Пример 1. «Студент -- Преподаватель».

Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у Студента две стратегии - подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (-). У Преподавателя также две стратегии - поставить зачет [+] и не поставить зачета [-].

В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:

Количественно это можно выразить, например, так

Пример 2. Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А - может выбрать любую из стратегий А1, …, Аm;

игрок В - любую из стратегий В1, …, Вn;

Если игрок А выбрал стратегию Аi, игрок В - Вj, то в итоге выигрыш игрока А составит аij, игрока В - bij. Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц.

Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм - биматричным.

Смешанные стратегии в биматричных играх

В приведенных примерах описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась. Иными словами, что нужно понимать под решением биматричной игры?

Можно ответить на это вопрос так:

вследствие того, что интересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компромиссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.

Не пытаясь сразу выражать эту мысль совсем точно, скажем - нужно поробовать найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.

Подобный вопрос здесь ставили и при рассмотрении матричных игр. Возникающее при разработке минимаксного подхода понятие равновесной ситуации приводило к поиску седловой точки, которая, существует не всегда - конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков А и В, т.е. стратегиями

Однако при расширении матричной игры путем перехода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии с определенными частотами:

игрок А - стратегии A1,..., Ат с частотами р1,..., рт, где

а игрок В - стратегии В1,...., Вn, с частотами q1,..., qn, где

выяснилось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация всегда существует. Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.

Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попробовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков (этим мы предполагаем, что каждая игра может быть многократно повторена в неизменных обстоятельствах).

В матричном случае смешивание стратегий приводило к расширению возможности выплат в том смысле, что расчет строился из вычисления средних выигрышей игроков А и В, которые определялись по элементам платежной матрицы А и вероятностям и:

При смешанных стратегиях в биматричных играх также возникают средние выигрыши игроков А и В, определяемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока В:

2x2 биматричные игры. Ситуация равновесия

Здесь необходимо уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому кажется уместным выписать приведенные выше формулы именно для такого случая.

В 2 2 биматричной игре платежные матрицы игроков имеют следующий вид

вероятности

биматричная игра решение

а средние выигрыши вычисляются по формулам

определяет равновесную ситуацию, если для любых р и q, подчиненных условиям

решение стратегия биматричная игра равновесие

одновременно выполнены следующие неравенства

Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (р*, q*), является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока может только уменьшиться. Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Теорема 1 (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если некоторая пара чисел (р*, q*) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий, или, наоборот, доказать их необоснованность, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q в пределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.

Теорема 2. Выполнение неравенств

Московский городской университет управления правительства Москвы

Факультет управления

Кафедра прикладной математики

Реферат

по учебной дисциплине

"Математические методы исследования систем управления"

На тему: "Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций"

1. Биматричные игры

Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости.

Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта – игроки, действие игрока – ход, совокупность ходов – стратегия, результат игры – выигрыш.

Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.

К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.

Игры с фиксированной суммы – игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А 1 , …, А m ;

игрок В – любую из стратегий В 1 , …, В n ;

Если игрок А выбрал стратегию А i , игрок В – В j , то в итоге выигрыш игрока А составит а ij , игрока В – b ij . Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц.

Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм – биматричным.

2. Состояние равновесия в биматричных матрицах

Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов – желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна.

Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый – поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй – поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Остановим своё внимание на первом подходе.

В данном подходе используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями.

Пусть игрок А выбирает стратегию А 1 , с вероятностью р 1 , А 2 – р 2 , …, А m – p m , причём

Игрок В использует стратегию В 1 с вероятностью q 1 , B 2 – q 2 , …, B n – q n , причём

В качестве критерия "удачности" игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам:

Таким образом, можно сформулировать основное определение:

Распределение вероятностей Р * (

) и Q () определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:

Если равновесная ситуация существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку.

Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях.

3. Общий принцип решения биматричных игр

В первое неравенство системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что А придерживается своей оптимальной стратегии.

Полученная система m+n неравенств, решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*,Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия.

Пример: борьба за рынок.

Решение задачи

v A =-10×1q 1 +2×1*(1-q 1)+(1-p 1)q 1 -(1-p 1)(1-q 1)=-14×1q 1 +3×1+2q 1 -1

v B =5×1q 1 -2×1*(1-q 1)-(1-p 1)q 1 +(1-p 1)(1-q 1)=9×1q 1 -3×1-2q 1 +1

p 1 =1 тогда v A =2-12q 1

-14×1q 1 +3×1+2q 1 -1

p 1 =0 тогда v A =-1+2q 1

-14×1q 1 +3×1+2q 1 -1

q 1 =1тогда v B =-1+6×1

9×1q 1 -3×1-2q 1 +1

q 1 =0 тогда v B =1–3×1

9×1q 1 -3×1-2q 1 +1

Cоставляем 4 системы, преобразовываем, получаем.

