Сформулируйте понятия генеральной совокупности и выборки. Генеральная и выборочная совокупности

Законодательство

Генеральная совокупность (в англ. - population ) - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования. Например, мужчины 30-50 лет, использующие бритву определённой марки не реже раза в неделю, и имеющие доход не ниже $100 на одного члена семьи.

Выборка или выборочная совокупность - множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Характеристики выборки:

 Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

 Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки

 Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

 Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки

Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30 – 35.

17. Основные способы формирования выборки

Формирование выборки прежде всего основывается на знании контура выборки, под которым понимается список всех единиц совокупности, из которого выбираются единицы выборки. Например, если в качестве совокупности рассматривать все автосервисные мастерские города Москвы, то надо иметь список таких мастерских, рассматриваемый как контур, в пределах которого формируется выборка.

Контур выборки неизбежно содержит ошибку, называемую ошибкой контура выборки и характеризующую степень отклонения от истинных размеров совокупности. Очевидно, что не существует полно официального списка всех автосервисных мастерских г. Москвы. Исследователь должен информировать заказчика работы о размерах ошибки контура выборки.

При формировании выборки используются вероятностные (случайные) и невероятностные (неслучайные) методы.

Если все единицы выборки имеют известный шанс (вероятность) быть включенными в выборку, то выборка называется вероятностной. Если эта вероятность неизвестна, то выборка называется невероятностной. К сожалению, в большинстве маркетинговых исследований из-за невозможности точного определения размера совокупности не представляется возможным точно рассчитать вероятности. Поэтому термин «известная вероятность» скорее основан на использовании определенных методов формирования выборки, чем на знании точных размеров совокупности.

Вероятностные методы включают в себя:

Простой случайный отбор;

Систематический отбор;

Кластерный отбор;

Стратифицированный отбор.

Невероятностные методы:

Отбор на основе принципа удобства;

Отбор на основе суждений;

Формирование выборки в процессе опроса;

Формирование выборки на основе квот.

Смысл метода отбора на основе принципа удобства заключается в том, что формирование выборки осуществляется самым удобным с позиций исследователя образом, например с позиций минимальных затрат времени и усилий, с позиций доступности респондентов. Выбор места исследования и состава выборки производится субъективным образом, например, опрос покупателей осуществляется в магазине, ближайшем к месту жительства исследователя. Очевидно, что многие представители совокупности не принимают участия в опросе.

Формирование выборки на основе суждения основано на использовании мнения квалифицированных специалистов, экспертов относительно состава выборки. На основе такого подхода часто формируется состав фокус-группы.

Формирование выборки в процессе опроса основано на расширении числа опрашиваемых исходя из предложений респондентов, которые уже приняли участие в обследовании. Первоначально исследователь формирует выборку намного меньшую, чем требуется для исследования, затем она по мере проведения расширяется.

Формирование выборки на основе квот (квотный отбор) предполагает предварительное, исходя из целей исследования, определение численности групп респондентов, отвечающих определенным требованиям (признакам). Например, в целях исследования было принято решение, что в универмаге должно быть опрошено пятьдесят мужчин и пятьдесят женщин. Интервьюер проводит опрос, пока не выберет установленную квоту.

Характеристики выборки:

· Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

· Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки

· Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

· Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки

Зависимые и независимые выборки

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми . Примеры зависимых выборок:

· пары близнецов,

· два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия,

· мужья и жёны

· и т. п.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми , например:

· мужчины и женщины,

· психологи и математики.

Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.

Сравнение выборок производится с помощью различных статистических критериев:

· t-критерий Стьюдента

· Критерий Уилкоксона

· U-критерий Манна-Уитни

· Критерий знаков

· и др.

Репрезентативность

Выборка может рассматриваться в качестве репрезентативной или нерепрезентативной.

