О своем изобретении нового признака делимости на 7, удобного для использования в школе, рассказывает ТРИЗ-педагог Сергей Владимирович Ефремов.

Работая в школе с подготовишками, зашёл в кабинет шестого класса и увидел на стене плакат «Признаки делимости чисел». Там были признаки делимости для чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, а для числа 7 такого признака не было. Я спросил у учителя математики:

— Почему нет признака делимости на семь?

Мне ответили, что он есть, но очень сложный. Навел справки в Интернете. Нашёл три признака.

Признак 1 : число делится на тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15*3+4=49.

Другой пример - число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14.

Признак 2 . число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится |138-689+257|=294.

Признак 3 . Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Проверим делимость числа 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть). В этом числе 8 657 (восемь тысяч шестьсот пятьдесят семь) десятков и 6 (шесть) единиц. Приступаем к проверке делимости этого числа на 7 (семь):

8657 — 6 х 2 = 8657 — 12 = 8645

Снова проверяем делимость на 7 (семь), теперь уже полученного нами числа 8 645 (восемь тысяч шестьсот сорок пять). Теперь у нас 864 (восемь шестьдесят четыре) десятка и 5 (пять) единиц:

864 — 5 х 2 = 864 — 10 = 854

Опять повторяем наши действия для числа 854 (восемьсот пятьдесят четыре), в котором 85 (восемьдесят пять) десятков и 4 (четыре) единицы:

85 — 4 х 2 = 85 — 8 = 77

В принципе, уже невооруженным глазом видно, что число 77 (семьдесят семь) делится на 7 (семь) и в результате получается 11 (одиннадцать). Подобный результат мы уже рассматривали выше.

Как видите, признаки действительно сложные. Пользоваться ими в уме трудно из-за большого количества операций. Наиболее простой – третий признак, но тоже два действия, сначала умножение, а потом вычитание, а для чисел за 700 уже надо делать несколько циклов.

Поставил задачу:

«Найти признак деления на 7 с меньшим количеством математических действий».

Применил инструмент ТРИЗ – ИКР (идеальный конечный результат).

Само число должно давать ресурс для вычисления.

И этот ресурс нашёлся. Если посмотреть таблицу умножения на 7, то его произведения имеют отличительное свойство – конечная цифра не повторяется: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. На первый взгляд, это усложняет задачу, т.к. проверяемое число с любым окончанием может делиться на 7. Но ведь по правилу ТРИЗ: «Кто мешает, тот и помогает». Надо использовать это свойство на пользу.

Смотря на последнюю цифру в проверяемом числе, мы уже знаем один признак ответа – это число из таблицы умножения, дающее этот кончик. Например, если проверяемое число 154, то если оно делится на 7, последняя цифра в ответе должна быть 2 (7х2=14), а если число 259, то последняя цифра ответа должна быть 7 (7х7=49).

Вот он нужный ресурс – это таблица умножения на 7 – 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

Предполагаем, что он у нас есть в памяти. Теперь используем действие из третьего (самого простого) признака – вычитание. Получаем новый признак делимости на 7.

Число делится на 7, когда результат вычитания первой цифры известного произведения из этого числа без последней цифры делится на 7.

А теперь простыми словами.

— Смотрим на проверяемое число, например, уже известное 259.

— Оно оканчивается на 9. Берём ресурс из таблицы умножения 49 . Её первая цифра – 4.

— Вычитаем из 25 эту цифру. 25 – 4 = 21

— Ответ 21. Значит число делится на 7. Это так: 259: 7 = 37. Последняя цифра 7, как мы и предполагали.

Ещё несколько примеров. 756 делится на 7?

Оно оканчивается на 6. Ресурс – 56. Вычитаем 75 – 5 = 70. Число делится 756: 7 = 108

Число 392. Оканчивается на 2. Ресурс – 42. Вычитаем 39 -4 = 35. Делится 392: 7 = 56.

Число 571. Оканчивается на 1. Ресурс – 21. Вычитаем 57 – 2 = 55. Не делится.

Число 574. Оканчивается на 4. Ресурс – 14. Вычитаем 57 – 1 = 56. Делится 574: 7 = 82

В этом признаке мы исключили одно математическое действие – умножение.

Дополнение.

Для проверяемых чисел больше 700, чтобы избежать повторных циклов, как в признаке 3, используйте для вычитаемого кратные десятки и сотни семёрки.

Рассмотрим, например, число 973. Оно оканчивается на 3. Ресурс – 63. Вычитаем 97 — 6 = 91. Можно идти на второй цикл, а можно вычитать не 6, а 76. 97 — 76 = 21. Делится.

Добавки идут по системе счисления семи: 70, 140, 210 и т.д. в зависимости от проверяемого числа.

1. Этот признак можно применять в уме без особых трудностей, для чисел до 1000. Он поможет искать кратные для деления.

2. Коллеги, используйте ТРИЗ для решения своих задач! Это экономит время. Мне, чтобы найти этот признак делимости, потребовалось 3 часа с учётом поиска аналогов в интернете.

Буду рад, если этот признак кому-то пригодится.

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел :

• Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
  Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
• Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
  Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
• Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
  Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
• Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
  Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
• Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
  Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
• Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
  Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
• Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
  Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
• Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
  Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
• Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
  Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
• Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
  Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

В таблице простых чисел, то есть таких, которые делятся только на 1 и на себя, числа 7, 11 и 13 расположены рядом (см. таблицу простых чисел на стр. 363). Их произведение равно:

7 ∙ 11 ∙ 13=1001 = 1000 + 1.

Заметим пока, что 1000 + 1 делится и на 7, и на 11, и на 13. Далее, если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза.

Пусть
- какое-либо трехзначное число (а, Ь и с - цифры этого числа). Умножим его на 1001:

Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число 999 999, или, иначе, 1000 000-1.

Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11,

или на 13 к делимости на них некоторого другого числа - не более чем трехзначного.

Требуется, положим, определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13. Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Представим теперь данное число в гаком виде:

42 623 295 = 295 + 628 ∙ 1000 + 42 ∙ 1 000 000,

или (аналогично тому, как это мы делали при рассмотрении признака делимости на 11):

42 623 295 = 295 + 623 (1000 + 1 -1) + 42(1000000 - 1 + 1) = (295 - 623 + 42) + .

Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость испытуемого числа на

7, 11 и 13 полностью определяется делимостью числа, заключенного в первой круглой скобке.

Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно высказать следующий объединенный признак делимости сразу на три числа, 7, 11 и 13:

Вели разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.

Вернемся к числу 42 623 295. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:

(295 + 42)-623 = -286.

Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.

Очевидно, что делимость на 7, 11 и 13 четырех-, пяти — и шестизначных чисел, то есть чисел, разбивающихся всего лишь на 2 грани (практически более частый случай), определяется делимостью на 7, 11 и 13 разности граней данного числа. Так, например, легко установить, что 29 575 делится на 7 и на 13, но не делится на 11. Действительно, разность граней равна

а число 546 делится на 7 и на 13 и не делится на 11.

Задача. Устанавливая объединенный признак делимости на 7, 11 и 13, мы оперировали числом, разбивавшимся на 3 грани. Проведите обоснование этого признака на примере числа, разбивающегося на 4 грани по 3 цифры справа налево.

Комметирование закрыто now!

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).