикулярны к поверхности земли), треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум углам. Так как треугольники подобны, то стороны пропорциональны, т.е.

Длину шеста АВ, а также расстояния МВ и МD мы всегда можем измерить.

Например: МВ = 3 м, МD = 6,3 м; АВ = 1,5 м, тогда

Также для определения высоты дерева можно использовать зеркало.

Луч света FD, отражается от зеркала в точке D и попадает в глаз человека в точку В, получается подобие треугольников.

Таким способом Фалес еще в 6 веке до н.э. измерил высоту египетской пирамиды, удивив тогдашних мудрецов.

§ 3 Определение расстояния до недоступной точки

Свойства подобных треугольников применяются и в задачах, где нужно определить расстояние до недоступной точки.

Предположим, мы сидим на одном берегу реки, т.е. в точке А, а на другом берегу другой человек - это точка В, и нам нужно определить расстояние до него - АВ.

Для этого выбираем на местности точку С, измеряем расстояние АС. Затем, используя астролябию - прибор, с помощью которого измеряются углы на местности, измеряем углы А и С. Далее на листе бумаги строим произвольный треугольник А1В1С1, у которого ∠А=∠А1, ∠C=∠C1 . Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, значит,

Таким образом, по известным нам расстояниям мы можем теперь найти неизвестную величину- расстояние до недоступной точки.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с. : ил.
2. Н.Ф.Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва, «Вако», 2005.
3. Л.С.Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва, «Просвещение», 2001.
4. Д.А.Мальцева. Математика. 9 класс ГИА 2014. – Москва, Народное образование, 2013.
5. О.В.Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов, «Лицей», 2009.
6. С.П.Бабенко, И.С.Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва, «Аркти», 2014.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Практические приложения подобия треугольников

Проверка теста № задания Вариант №1 Вариант №2 № 1 1 2 № 2 3 4 № 3 3 2 № 4 1 4 № 5 2 1

«5» – 5 заданий «4» – 4 задания «3» – 3 задания «2» – менее 3 заданий

Жители Древнего Египта задались вопросом: «Как найти высоту одной из громадных пирамид?» Фалес нашёл решение этой задачи. Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды.»

Свойства подобия издавна широко использовались на практике при составлении планов, карт, при выполнении архитектурных чертежей и чертежей различных деталей машин и механизмов.

Найдите высоту здания (в метрах), длина солнечной тени которого равна 27 м, а солнечная тень человека ростом 1 м 60 см равна 2 м 40 см.

Найдите ширину реки (СВ), если, выполнив некоторые измерения на одном берегу реки (АВ=5 м, AD =12 м, АМ=3 м), можно построить два подобных треугольника ACD и АВМ.

Дерево высотой 8,8 м отбрасывает тень. Оно полностью заслоняет от солнца дерево высотой 4 м, находящееся от него на расстоянии 6 м, как показано на рисунке. Определите, на какое расстояние отбрасывает тень большее дерево. Ответ дайте в метрах.

Н – 20 Е – 18 Р – 15 В – 11 11 18 15 20

11 18 15 20 В Е Р Н

По способу Жюля Верна (1828-1905)

Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия Ле Корбюзье

ОЦЕНИ СВОЮ РАБОТУ НА УРОКЕ «+» - справился с заданием «+-» - были затруднения «-» - не справился с заданием

Луч света, исходящий из источника света, расположенного на вертикальной мачте высотой 12 м, отразившись от зеркальной горизонтальной поверхности, попал в приемник, расположенный на другой вертикальной мачте высотой 6м. Угол падения луча света равен углу его отражения, как указано на рисунке. Расстояние между основаниями мачт равно 15 м. Найдите расстояние между основанием мачты источника света и точкой отражения.

Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 24 см, а длина – 70 см. Расстояние между точками А и В составляет 29,6 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

В этом материале представлен подробный конспект урока по геометрии в 8 классе по теме "Подобие треугольников. Решение практических задач". Урок был составлен с учётом ФГОС....

2.

Теорема о средней линии.

Валенок папин и ваш;….

(продолжите).

В жизни мы говорим похожие предметы, а в геометрии - подобные. Значит, нашу теорию можно применить к этим предметам. Давайте рассмотрим теорию подобия треугольников в окружающем нас мире.

Сформулируем тему урока.