В играх с ненулевой суммой в выигрыше или проигрыше могут оказаться все участники игры. Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. В этом случае для каждой игровой ситуации A i B j каждый из игроков имеет свой выигрыш a ij для первого игрока и b ij – для второго игрока. К биматричной игре сводится, например, поведение производителей на рынках несовершенной конкуренции. С помощью онлайн-калькулятора можно найти решение биматричной игры , а также ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу .

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

• игрок А – может выбрать любую из стратегий А 1 ,…,А m ,
• игрок В – любую из стратегий В 1 ,…,В n .

При этом их совместный выбор оценивается вполне определённо: если игрок А выбрал i-ю стратегию А i , а игрок В – k -ю стратегию В k , то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу a ik , а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу b ik .
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы.

Первая из таблиц описывает выигрыш игрока А, а вторая – выигрыш игрока В. Обычно эти таблицы записывают в виде матрицы.
Здесь А – платёжная матрица игрока А, В – платёжная матрица игрока В.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны) получаются две платёжные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная .

Равновесие Нэша – равновесие, когда каждый участник игры выбирает стратегию, которая является для него оптимальной при условии, что остальные участники игры придерживаются определенной стратегии.
Равновесие Нэша не всегда является наиболее оптимальным для участников. В этом случае говорят, что равновесие не является Парето-оптимальным .
Чистая стратегия – определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.
Смешанная стратегия – вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.

Пример №1 . Борьба за рынки сбыта.
Фирма а намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых более крупной фирмой b . С этой целью она проводит подготовительную работу, связанную с определенными затратами. Если фирма b разгадает, на каком из рынков фирма а будет продавать свой товар, она примет контрмеры и воспрепятствует "захвату" рынка (этот вариант означает поражение фирмы а); если нет, то фирма а одерживает победу. Предположим, что для фирмы а проникновение на первый рынок более выгодно, чем проникновение на второй, но и борьба на первом рынке требует от нее больших средств. Например, победа фирмы а на первом рынке приносит ей вдвое большую прибыль, чем победа на втором, но зато поражение на первом рынке полностью ее разоряет.
Составим математическую модель этого конфликта, считая фирму а игроком 1 и фирму b игроком 2. Стратегии игрока 1: А 1 – проникновение на рынок 1, А 2 – проникновение на рынок 2; стратегии игрока 2: В 1 – контрмеры на рынке 1, В 2 – контрмеры на рынке 2. Пусть для фирмы а ее победа на 1-м рынке оценивается в 2 единицы, а победа на 2-м рынке – в 1 единицу; поражение фирмы а на 1-м рынке оценивается в -10, а на 2-м в -1. Для фирмы b ее победа составляет соответственно 5 и 1 единицу, а поражение -2 и -1. Получаем в итоге биматричную игру Г с матрицами выигрышей
.
По теореме эта игра может иметь либо чистые, либо вполне смешанные ситуации равновесия. Ситуаций равновесия в чистых стратегиях здесь нет. Убедимся теперь, что данная игра имеет вполне смешанную ситуацию равновесия. Находим , .
Итак, рассматриваемая игра имеет единственную ситуацию равновесия (x 0 ;y 0), где , . Она может быть реализована при многократном повторении игры (то есть при многократном воспроизведении описанной ситуации) следующим образом: фирма а должна использовать чистые стратегии 1 и 2 с частотами 2/9 и 7/9, а фирма b – чистые стратегии 1 и 2 с частотами 3/14 и 11/14. Любая из фирм, отклонившись от указанной смешанной стратегии, уменьшает свой ожидаемый выигрыш.

Пример №2 . Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу для биматричной игры.

Пример №3 . Имеются 2 фирмы: первая может произвести одно из двух изделий А 1 и А 2 , вторая – одно из двух изделий B 1 , B 2 . Если первая фирма произведет продукцию A i (i = 1, 2), а вторая - B j (j = 1, 2), то прибыль этих фирм (зависящая от того, являются ли эти изделия взаимодополняющими или конкурирующими), определяется таблицей №1:

	В 1	В 2
А 1	(5, 6)	(3, 2)
А 2	(2, 1)	(5, 3)

Считая, что фирмы заключают между собой соглашение, определить справедливое распределение прибыли, используя арбитражное решение Нэша.

1. Как системно описывается задача принятия решения в условиях неопределенности?

2. Что такое управляющая подсистема, что такое среда?

3. Какими факторами определяется состояние системы?