Пример нерепрезентативной выборки

В США одним из наиболее известных исторических примеров нерепрезентативной выборки считается случай, происшедший во время президентских выборов в 1936 году . Журнал «Литрери Дайджест», успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам, а также людям, выбранным по телефонным книгам всей страны и людям из регистрационных списков автомобилей. В 25 % вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 миллиона) голоса были распределены следующим образом:

· 57 % отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону

· 40 % выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта

На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, набрав более 60 % голосов. Ошибка «Литрери Дайджест» заключалась в следующем: желая увеличить репрезентативность выборки, - так как им было известно, что большинство их подписчиков считают себя республиканцами, - они расширили выборку за счёт людей, выбранных из телефонных книг и регистрационных списков. Однако они не учли современных им реалий и в действительности набрали ещё больше республиканцев: во время Великой депрессии обладать телефонами и автомобилями могли себе позволить в основном представители среднего и высшего класса (то есть большинство республиканцев, а не демократов).

Виды плана построения групп из выборок

Выделяют несколько основных видов плана построения групп :

1. Исследование с экспериментальной и контрольной группами, которые ставятся в разные условия.

2. Исследование с экспериментальной и контрольной группами с привлечением стратегии попарного отбора

3. Исследование с использованием только одной группы - экспериментальной.

4. Исследование с использованием смешанного (факторного) плана - все группы ставятся в разные условия.

Типы выборки

Выборки делятся на два типа:

· вероятностные

· невероятностные

Вероятностные выборки

1. Простая вероятностная выборка:

o Простая повторная выборка. Использование такой выборки основывается на предположении, что каждый респондент с равной долей вероятности может попасть в выборку. На основе списка генеральной совокупности составляются карточки с номерами респондентов. Они помещаются в колоду, перемешиваются и из них наугад вынимается карточка, записывается номер, потом возвращается обратно. Далее процедура повторяется столько раз, какой объём выборки нам необходим. Минус: повторение единиц отбора.

Процедура построения простой случайной выборки включает в себя следующие шаги:

1. необходимо получить полный список членов генеральной совокупности и пронумеровать этот список. Такой список, напомним, называется основой выборки;

2. определить предполагаемый объем выборки, то есть ожидаемое число опрошенных;

3. извлечь из таблицы случайных чисел столько чисел, сколько нам требуется выборочных единиц. Если в выборке должно оказаться 100 человек, из таблицы берут 100 случайных чисел. Эти случайные числа могут генерироваться компьютерной программой.

4. выбрать из списка-основы те наблюдения, номера которых соответствуют выписанным случайным числам

· Простая случайная выборка имеет очевидные преимущества. Этот метод крайне прост для понимания. Результаты исследования можно распространять на изучаемую совокупность. Большинство подходов к получению статистических выводов предусматривают сбор информации с помощью простой случайной выборки. Однако метод простой случайной выборки имеет как минимум четыре существенных ограничения:

1. зачастую сложно создать основу выборочногo наблюдения, которая позволила бы провести простую случайную выборку.

2. результатом применения простой случайной выборки может стать большая совокупность, либо совокупность, распределенная по большой географической территории, что значительно увеличивает время и стоимость сбора данных.

3. результаты применения простой случайной выборки часто характеризуются низкой точностью и большей стандартной ошибкой, чем результаты применения других вероятностных методов.

4. в результате применения SRS может сформироваться нерепрезентативная выборка. Хотя выборки, полученные простым случайным отбором, в среднем адекватно представляют генеральную совокупность, некоторые из них крайне некорректно представляют изучаемую совокупность. Вероятность этого особенно велика при небольшом объеме выборки.

· Простая бесповторная выборка. Процедура построения выборки такая же, только карточки с номерами респондентов не возвращаются обратно в колоду.

1. Систематическая вероятностная выборка. Является упрощенным вариантом простой вероятностной выборки. На основе списка генеральной совокупности через определённый интервал (К) отбираются респонденты. Величина К определяется случайно. Наиболее достоверный результат достигается при однородной генеральной совокупности, иначе возможны совпадение величины шага и каких-то внутренних циклических закономерностей выборки (смешение выборки). Минусы: такие же как и в простой вероятностной выборке.

2. Серийная (гнездовая) выборка. Единицы отбора представляют собой статистические серии (семья, школа, бригада и т. п.). Отобранные элементы подвергаются сплошному обследованию. Отбор статистических единиц может быть организован по типу случайной или систематической выборки. Минус: Возможность большей однородности, чем в генеральной совокупности.

3. Районированная выборка. В случае неоднородной генеральной совокупности, прежде, чем использовать вероятностную выборку с любой техникой отбора, рекомендуется разделить генеральную совокупность на однородные части, такая выборка называется районированной. Группами районирования могут выступать как естественные образования (например, районы города), так и любой признак, заложенный в основу исследования. Признак, на основе которого осуществляется разделение, называется признаком расслоения и районирования.

4. «Удобная» выборка. Процедура «удобной» выборки состоит в установлении контактов с «удобными» единицами выборки - с группой студентов, спортивной командой, с друзьями и соседями. Если необходимо получить информацию о реакции людей на новую концепцию, такая выборка вполне обоснована. «Удобную» выборку часто используют для предварительного тестирования анкет.

Невероятностные выборки

Отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям – доступности, типичности, равного представительства и т.д.

1. Квотная выборка – выборка строится как модель, которая воспроизводит структуру генеральной совокупности в виде квот (пропорций) изучаемых признаков. Число элементов выборки с различным сочетанием изучаемых признаков определяется с таким расчётом, чтобы оно соответствовало их доле (пропорции) в генеральной совокупности. Так, например, если генеральная совокупность у нас представлена 5000 человек, из них 2000 женщин и 3000 мужчин, тогда в квотной выборке у нас будут 20 женщин и 30 мужчин, либо 200 женщин и 300 мужчин. Квотированные выборки чаще всего основываются на демографических критериях: пол, возраст, регион, доход, образование и прочих. Минусы: обычно такие выборки нерепрезентативны, т.к. нельзя учесть сразу несколько социальных параметров. Плюсы: легкодоступный материал.

2. Метод снежного кома. Выборка строится следующим образом. У каждого респондента, начиная с первого, просятся контакты его друзей, коллег, знакомых, которые подходили бы под условия отбора и могли бы принять участие в исследовании. Таким образом, за исключением первого шага, выборка формируется с участием самих объектов исследования. Метод часто применяется, когда необходимо найти и опросить труднодоступные группы респондентов (например, респондентов, имеющих высокий доход, респондентов, принадлежащих к одной профессиональной группе, респондентов, имеющих какие-либо схожие хобби/увлечения и т.д.)

3. Стихийная выборка – выборка так называемого «первого встречного». Часто используется в теле- и радиоопросах. Размер и состав стихийных выборок заранее не известен, и определяется только одним параметром – активностью респондентов. Минусы: невозможно установить какую генеральную совокупность представляют опрошенные, и как следствие – невозможность определить репрезентативность.

4. Маршрутный опрос – часто используется, если единицей изучения является семья. На карте населённого пункта, в котором будет производиться опрос, нумеруются все улицы. С помощью таблицы (генератора) случайных чисел отбираются большие числа. Каждое большое число рассматривается как состоящее из 3-х компонентов: номер улицы (2-3 первых числа), номер дома, номер квартиры. Например, число 14832: 14 – это номер улицы на карте, 8 – номер дома, 32 – номер квартиры.

5. Районированная выборка с отбором типичных объектов. Если после районирования из каждой группы отбирается типичный объект, т.е. объект, который по большинству изучаемых в исследовании характеристик приближается к средним показателям, такая выборка называется районированной с отбором типичных объектов.

Стратегии построения групп

Отбор групп для их участия в психологическом эксперименте осуществляется с помощью различных стратегий, которые нужны для того, чтобы обеспечить максимально возможное соблюдение внутренней и внешней валидности .

· Рандомизация (случайный отбор)

· Попарный отбор

· Стратометрический отбор

· Приближённое моделирование

· Привлечение реальных групп

Рандомизация , или случайный отбор , используется для создания простых случайных выборок. Использование такой выборки основывается на предположении, что каждый член популяции с равной вероятностью может попасть в выборку. Например, чтобы сделать случайную выборку из 100 студентов вуза, можно сложить бумажки с именами всех студентов вуза в шляпу, а затем достать из неё 100 бумажек - это будет случайным отбором (Гудвин Дж., с. 147).

Попарный отбор - стратегия построения групп выборки, при котором группы испытуемых составляются из субъектов, эквивалентных по значимым для эксперимента побочным параметрам. Данная стратегия эффективна для экспериментов с использованием экспериментальных и контрольных групп с лучшим вариантом - привлечением близнецовых пар (моно- и дизиготных), так как позволяет создать...

Стратометрический отбор - рандомизация с выделением страт (или кластеров). При данном способе формирования выборки генеральная совокупность делится на группы (страты), обладающие определёнными характеристиками (пол, возраст, политические предпочтения, образование, уровень доходов и др.), и отбираются испытуемые с соответствующими характеристиками.

Приближённое моделирование - составление ограниченных выборок и обобщение выводов об этой выборке на более широкую популяцию. Например, при участии в исследовании студентов 2-го курса университета, данные этого исследования распространяются на «людей в возрасте от 17 до 21 года». Допустимость подобных обобщений крайне ограничена.

Приближенное моделирование – формирование модели, которая для четко оговоренного класса систем (процессов) описывает его поведение (или нужные явления) с приемлемой точностью.

Совокупность однородных объектов часто исследуют относительно какого-либо признака, характеризующего их, измеренного количественно либо качественно.

К примеру, если имеется партия деталей, то количественным признаком может быть размер детали по ГОСТу, а качественным - стандартность детали.

В случае необходимости их проверки на соответствие стандартам иногда прибегают к сплошному обследованию, но на практике это применяется крайне редко. К примеру, если генеральная совокупность содержит огромное количество изучаемых объектов, то практически невозможно проводить сплошное обследование. В таком случае из всей совокупности отбирают определенное число объектов (элементов) и их исследуют. Таким образом, имеется генеральная и выборочная совокупность.

Генеральной называют совокупность всех объектов, которые подвергаются обследованию или изучению. Генеральная совокупность, как правило, содержит в себе конечное число элементов, но если оно слишком велико, то с целью упрощения математических вычислений допускается, что вся совокупность состоит из бесчисленного числа объектов.

Выборкой или выборочной совокупностью называется часть отобранных элементов из всей совокупности. Выборка может быть повторной либо бесповторной. В первом случае её возвращают в генеральную совокупность, во втором - нет. В практической деятельности чаще используют бесповторный случайный отбор.

Генеральная совокупность и выборка должны быть связаны между собой репрезентативностью. Говоря по другому, для того, чтобы по характеристикам выборочной совокупности можно было уверенно определять признаки всей совокупности, надо, чтобы элементы выборки максимально точно их представляли. Иными словами, выборка должна быть представительной (репрезентативной).

Выборка будет более или менее репрезентативной, если она производится случайно из очень большого числа всей совокупности. Это можно утверждать на основе так называемого закона больших чисел. При этом все элементы имеют равную вероятность попасть в выборку.

Имеются различные варианты отбора. Все эти способы в принципе можно разделить на два варианта:

Вариант 1. Отбираются элементы, когда генеральная совокупность не делится на части. К этому варианту можно отнести простой случайный повторный и бесповторный отборы.
Вариант 2. Генеральная совокупность разделяется на части и производится отбор элементов. Сюда можно отнести типический, механический и серийный отборы.

Простой случайный - отбор, при котором элементы извлекаются по одному из всей совокупности случайным образом.

Типический - это отбор, при котором элементы отбираются не из всей совокупности, а из всех её «типических» частей.

Механический - это такой отбор, когда всю совокупность разделяют на количество групп, равное числу элементов, которое должно быть в выборке, и, соответственно, из каждой группы выбирается один элемент. К примеру, если надо отобрать 25% деталей, изготовленных станком, то выбирают каждую четвёртую деталь, а если требуется отобрать 4% деталей, то выбирают каждую двадцать пятую деталь и так далее. При этом необходимо сказать, что иногда механический отбор может не обеспечивать достаточной

Серийный - это такой отбор, при котором элементы отбирают из всей совокупности «сериями», подвергаемыми сплошному исследованию, а не по одному. К примеру, когда детали изготавливаются большим числом станков-автоматов, то сплошное обследование проводится только в отношении продукции нескольких станков. Серийный отбор используют, если исследуемый признак имеет незначительную вариативность в разных сериях.

С целью уменьшения погрешности применяют оценки генеральной совокупности с помощью выборочной. Причем выборочный контроль может быть как одноступенчатым, так и многоступенчатым, что повышает надежность обследования.

Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить ее распределение? Для этого нужно исследовать ее генеральную совокупность .

Генеральная совокупность - множество всех значений, которые может принимать данная случайная величина.

Число единиц в генеральной совокупности называется ее объемом N . Эта величина может быть конечной и бесконечной. Например, если исследуется рост жителей некоторого города, то объем генеральной совокупности будет равен числу жителей города. Если выполняется любой физический эксперимент, то объем генеральной совокупности будет бесконечным, т.к. число всех возможных значений любого физического параметра равно бесконечности.

Исследование генеральной совокупности не всегда возможно и целесообразно. Оно невозможно, если объем генеральной совокупности бесконечен. Но и при конечных объемах полное исследование не всегда оправдано, поскольку требует больших затрат времени и труда, а абсолютная точность результатов обычно не требуется. Менее точные результаты, но со значительно меньшими затратами сил и средств можно получить при исследовании только части генеральной совокупности. Такие исследования называются выборочными.

Статистические исследования, проводимые только на части генеральной совокупности, называются выборочными, а исследуемая часть генеральной совокупности называется выборкой.

На рисунке 7.2 символически показаны генеральная совокупность и выборка в виде множества и его подмножества.

Рисунок 7.2 Генеральная совокупность и выборка

Работая с некоторым подмножеством данной генеральной совокупности, часто составляющим незначительную ее часть, мы получаем результаты, по точности вполне удовлетворительные для практических целей. Исследование большей части генеральной совокупности только увеличивает точность, но не изменяет сути результатов, если выборка взята правильно со статистической точки зрения.

Для того, чтобы выборка отражала свойства генеральной совокупности и результаты были достоверными, она должна быть репрезентативной (представительной).

У некоторых генеральных совокупностей любая их часть является репрезентативной в силу их природы. Однако в большинстве случаев необходимо принимать специальные меры для обеспечения репрезентативности выборок.

Одним из главных достижений современной математической статистики считается разработка теории и практики метода случай ных выборок, обеспечивающих репрезентативность отбора данных.

Выборочные исследования всегда проигрывают в точности по сравнению с исследованием всей генеральной совокупности. Однако с этим можно примириться, если величина погрешности будет известной. Очевидно, что чем больше объем выборки будет приближаться к объему генеральной совокупности, тем погрешность будет меньшей. Отсюда ясно, что проблемы статистического вывода становятся особенно актуальными при работе с малыми выборками (N ? 10-50).

В предыдущем разделе нас интересовала распределение признака в некоторой совокупности элементов. Совокупность, которая объединяет все элементы, имеющая этот признак, называется генеральный. Если признак человеческий (национальность, образование, коэффициент IQ т.п.), то генеральная совокупность -- все население земли. Это очень большая совокупность, то есть число элементов в совокупности n велико. Число элементов называется объемом совокупности. Совокупности могут быть конечными и бесконечными. Генеральная совокупность - все люди хотя и очень большая, но, естественно, конечная. Генеральная совокупность - все звезды, наверное, бесконечно.

Если исследователь проводит измерение некоторой непрерывной случайной величины X, то каждый результат измерения можно считать элементом некоторой гипотетической неограниченной генеральной совокупности. В этой генеральной совокупности бесчисленная количество результатов распределены по вероятности под влиянием погрешностей в приборах, невнимательности экспериментатора, случайных помех в самом явлении и др.

Если мы проведем n повторных измерений случайной величины Х, то есть получим n конкретных различных численных значений, то этот результат эксперимента можно считать выборкой объема n из гипотетической генеральной совокупности результатов единичных измерений.

Естественно считать, что действительным значением измеряемой величины является среднее арифметическое от результатов. Эта функция от n результатов измерений называется статистикой, и она сама является случайной величиной, имеющей некоторое распределение называемая выборочным распределением. Определение выборочного распределения той или иной статистики -- важнейшая задача статистического анализа. Ясно, что это распределение зависит от объема выборки n и от распределения случайной величины Х гипотетической генеральной совокупности. Выборочное распределение статистики представляет собой распределение Х q в бесконечной совокупности всех возможных выборок объема n из исходной генеральной совокупности.

Можно проводить измерения и дискретной случайной величины.

Пусть измерение случайной величины Х представляет собой бросание правильной однородной треугольной пирамиды, на гранях которой написаны числа 1, 2, 3, 4. Дискретная, случайная величина Х имеет простое равномерное распределение:

Эксперимент можно производить неограниченное число раз. Гипотетической теоретической генеральной совокупностью является бесконечная совокупность, в которой имеются одинаковые доли (по 0.25) четырех разных элементов, обозначенных цифрами 1, 2, 3, 4. Серия из n повторных бросаний пирамиды или одновременное бросание n одинаковых пирамид можно рассматривать как выборку объема n из этой генеральной совокупности. В результате эксперимента имеем n чисел. Можно ввести некоторые функции этих величин, которые называются статистиками, они могут быть связаны с определенными параметрами генерального распределения.

Важнейшими числовыми характеристиками распределений являются вероятности Р i , математическое ожидание М, дисперсия D. Статистиками для вероятностей Р i являются относительные частоты, где n i -- частота результата i (i=1,2,3,4) в выборке. Математическому ожиданию М соответствует статистика

которая называется выборочным средним. Выборочная дисперсия

соответствует генеральной дисперсии D.

Относительная частота любого события (i=1,2,3,4) в сериях из n повторных испытаний (или в выборках объема n из генеральной совокупности) будет иметь биномиальное распределение.

У этого распределения математическое ожидание равно 0.25 (не зависит от n), а среднее квадратическое отклонение равно (быстро убывает с ростом n). Распределение является выборочным распределением статистики, относительная частота любого из четырех возможных результатов единичного бросания пирамиды в n повторных испытаниях. Если бы мы выбрали из бесконечной, генеральной совокупности, в которой четыре разных элемента (i=1,2,3,4) имеют равные доли по 0.25, все возможные выборки объемом n (их число также бесконечно), то получили бы так называемую математическую выборку объема n. В этой выборке каждый из элементов (i=1,2,3,4) распределен по биномиальному закону.

Допустим, мы выполнили бросания этой пирамиды, и число двойка выпало 3 раза (). Мы можем найти вероятность этого результата, используя выборочное распределение. Она равна

Наш результат оказался весьма маловероятным; в серии из двадцати четырех кратных бросаний он встречается примерно один раз. В биологии такой результат обычно считается практически невозможным. В этом случае у нас появится сомнение: является пирамида правильной и однородной, справедливо ли при одном бросании равенство, верно ли распределение и, следовательно, выборочное распределение.

Чтобы разрешить сомнение, надо выполнить еще один раз четырехкратное бросание. Если снова появится результат, то вероятность двух результатов с очень мала. Ясно, что мы получили практически совершенно невозможный результат. Поэтому исходное распределение неверное. Очевидно, что, если второй результат окажется еще маловероятней, то имеется еще большее оснований разобраться с этой "правильной" пирамидой. Если же результат повторного эксперимента будет и, тогда можно считать, что пирамида правильная, а первый результат (), тоже верный, но просто маловероятный.

Нам можно было и не заниматься проверкой правильности и однородности пирамиды, а считать априори пирамиду правильной и однородной, и, следовательно, правильным выборочное распределение. Далее следует выяснить, что дает знание выборочного распределения для исследования генеральной совокупности. Но поскольку установление выборочного распределения является основной задачей статистического исследования, подробное описание экспериментов с пирамидой можно считать оправданным.

Будем считать, что выборочное распределение верное. Тогда экспериментальные значения относительной частоты в различных сериях по n бросаний пирамиды будут группироваться около значения 0.25, являющегося центром выборочного распределения и точным значением оцениваемой вероятности. В этом случае говорят, что относительная частота является несмещенной оценкой. Поскольку, выборочная дисперсия стремиться к нулю с ростом n, то экспериментальные значения относительной частоты будут все теснее группироваться около математического ожидания выборочного распределения с ростом объема выборки. Поэтому является состоятельной оценкой вероятности.