Работа в парах:

К

А Верно ли, что: ?ABC ∞ ?A1B1C1, если ∠A = 46° ∠B = 64° ∠A1 = 46° ∠C1 = 70°

Л Верно ли, что: ?ABC ∞ ?A1B1C1, если AB=13м A1B1=58м P?ABC =25м, то P?A1B1C1 =100м

Ь Верно ли, что: ?ABC ∞ ?A1B1C1, если AB=15м A1B1=45м S?A1B1C1 =27 м2, то S?ABC =100м2

К

Л

Ф

А Верно ли,что если, то

Проверка: Какое слово у вас получилось? - «Альфа».

* Маленькая справка:

• В нашей солнечной системе 1 звезда - это солнце.
• Звёзды - в созвездии, самая яркая звезда в созвездии называется «Альфа».
• Звёзды - недосягаемые до нас объекты, но их изучают, находят расстояние до них.

А как это сделать?

Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта B. Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы ∠A и ∠С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник?A1B1C1 , у которого ∠A1=∠A, ∠C1=∠C, и измеряем длины сторон A1B1 и A1C1 этого треугольника.

Так как?ABC ∞ ?A1B1C1 , то = , откуда. По известным расстояниям AC, A1C1 и A1B1 находим расстояние AB.

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник?A1B1C1 так, чтобы A1C1: AC = 1:1000. Например, если AC = 130м, то расстояние A1C1 возьмем равным 130мм. В этом случае = 1000 , поэтому, измерив расстояние A1B1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние AB в метрах.

Пример. Пусть AC = 130м, ∠A = 73° и ∠С = 58°. На бумаге строим треугольник?A1B1C1 так, чтобы ∠A1 = 73° и ∠С1 = 58°, A1C1 = 130мм, и измеряем отрезок A1B1 . Он равен 153мм, поэтому искомое расстояние равно 153м.

4.

Жрец надменно продолжал:

CAB ∞ ?BDE (по 2-ум углам)

• C = ∠B (по условию)
• B = ∠E = 90°

Ответ: 146 м.

AB=2,1 м AE=6,3 м CB=1,7 м

1. Треугольники подобны по 2-ум углам.

ABC ∞ ?AED (по 2-ум углам)

• A - общий
• B = ∠E = 90°

Ответ: 5,1 м.

Па пример:

Ох! Устал

Еле еле успевая за учителем

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии по теме «Практические приложения подобия треугольников». »

Муниципальное образовательное учреждение

«Морская кадетская школа им. адмирала Котова П. Г.»

Урок по геометрии (8 кл.)

Тема: «Практические приложения подобия треугольников».

Скирмант Наталья Рудольфовна

учитель математики высшей

Рабочий адрес:

164520, Архангельская обл.,

г. Северодвинск, ул. Комсомольская, д.7,

рабочий телефон 55-20-86

Северодвинск

Цели и задачи урока:

показать применение подобия треугольников при проведении измерительных работ на местности;

показать взаимосвязь теории с практикой;

познакомить учащихся с различными способами определения высоты предмета и расстояния до недоступного объекта;

формировать умения применять полученные знания при решении разнообразных задач данного вида.

Развивающие

повышать интерес учащихся к изучению геометрии;

активизировать познавательную деятельность учащихся;

формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные

мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.

Ход урока:

1.Проверка домашнего задания.

2.Тест «Верно ли ….» (работа в парах) - повторение теории.

3.Задача №1.Определение расстояния до недоступной точки (оформление в тетрадях конспекта вместе с учителем).

4.Задача №2.Определение высоты предмета:

а). по длине его тени (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 1 вариант).

б). по шесту (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 2 вариант).

в). с помощью зеркала (предложить разобрать задачу №581).

5.Итоги урока, домашнее задание №581,583.

1. Проверка домашнего задания. Объяснение готового решения №550(1).

Дано: рисунок.

Треугольники подобны по 2-ум углам.

∆BAD ∞ ∆KCB (по 2-ум углам)

∠B = ∠K (по условию)

∠A = ∠C = 90°

2. Учитель: «Ребята, мы с вами изучили всю теорию подобия треугольников».

Рассмотрели применение подобия при доказательстве теорем.

Какие теоремы нами были доказаны?

Теорема о средней линии.

Свойство медиан треугольника.

В повседневной жизни нас окружают предметы одинаковой формы.

Пример: - мяч теннисный и футбольный;

Валенок папин и ваш;….

(продолжите).

В жизни мы говорим похожие предметы, а в геометрии – подобные. Значит, нашу теорию можно применить к этим предметам. Давайте рассмотрим теорию подобия треугольников в окружающем нас мире.

Сформулируем тему урока.

Ученики: «Практические приложения подобия треугольников».

Учитель: «Для того, чтобы применять теорию мы её должны хорошо знать. Повторим:

Работа в парах:

Верно ли данное высказывание. Если верно, букву перед высказыванием оставить, в противном случае зачеркнуть.

Тест «Верно ли ….» (работа в парах) - повторение теории.

К Верно ли, что: в подобных треугольниках сходственные стороны равны.

А Верно ли, что: ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , если ∠A = 46° ∠B = 64° ∠A1 = 46° ∠C1 = 70°

Л Верно ли, что: ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , если AB=13м A1B1=58м P ∆ ABC =25м, то P ∆ A 1 B 1 C 1 =100м

Ь Верно ли, что: ∆ABC ∞ ∆A1B1C1, если AB=15м A1B1=45м S ∆ A 1 B 1 C 1 =27 м 2 , то S ∆ ABC =100м 2

К Верно ли, что: в подобных треугольниках соответственные углы пропорциональны

Л Верно ли, (краткая формулировка признака подобия треугольников) «Треугольники подобны по трем углам»

Ф Верно ли, (краткая формулировка признака подобия треугольников) «Треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними»

А Верно ли,что если, то

Проверка: Какое слово у вас получилось? – «Альфа».

* Маленькая справка:

• В нашей солнечной системе 1 звезда – это солнце.

  Все остальные звёзды находятся за пределами нашей Солнечной системы.

  Звёзды – в созвездии, самая яркая звезда в созвездии называется «Альфа».

  Звёзды – недосягаемые до нас объекты, но их изучают, находят расстояние до них.

А как это сделать?

3.Задача №1.Определение расстояния до недоступной точки (оформление в тетрадях конспекта вместе с учителем).

Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта B. Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы ∠A и ∠С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник ∆A 1 B 1 C 1 , у которого ∠A 1 =∠A, ∠C 1 =∠C, и измеряем длины сторон A 1 B 1 и A 1 C 1 этого треугольника.

Так как ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , то = , откуда. По известным расстояниям AC, A 1 C 1 и A 1 B 1 находим расстояние AB.

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A 1 C 1: AC = 1:1000. Например, если AC = 130м, то расстояние A 1 C 1 возьмем равным 130мм. В этом случае = 1000 , поэтому, измерив расстояние A 1 B 1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние AB в метрах.

Пример. Пусть AC = 130м, ∠A = 73° и ∠С = 58°. На бумаге строим треугольник ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы ∠A 1 = 73° и ∠С 1 = 58°, A 1 C 1 = 130мм, и измеряем отрезок A 1 B 1 . Он равен 153мм, поэтому искомое расстояние равно 153м.

4. Учитель: Вернёмся к делам земным. Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени.

Как это было, рассказывается в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия». Фалес,- говорит предание,- избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлёк пользу из своей тени. Послушаем притчу. (рассказывает один из учащихся).

"Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона и что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

Кто ты? - спросил верховный жрец.

Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота.

Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта.

Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство".

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Он измерил тень от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношения высот реальных предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды.

Задача №2.Определение высоты предмета:

а). по длине его тени (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 1 вариант).

CB=8,4 м BE=1022 м AB=1,2 м ∠C = ∠B

Треугольники подобны по 2-ум углам.

∆CAB ∞ ∆BDE (по 2-ум углам)

∠C = ∠B (по условию)

∠B = ∠E = 90°

Ответ: 146 м.

б). по шесту (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 2 вариант).

AB=2,1 м AE=6,3 м CB=1,7 м

Треугольники подобны по 2-ум углам.

∆ABC ∞ ∆AED (по 2-ум углам)

∠A - общий

∠B = ∠E = 90°

Ответ: 5,1 м.

в). с помощью зеркала (предложить разобрать задачу №581 (Д/з)).

Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке. Луч света FD , отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку B). Определите высоту дерева, если AC=165 см, BC=12 см, AD=120 см, DE=4,8 м, ∠1 = ∠2.

5. Учитель: Подведём итоги урока:

Сегодня на уроке мы познакомились с различными способами измерения высоты предмета; расстояние до недоступной точки; применяли теорию подобия.

Сформулируйте предложением, словосочетанием свое отношение к уроку, начав его с буквы, входящей в слово «подобие»

Па пример:

Ох! Устал

Еле еле успевая за учителем