4. Сформулируйте математическую модель задачи принятия решения в условиях неопределенности. Что такое функция полезности (выигрыша)? Что такое условие неопределенности?

5.Как задают функцию выигрыша при условии конечности множеств стратегий и состояний?

6.Какова основная цель задачи принятия решения?

7.Как в теории игр называют задачу принятия решения в условиях неопределенности?

8.Что понимают под оптимальной стратегией игрока? 9.Как задают игру в случае, если множества X иY конечны? 10.Какие имеются способы сравнения двух стратегий? 11.Что такое принцип доминирования?

12.Каков основной метод, позволяющий найти оптимальную стратегию

в ЗПР в условиях неопределенности? Какая стратегия считается оптимальной?

13.Что такое критерий для сравнения стратегий?

14.Каковы важнейшие критерии, используемые для задач принятия решений в условиях неопределенности? На каких гипотезах они основаны?

2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА

1.Как задается вероятностная мера на множестве состояний природы, если множество конечно?

2.Что такое априорное распределение вероятностей на множестве состояний природы.

3.В каких случаях говорят, что принятие решения происходит в условиях риска?

4.Как определяется критерий математического ожидания?

5.Что такое байесовская стратегия, байесовский подход?

3. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1. Как называется задача принятия решения, в которых на систему воздействует не одна, а несколько управляющих подсистем, каждая из которых имеет свои цели и возможности действий?

2. Математическая модель какого конфликта называется антагонистической игрой?

3. Чем определяется состояние такой системы? Антагонистическую игру естественно задать системой Г= (Х, Y, F ).

4. Какая игра называется антагонистической и какими объектами ее

5. В чем содержательное различие между управляющей подсистемой и средой?

6. Как называется антагонистическая игра, если Х иY конечны?

7. Как определяются нижняя цена игры и верхняя цена игры? Как определяется цена игры?

8. Каково соотношение между максимином и минимаксом?

9. Что такое седловая точка? К чему приводит одностороннее отступление игрока от седловой точки?

10. Чему равно значение функции выигрыша в седловой точке?

11.Сформулируйте теорему о взаимозаменяемости и эквивалентности cедловых точек.

12. Сформируйте достаточное условие существования седловой точки.

13. При каких условиях в выпуклой игре у игрока есть единственная оптимальная стратегия?

4. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

1. По какому алгоритму происходит поиск седловой точки в матричной

2. Всегда ли в матричной игре есть седловые точки?

3. Каким образом можно выбирать свои стратегии случайно?

4. Что такое чистая стратегия игрока?

5. Что такое смешанная стратегия игрока в в матричной игре и как она задается?

6. Что собой представляют содержательно компоненты смешанной стратегии?

7. Как определяется функция выигрыша игрока на смешанных стратегиях?

8. Как задается матричная игра со смешанными стратегиями? Какими свойствами обладают стратегии?

9. Сформулируйте основную теорему теории матричных игр.

10. Приведите критерии оптимальности стратегий игроков.

11. Какова структура множества оптимальных стратегий каждого

12. Сформулируйте теорему о достижимости максимумов и минимумов функций выигрыша на чистых стратегиях.

13. Какие чистые стратегии входят в качестве компонент седловой точки с положительной вероятностью?

14. Что такое выпуклая комбинация векторов?

15. В каком случае говорят, что один вектор доминирует(строго доминирует) другой?

16. Сформулируйте теорему о доминировании.

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

1.Как находят смешанные оптимальные стратегии для игры 2*2? Как находят для такой игры цену игры?

2. Как находят графическим методом оптимальные стратегии игроков в игре 2*m? На какой теореме основана эта методика?

3.Как можно использовать графический метод для игр m*2?

4.Опишите графический метод для игр 3*3?

5.Опишите метод Брауна-Робинсон.

6.Является ли метод Брауна-Робинсон аналитическим, или же итеративным?

7.На что опирается игрок при выборе своей стратегии на каждом шаге по методу Брауна-Робинсон?

8.Имеются ли при использовании метода Брауна-Робинсон ограничения по размерности матриц?

9.Что делает игрок, если стратегий, удовлетворяющих условию выбора, несколько?

10.Как игроками выбираются начальные стратегии?

11. К чему, согласно методу Брауна-Робинсон, стремятся воображаемые платежиυ 1 (k ) и υ 2 (k ) ?

6. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

1. В каком случае возникает биматричная игра, чем она задается?

2. Как можно задать функции выигрыша игроков?

3. Как определяются смешанные стратегии игроков и функции выигрыша игроков?

4. Как определяется ситуация равновесия в биматричной игре?

5. В чем содержательный смысл ситуации равновесия?

6. В каком смысле седловая точка является частным случаем ситуации равновесия?