Если бы пирамида оказалась направильной и неоднородной, то выборочные распределения для различных (i=1,2,3,4) имели бы отличные математические ожидания (разные) и дисперсии.

Отметим, что полученные здесь биномиальные выборочные распределения при больших n () хорошо апроксимируются нормальным распределением с параметрами и, что значительно упрощает расчеты.

Продолжим случайный эксперимент -- бросание правильной, однородной, треугольной пирамиды. Случайная величина Х, связанная с этим опытом, имеет распределение. Математическое ожидание здесь равно

Проведем n бросаний, что эквивалентно случайной выборке объема n из гипотетической, бесконечной, генеральной совокупности, содержащей равные доли (0.25) четырех разных элементов. Получим n выборочных значений случайной величины Х (). Выберем статистику, которая представляет собой выборочное среднее. Величина сама является случайной величиной, имеющей некоторое распределение, зависящее от объема выборки и распределения исходной, случайной величины Х. Величина является усредненной суммой n одинаковых, случайных величин (то есть с одинаковым распределением). Ясно, что

Поэтому статистика является несмещенной оценкой математического ожидания. Она является также состоятельной оценкой, поскольку

Таким образом, теоретическое выборочное распределение имеет тоже математическое ожидание, что и у исходного распределения, дисперсия уменьшена в n раз.

Напомним, что равна

Математическая, абстрактная бесконечная выборка, связанная с выборкой объема n из генеральной совокупности и с введенной статистикой будет содержать в нашем случае элементов. Например, если, то в математической выборке будут элементы со значениями статистики. Всего элементов будет 13. Доля крайних элементов в математической выборке будет минимальной, так как результаты и имеют вероятности, равные. Среди множества элементарных исходов четырех кратного бросания пирамиды имеются только по одному благоприятному и. При приближении статистик к средним значениям, вероятности будут возрастать. Например, значение будет реализоваться при элементарных исходах, и т. д. Соответственно возрастет и доля элемента 1.5 в математической выборке.

Среднее значение будет иметь максимальную вероятность. С ростом n экспериментальные результаты будут теснее группироваться около среднего значения. То обстоятельство, что среднее выборочного среднего равно среднему исходной совокупности часто используется в статистике.

Если выполнить расчеты вероятностей в выборочном распределении с, то можно убедиться, что уже при таком небольшом значении n выборочное распределение будет выглядеть как нормальное. Оно будет симметричным, в котором значение будет медианой, модой и математическим ожиданием. С ростом n оно хорошо апроксимируется соответствующим нормальным даже, если исходное распределение прямоугольное. Если же исходное распределение нормально, то распределение является распределением Стьюдента при любом n.

Для оценки генеральной дисперсии необходимо выбрать более сложную статистику, которая дает несмещенную и состоятельную оценку. В выборочном распределении для S 2 математическое ожидание равно, а дисперсия. При больших объемах выборок выборочное распределение можно считать нормальным. При малых n и нормальном исходном распределении выборочное распределение для S 2 будет ч 2 _распределение.

Выше мы попытались представить первые шаги исследователя, пытающегося провести простой статистический анализ повторных экспериментов с правильной однородной треугольной призмой (тетраэдром). В этом случае нам известно исходное распределение. Можно в принципе теоретически получить и выборочные распределения относительной частоты, выборочного среднего и выборочной дисперсии в зависимости от числа повторных опытов n. При больших n все эти выборочные распределения будут приближаться к соответствующим нормальным распределениям, так как они представляют собой законы распределения сумм независимых случайных величин (центральная предельная теорема). Таким образом, нам известны ожидаемые результаты.

Повторные эксперименты или выборки дадут оценки параметров выборочных распределений. Мы утверждали, что экспериментальные оценки будут правильными. Мы не выполняли эти эксперименты и даже не приводили результаты опытов, полученные другими исследователями. Можно подчеркнуть, что при определении законов распределений теоретические методы используются чаще, чем прямые эксперименты.