7. Какая пара стратегий игроков называется оптимальной по Парето?

8. Что означает содержательно оптимальность по Парето?

9. В чем формальное различие между ситуацией равновесия и ситуацией, оптимальной по Парето?

10.Как связаны ситуация равновесия и Парето-оптимальная стратегия в матричных играх?

11. Всегда ли в биматричной игре есть ситуация равновесия?

12.Сформулируйте теорему Брауэра.

13.Всегда ли в биматричной игре есть чистая ситуация равновесия? 14.Являются ли разными ситуации равновесия эквивалентными по

значениям функций выигрыша.

15.Что понимается под возможной в игре неустойчивостью ситуации равновесия?

16. Опишите алгоритм поиска ситуации равновесия в биматричных играх размерности 2×2. Что такое вполне смешанные стратегии?

17.Что такое совместная смешанная стратегия? Как могут быть реализованы на практике такие стратегии?

18.Как определяются выигрыши игроков при совместной смешанной стратегии?

19. Как задается в биматричной игре совместная смешанная стратегия?

20. Как определяется в биматричной игре ситуация равновесия в совместных смешанных стратегиях?

21. Какова структура множества ситуаций равновесия в совместных смешанных стратегиях биматричной игры размерности n×m ?

22. Какова связь между ситуациями равновесия в смешанных и в совместных смешанных стратегиях?

Биматричные игры

Абсолютно любая управленческая деятельность не может существовать без конфликтных ситуаций. Это ситуации, где сталкиваются двое или больше сторон с разными интересами. Совершенно естественно, что каждая из сторон хочет решить конфликт в свою пользу и получить максимальную выгоду. Решение такой задачи может быть осложнено тем, что конфликтующая сторона не имеет полной информации о конфликте в целом. Иначе можно сказать, что в конфликтной ситуации необходимо принять оптимальное решение в условиях неопределённости.

Для решения такого рода задач используется математическое моделирование. Введём несколько основных понятий. Математическая модель конфликтной игрой называется игрой. Стороны конфликта - игроки, действие игрока - ход, совокупность ходов - стратегия, результат игры - выигрыш.

Обязательным моментом перед решением задачи является выявление определённых правил. Как правило, эти правила представляют собой совокупность требований и ограничений на действия игроков, обмен информацией игроков о действиях противников, функций выигрышей противников и т.п. Правила должны быть чёткими, иначе игра не состоится.

К настоящему времени существует несколько способов классификации игр. Основным является деление на бескоалиционные конечные парные игры с выигрышами (матричные, позиционные, биматричные) и коалиционные. В данном реферате мы рассмотрим биматричные игры.

Игры с фиксированной суммы - игры, в которых интересы игроков хоть и не совпадают, но не являются полностью противоположными. Частным случаем являются биматричные игры.

Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец - стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице - выигрыш игрока 2.)

Рассмотрим парную игру, в которой каждый из участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А - может выбрать любую из стратегий А 1 , …, А m ;

игрок В - любую из стратегий В 1 , …, В n ;

Если игрок А выбрал стратегию А i , игрок В - В j , то в итоге выигрыш игрока А составит а ij , игрока В - b ij . Выигрыши игроков А и В можно записать в виде двух таблиц.

Таким образом, если интересы игроков различны, но не обязательно противоположны, для описания игры используются две платёжные матрицы. Данный факт и дал название подобным играм - биматричным.

Состояние равновесия в биматричных матрицах

Решением биматричной игры есть такое решение, которое в том или ином смысле устраивает обоих игроков. Данная формулировка очень расплывчата, что обуславливается тем, что в биматричных играх довольно трудно чётко сформулировать цели для игроков. Как один из возможных вариантов - желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна.

Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый - поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй - поиск ситуаций, оптимальных по Парето: нахождение условий, при которых игроки совместными усилиями не могут увеличить выигрыш одного игрока, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Остановим своё внимание на первом подходе.

В данном подходе используются смешанные стратегии, т.е. случай, когда игроки чередуют свои чистые стратегии с определёнными вероятностями.

Пусть игрок А выбирает стратегию А 1 , с вероятностью р 1 , А 2 - р 2 , …, А m - p m , причём

Игрок В использует стратегию В 1 с вероятностью q 1 , B 2 - q 2 , …, B n - q n , причём

В качестве критерия "удачности" игры возьмём математические ожидания выигрыша игроков, которые вычисляются по формулам:

Таким образом, можно сформулировать основное определение:

Распределение вероятностей Р * () и Q () определяют равновесную ситуацию, если для любых других распределений P и Q одновременно выполнены следующие неравенства:

Если равновесная ситуация существует, то отклонение от неё невыгодно самому игроку.

Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях.