Рождение и развитие фрактальной геометрии. Фрактальная размерность Определения фрактальной размерности для листа

Довольно часто приходится слышать разговоры о связи между различными валютами на рынке Форекс.

Основное обсуждение при этом обычно сводится к фундаментальным факторам, практическому опыту или просто домыслам, обусловленными личными стереотипами говорящего. Как крайний случай, выступает гипотеза одной или нескольких «мировых» валют, которые «тянут» за собой все остальные.

Действительно, какова связь между различными котировками? Движутся ли они согласованно или информация о направлении движения одной валюты ничего не скажет о движении другой? В этой статье предпринята попытка разобраться в этом вопросе, используя методы нелинейной динамики и фрактальной геометрии.

1. Теоретическая часть

1.1. Зависимые и независимые переменные

Рассмотрим две переменные (котировки) x и y. В любой момент времени, мгновенные значения этих переменных определяют точку на плоскости XY (рис. 1). Движение точки с течением времени образует траекторию. Форма и тип этой траектории будут определяться типом связи между переменными.

Например, если переменная x никак не связана с переменной y, то мы не увидим никакой регулярной структуры: при достаточном количестве точек, они равномерно заполнят плоскость XY (рис.2).

Если же зависимость между x и y существует, то будет видна некоторая регулярная структура: в простейшем случае это будет кривая (рис. 3),

Рисунок 3. Наличие корреляций - кривая

хотя может быть и более сложная структура (рис. 4).

То же самое характерно для трех- и более -мерного пространства: если между всеми переменными есть связь или зависимость, то точки будут образовывать кривую (рис. 5), если в наборе присутствуют две независимые переменные, то точки образуют поверхность (рис. 6), если три - то точки заполнят трехмерное пространство и т.д.

Если связи между переменными нет, то точки равномерно распределятся по всем доступным измерениям (рис. 7). Таким образом, мы можем судить о характере связи между переменными, определяя, каким образом точки заполняют пространство.

Причем форма получившейся структуры (линии, поверхности, объемной фигуры и т.д.), в данном случае, не имеет значения.

Важна фрактальная размерность этой структуры: линия имеет размерность равную 1, поверхность - 2, объемная структура - 3 и т.д. Обычно можно считать, что значение фрактальной размерности соответствует количеству независимых переменных в наборе данных.

Также мы можем встретиться с дробной размерностью, например, 1.61 или 2.68. Такое может произойти, если получившаяся структура окажется фракталом - самоподобным множеством с нецелой размерностью. Пример фрактала приведен на рисунке 8, его размерность приблизительно равна 1.89, т.е. это уже не линия (размерность равна 1), но еще не поверхность (размерность равна 2).

Фрактальная размерность может быть разной для одного и того же множества на разных масштабах.

Например, если смотреть на множество, изображенное на рисунке 9 «издалека», то ясно видно, что это линия, т.е. фрактальная размерность этого множества равна единице. Если же посмотреть на это же множество «вблизи», то увидим что это совсем не линия, а «расплывчатая труба» - точки не образуют четкую линию, но случайным образом собраны вокруг нее. Фрактальная размерность этой «трубы» должна быть равна размерности пространства, в котором мы рассматриваем нашу структуру, т.к. точки в «трубе» равномерно заполнят все доступные измерения.

Увеличение фрактальной размерности на малых масштабах дает возможность определить размер, при котором связи между переменными становится неразличимы из-за присутствующего в системе случайного шума.

Рисунок 9. Пример фрактальной "трубы"

1.2. Определение фрактальной размерности

Для определения фрактальной размерности можно использовать box-counting алгоритм, основанный на исследовании зависимости количества кубиков, содержащих точки множества, от размера ребра кубика (здесь имеются ввиду не обязательно трехмерные кубики: в одномерном пространстве «кубиком» будет отрезок, в двумерном - квадрат и т.д.).

Теоретически, эта зависимость имеет вид N(ε)~1/ε D , где D – фрактальная размерность множества, ε - размер ребра кубика, N(ε) – количество кубиков, содержащих точки множества при размере кубика ε. Это позволяет определить фрактальную размерность

Не вдаваясь в детали алгоритма, его работу можно описать следующим образом:

Исследуемое множество точек разбивается на кубики размера ε и считается количество кубиков N, содержащих хотя бы одну точку множества.

Для разных ε определяется соответствующее значение N, т.е. накапливаются данные для построения зависимости N(ε).

Зависимость N(ε) строится в двойных логарифмических координатах и определяется угол ее наклона, который и будет значением фрактальной размерности.

Например, на рисунке 10 изображены два множества: плоская фигура (а) и линия (б). Ячейки содержащие точки множества окрашены серым цветом. Подсчитывая, количество «серых» ячеек при разных размерах ячеек, получаем зависимости изображенные на рисунке 11. Определяя наклон прямых, аппроксимирующих эти зависимости, находим фрактальные размерности: Dа≈2,Dб≈1.

На практике для определения фрактальной размерности обычно используют не box-counting, а алгоритм Грассберга-Прокаччиа, т.к. он дает более точные результаты в пространствах высокой размерности. Идея алгоритма заключается в получении зависимости С(ε) - вероятности попадания двух точек множества в ячейку размера ε от размера ячейки и определении наклона линейного участка этой зависимости.

К сожалению, рассмотрение всех аспектов определения размерности невозможно в рамках данной статьи. При желании, вы сможете найти необходимую информацию в специальной литературе.

1.3. Пример определения фрактальной размерности

Чтобы убедится в работоспособности предложенной методики, попробуем определить уровень шума и количество независимых переменных для множества изображенного на рисунке 9. Это трехмерное множество состоит из 3000 точек и представляет из себя линию (одна независимая переменная) с наложенным на нее шумом. Шум имеет нормальное распределение при СКО равном 0.01.

На рисунке 12 показана зависимость С(ε) в логарифмическом масштабе. На ней мы видим два линейных участка, пересекающихся при ε≈2 -4.6 ≈0.04. Наклон первой прямой ≈2.6, а второй ≈1.0.

Полученные результаты означают, что тестовое множество имеет одну независимую переменную на масштабе большем 0.0 и «почти три» независимые переменные или наложенный шум на масштабе меньшем 0.04. Это хорошо согласуется с исходными данными: согласно правилу «трех сигм», 99.7% точек образуют «трубу» диаметром 2*3*0.01≈0.06.

Рисунок 12. Зависимость C(e) в логарифмическом масштабе

2. Практическая часть

2.1. Исходные данные

Для изучения фрактальных свойств рынка Форекс, были использованы общедоступные данные, охватывающие период с 2000 по 2009 год включительно. Исследование проводилось на ценах закрытия семи основных валютных пар: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Реализация

Алгоритмы определения фрактальной размерности реализованы в виде функций среды MATLAB на базе разработок профессора Майкла Смолла (Dr Michael Small ). Функции с примерами использования доступны в архиве frac.rar приложенном к данной статье.

Для ускорения вычислений, наиболее трудоемкий этап выполнен на языке Си. Перед началом использования, вам необходимо скомпилировать Си-функцию "interbin.c" с помощью команды MATLAB "mex interbin.c".

2.3. Результаты исследования

На рисунке 13 показано совместное движение котировок EURUSD и GBPUSD с 2000 по 2010 год. Сами значения котировок показаны на рисунках 14 и 15.

Фрактальная размерность множества, изображенного на рисунке 13, приблизительно равна 1.7 (рис. 16). Это означает, что движение EURUSD + GBPUSD не образует «чистого» случайного блуждания, иначе размерность была бы равна 2 (размерность случайного блуждания, в двух- и более мерных пространствах всегда равна 2).

Тем не менее, так как движение котировок очень похоже на случайное блуждание, то мы не можем изучать непосредственно сами значения котировок - при добавлении новых валютных пар, фрактальная размерность изменяется незначительно (табл. 1) и никаких выводов сделать не удастся.

Таблица 1. Изменение размерности при увеличении числа валют

Чтобы получить более интересные результаты, следует перейти от самих котировок, к их изменениям.

В таблице 2 приведены значения размерности для разных интервалов приращений и разного количества валютных пар.

Таблица 2. Изменение размерности при разных интервалах приращений

Если валюты связаны между собой, то при добавлении каждой новой валютной пары, фрактальная размерность должна увеличиваться все меньше и меньше и, в итоге, должна сойтись к некоторому значению, которое покажет количество «свободных переменных» на валютном рынке.

Также, если предположить, что на котировки накладывается «рыночный шум», то на малых интервалах (М5, М15, М30) возможно заполнение всех доступных измерений шумом и этот эффект должен ослабевать на больших таймфреймах «обнажая» зависимости между котировками (аналогично как в тестовом примере).

Как видно из таблицы 2, эта гипотеза не нашла подтверждения на реальных данных: на всех таймфремах множество заполняет все доступные измерения, т.е. все валюты независимы друг от друга.

Это несколько противоречит интуитивным убеждениям о связи валют. Кажется, что близкие валюты, например GBP и CHF или AUD и NZD должны показывать схожую динамику. Например, на рисунке 17 показаны зависимости приращений NZDUSD от AUDUSD для пятиминутных (коэффициент корреляции 0.54) и дневных (коэффициент корреляции 0.84) интервалов.

Рисунок 17. Зависимости приращений NZDUSD от AUDUSD для M5 (0.54) и D1 (0.84) интервалов

Из этого рисунка видно, что при увеличении интервала, зависимость все больше вытягивается по диагонали и коэффициент корреляции увеличивается. Но, с «точки зрения» фрактальной размерности, уровень шума слишком высок, чтобы считать эту зависимость одномерной линией. Возможно, на более длительных интервалах (недели, месяцы) фрактальные размерности сойдутся к некоторому значению, но у нас нет возможности это проверить - слишком мало точек для определения размерности.

Заключение

Конечно, интереснее было бы свести движение валют к одной или нескольким независимым переменным - это серьёзно бы упростило задачу восстановления рыночного аттрактора и прогнозирования котировок. Но рынок показывает другой результат: зависимости слабо выражены и «хорошо спрятаны» в большом количестве шума. В этом плане, рынок очень эффективен.

Методы нелинейной динамики, стабильно показывающие хороший результат в других областях: медицине, физике, химии, биологии и пр, при анализе рыночных котировок требуют особого внимания и аккуратной интерпретации результатов.

Полученные результаты, не позволяют однозначно утверждать о наличии или отсутствии связи между валютами. Можно лишь сказать, что на рассматриваемых таймфреймах уровень шума сопоставим с «силой» связи, поэтому вопрос о связи между валютами остается открытым.

Рассмотрим пример определения фрактальной размерности и плоской кривой, которая может быть, например, участком береговой линии на карте, контуром чернильной кляксы или фрактального кластера. Для этого изображение кривой покрывается сеткой, состоящей из квадратов со стороной l . Затем подсчитывается число квадратов, через которые проходит кривая. Путем изменения масштаба сетки и, следовательно, сторон квадрата каждый раз вновь подсчитывается число квадратов, пересекающих кривую. Затем в двойных логарифмических координатах строится зависимость МО, по углу наклона которой определяется фрактальная размерность.

Такой метод определения фрактальной размерности называется геометрическим. Его недостатком является необходимость эмпирического подбора величины l . С одной стороны, она не должна быть настолько мала, чтобы стал невозможным подсчет числа элементов в предлагаемом масштабе, а с другой стороны не настолько велика, чтобы выйти за область применимости.

Другой разновидностью геометрического метода является определение D из соотношения между характеристиками множеств с разной размерностью. Для фигуры, ограниченной фрактальной границей, необходимо измерить площадь S = R 2 и длину периметра L = R D . Здесь R - характерный раз мер фигуры. Фрактальную размерность D границы фигур можно определить как тангенс угла наклона зависимости квадрата периметра L от площади S , построенной в двойных логарифмических координатах.

В зависимости от размера объекта (фрактального агрегата) его изображение можно получить фотографированием в обычном оптическом либо электрон ном микроскопе, дальнейший анализ изображения: для получения фрактальных характеристик сводится к тому, что поле изображения фотографии разбивается на конечное число элементов, в простейшем случае квадратиков. Яркость изображения в пределах каждого элемента считается одинаковой. Минимальный размер изображения l о определяется разрешающей способностью аппаратуры, что, в свою очередь, определяет качество фрактального анализа

Оптимальным является случай, когда размер элемента изображения l о соответствует размеру частицы r , из которых затем образуется фрактальный агрегат. Размер кадра должен приблизительно соответствовать размеру фрактального агрегата. Число дискретных элементов изображения не должно быть малым (не менее 104), чтобы масштабную инвариантность можно было проверить в достаточно широком диапазоне размеров.

В тех случаях, когда фрактальные свойства проявляются на масштабах, не превышающих 1 мкм для измерений следует использовать излучение с короткими длинами волн - рентге новское или нейтронное.

Изучить теорию;

Определить фрактальную размерность для двух разбиений, трёх окружений.

ХОД РАБОТЫ

Выделите исходную фигурку, ограниченную фрактальной границей. Принимаем площадь этой фигуры So = l ; измеряем периметр исходной фигуры Lo .

Окружаем исходную фигурку аналогичными так, чтобы стороны исходной были сторонами окантовывающей фигуры.

Подсчитываем число исходных фигурок, входящих в ограничивающую область. Это число обозначим р i . S i = р i .

Находим площадь получившейся фигуры, ограниченной ло­маной линией S 1 = p 1 + S 0 ; S 2 = S 1 + p 2 .

Находим периметр ограничивающей фигуры, т.е. длину ломаной, ограничивающей получившуюся фигуру. L n = L 1 .

Полученные данные подставляем в формулу (2), рассчи­тываем фрактальную размерность первого фрактального мно­жества.

Повторяем все действия, начиная с шага 2. Проводим вычисление фрактальных размерностей.

По программе (Pentagon) построить предфрактальную структуру и по программе (Difraction Pentagon.) получить картину дифракции.

Контрольные вопросы

Что такое фрактал?

Свойство самоподобия, в чем оно состоит?

Понятие о размерности.

Снежинка Коха как пример фрактала.

Понятие о фрактальной размерности, общая формула.

Фрактальная размерность по Хауссдорфу.

Экспериментальный метод определения фрактальной раз­мерности.

Вывод формулы расчета фрактальной размерности исходя из соотношения между характеристиками множеств и раз­мерностью 2.

Кристаллы, квазикристаллы: в чем отличие?

Использование фрактальной размерности для изучения физических процессов.

Литература

Рау В.Г. Общее естествознание и его концепции. – М.: Выс.шк. 2003, 192с

Жиков В.В. в СОЖ

Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. – М.: Логос, 2002. – 664 с.

Лабораторная работа № 4

МОДЕЛЬ БЕСПОРЯДКА. ПОНЯТИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Цель работы:

При помощи моделирования распределения количества частиц газа по высоте в поле силы тяжести экспериментально проверить справедливость формулы зависимости давления газа от высоты (распределения Болыдмана).

Краткая теория

1. Барометрическая формула

Атмосферное давление накакой-либо высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа.Обозначим: р -давление на высоте h ,p + dp - давление на высотеh + dh . Еслиdh >0 , тоdp <0 , т.к. вес вышележащих слоев атмосферы идавление с высотой убывают. Справедлива формула: p -(p + dp )= ρgdh , где ρ плотность газа на высотеh . Разность давленийр иp + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотойdh . Тогда

где R -газовая постоянная,М -молярная масса,Т -температура.

Формула (2) может быть использована для вычисления плотности воздуха при нормальных условиях (если воздух мало отличается по своему поведению от идеального газа).

Подставим (2) в (1). Получим

где М - средняя молекулярная масса воздуха. Проинтегрируем (4) и найдем зависимость р от h для случая T = const (т.е. для изотермической атмосферы)

, где С= const

Проинтегрировав, получим:
. Приh =0 C = p o , где р 0 - давление на высоте h =0 . Таким образом, при T=const зависимость давления от высоты выражается формулой
(5)

называемой барометрической.

Из нее следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше М), и чем ниже температура (рис.1). Две кривые на этом рисунке можно рассматривать либо как графики, соответствующие разным М (при одинаковой Т) , или как графики, соответствующие разным Т (при одинаковой М).

2. Распределение Больцмана

Заменим в показателе экспоненты в (5) отношение M / R равным ему отношением m/k, где m-масса молекулы, k - постоянная Больцмана, р= n кТ , р 0 = n 0 кТ:

(6)

где n , n 0 - концентрация молекул на высоте h и h o =0 соответственно.

Из формулы (6) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах отличных от нуля убывает, обращаясь в нуль при Т=0 (рис.2)

На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии

E p = mgh (7)

С
ледовательно, распределение молекул по высотам является и распределение молекул по значениям потенциальной энергии.

(8)

Больцман доказал, что распределение (8) справедливо не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Распределение (6) называют распределением Больцмана.

Пусть kT =θ . Найдем соотношения

Прологарифмируем эти отношения:

, где
.

ХОД РАБОТЫ

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

Трансформатор, машина Беспалова, шкала высот.

1. Подключить машину Беспалова к трансформатору. Установить "температуру" 80В. Через несколько секунд резко отключить трансформатор от сети. Подсчитать количество частиц, находящихся на высотах h 0 , h 1 , h 2 ,...,h 7 .

Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1

2.Проделать те же измерения при “Т” =80В. Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

3.По результатам задания 1 и 2 построить графики зависимости
отh n в одной координатной плоскости (hOn).

КОНРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Барометрическая формула. Ее вид и график.

Следствия барометрической формулы.

Что такое температура?

Распределение Больцмана (вид, формула, график).

Использование распределения Больцмана.

Почему существует атмосфера у Земли.

Статистическая система. Статистическое распределение.

ЛИТЕРАТУРА

1.Рау В.Г. Общее естествознание и его концепции. – М.: Выс.шк. 2003, 192с.

2..Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. Молекулярная физика. М: Просвещение, 1982, с.14-17.

3. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1. М: Наука, 1982, с.289-290, 321-324.

Лабораторная работа № 5

ПОРЯДОК И ХАОС. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА. МОДЕЛЬ РОСТА ПОПУЛЯЦИИ.

Цель работы: познакомиться с примерами образования порядка из хаоса и возникновения хаоса в детерминированной системе.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Пусть x о - начальная численность популяции, ах n - ее численность черезn лет. Коэффициентом приростаR называют относительное изменение численности за год:

Если эта величина - константаr , то закон, управляющий динамикой имеет вид:

Через n лет численность популяции будет равна

Для того, чтобы ограничить этот экспоненциальный рост, Ферхюльст заставил коэффициент прироста R меняться вместе с изменением численности популяции. Считая, что численность популяции, заполняющую данную экологическую нишу, не может быть больше некоторого максимального значенияX(которое можно положить равным 1), он предположил, что зависящий от размеров популяции коэффициент приростаR пропорционален величине1- х n , т.е. положилR = r (1- х п ); константуr мы будем называть параметром роста. Таким образом, когдах п < 1, численность популяции по-прежнему растет, но лишь до тех пор, пока не будет достигнуто значениех n = 1 , при котором рост прекращается.

Закон, управляющий динамикой, теперь будет выглядеть так:

Для х о имеются два значения, при которых численность популяции не изменяется:х 0 = 0 их 0 = 1. Когдах 0 = 0, популяция попросту отсутствует с самого начала, а в этом случае вообще никакой рост невозможен.

Однако, если начальная численность хоть немного отлична от нуля, 0 < x 0 << 1, то приr > 0 на следующий год она возрастает

.

Следовательно, состояние равновесия x о = 0 является неустойчивым.

Простейшее дифференциальное уравнение роста популяции записывается следующим образом:
.

РОЖДЕНИЕ СТРУКТУР

В ОТКРЫТЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение открытых термодинамических систем с эле­ментами самоорганизации. Получение ячеек Бенара.

ОБОРУДОВАНИЕ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Электроплитка, минеральное масло, алюминиевый по­рошок, датчик температуры, сосуды.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Явления теплопроводности в веществе описывается экспериментальным законом Фурье

(1)

и уравнение теплопроводности через условно выде­ленные границы вещества.

В
еличина
- плот­ность потока излучения количества теплоты в еди­ницу времени может быть записана следующим образом:
,

где S -сечение границы (рис.1).

Разность потоков через левую и правую границы выделенного объема V однородного вещества опреде­ляет изменение внутренней энергии в объемеV за времяdt .

Тогда , откуда имеем:

В то же время dQ (x 2 )- dQ (x 1 ) = dU , или если ввести теплоемкость единицы длины
, то получим уравнение
или
, которое при приближенииx 1 -> x 2 определяет процесс теплопроводности в дифференциальной фор­ме:

- уравнение теплопроводности или краткоT t = aT xx .

Аналогично ведет себя процесс диффузии, при котором меняется концентрация вещества с течением времени за счет градиента плотности:

, гдеD - коэффициент диффузии.

Влияние одного процесса на другой усложняет вид уравнений обеих процессов. Симметричное влия­ние приводит к системе уравнений для двух пере­менных XиY, под которыми в нашем конкретном примере подразумеваются температура и концентра­ция (или плотность) вещества.

В системе, где создаются градиенты температу­ры и плотности вещества возникают процессы, при­водящие к образованию устойчивой структуры движе­ния в форме конвекционных потоков. Так из беспо­рядка (теплового движения) рождаются структуры, подтверждая существование синергетического эффек­та (совместное действие двух причин порождает но­вое свойство).

Способность к самоорганизации является общим свойством открытых систем. При этом именно нерав­новесность служит источником неупорядоченностью. Этот вывод послужил отправной точкой для круга идей, выдвинутых брюссельской школой во главе с И.Пригожиным.

Основная трудность, которая возникает при анализе процессов самоорганизации состоит в том, что нельзя пользоваться представлениями линейной термодинамики необратимых процессов. Предположе­ние о существовании линейных соотношений между токами и термодинамическими силами здесь оказы­вается неправильным, поскольку формирование структуры происходит вдали от равновесия.

По внешним проявлениям, по характеру упорядо­ченности, эти структуры можно разделить на вре­менные, пространственные и пространственно-временные. Типичными примерами переходов, приво­дящих к образованию пространственных структур яв­ляются: переход ламинарного течения в турбулент­ное, переход диффузионного механизма передачи те­пла в конвективный; временных структур - переходы в режим колебательных и волновых процессов; про­странственно-временных - переход лазера в режим регенерации.

Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической фазы являются конвектив­ные ячейки Бенара. В 1990г. была опубликована статья X.Бенара с фотографией структуры, по виду напоминавшей пчелиные соты. Для того, чтобы экс­периментально изучать структуры, достаточно иметь сковороду, немного масла и какой-нибудь мелкий порошок, чтобы было заметно движение жидкости. При достижении критического значения температур­ного градиента возникает конвекционный поток, об­ладающий характерной структурой в виде шести­угольных ячеек. Почему ячейки шестигранны? Будем считать, что все ячейки одинаковы и имеют форму многоугольника в плоскостиXY. Из соображений симметрии (отсутствия выделенного направления в этой плоскости) следует, что это будет правильный прямоугольник. Из того, что ячейки одинаковы вы­текает, что ими можно заполнить всю плоскость (иначе было бы несколько типов ячеек). Но почему же природа выбрала для ячеек форму шестиугольни­ка, а не треугольника или квадрата? Для нелиней­ных систем, изучаемых синергетикой, можно сформу­лировать принцип минимальной диссипации энергии: "Когда природа допускает существование нескольких процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует минимальных энергетических затрат". Диссипация энергии в мас­ле зависит от отношения площади ячейки к ее объе­му. Чем меньше это отношение, тем меньше диссипа­ция энергии. Нетрудно убедиться, что это отноше­ние минимально именно для шестигранных ячеек. Таким образом, шестиугольные ячейки не случайность, а оптимальное решение, найденное природой.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Эффект Бенара можно наблюдать с помощью сле­дующего опыта: на сковороду диаметром 13-15 см. налить слой машинного масла (марка М-8, МС-20) толщиной около 1см. Заранее подготовить дюралюми­ниевый порошок, который легко получить из бруска дюралюминия с помощью наждачной бумаги. Сковороду с маслом подогреть снизу водой (температура воды около 80°С). Далее в масло постепенно и равномер­но подсыпать дюралюминиевый порошок. При нагрева­нии, в такой системе возникает разность (градиент) температур ΔT между нижней и верхней поверхностью слоя масла. Температуру нижнего слоя масла можно брать равной температуре воды. Вследствие вязко­сти масла при небольших градиентах температуры движения не возникнет и тепло будет передаваться только путем теплопроводности. Лишь при достиже­нии критического значения температурного градиен­та появляется конвекционный поток, обладающий ха­рактерной структурой в виде шестиугольных ячеек.

При дальнейшем увеличении разности температуры ΔT ячейки исчезают. Масло начинает неупорядоченно двигаться.

Контрольные вопросы:

Какова идеальная форма ячеек Бенара и в чем причина предпочтения именно именно такой формы?

Почему не удается получить в опыте идеальную форму ячеек?

Какие факторы влияют на возникновение ячеек Бенара?

За счет каких ресурсов происходит самоорганизация в слое масла?

Изменится ли картина в процессе Ферхюльста, если в качестве начальной численности популяции взять другое число? Почему?

Во сколько раз длиннее интервал r , соответствующий 2-м устойчивым численностям популяции, чем 4-м?

За счет чего возникает хаос в модели роста популяции?

Какой вид имеет функция роста популяции во времени, если рост популяции описывается простейшим дифференциальным уравнением роста.

Литература

Рау В.Г. Общее естествознание и его концепции. – М.: Выс.шк. 2003, 192с

-//- Эл.учебник.

Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985.

Лабораторная работа № 6

СИММЕТРИЯ –

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ПОНЯТИЕ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: познакомиться с различными аспектами понятия «симметрия», изучить способы описания геометрической симметрии форм кристаллов ипериодических молекулярных структур (на моделях с использованием компьютерных программ исследования симметрии плоских моделей молекулярных упаковок), научиться определять симметрию различных объектов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Симметрия конечных фигур

В общем смысле понятие симметрии определяют следующим образом:

Симметрия - это неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных.

Другими словами: говорят, что система обладает симметрией относительно данного преобразования, которому она может быть подвергнута. В математике преобразования симметрии составляютгруппу. Фундаментальное значение симметрии в физикеопределяется прежде всего тем, что каждому непрерывному преобразованию симметрии отвечаетзакон сохранения некоторой физической величины, связанной с указанной симметрией.

Во всякой симметричной фигуре (симметричной называется фигура, которая состоит из геометрически равных частей, закономерно расположенных относительно друг друга) является обязательным:

наличие равных частей;

их определённая закономерная повторяемость.

Закономерность в повторении равных частей симметричной фигуры может быть обнаружена с помощью некоторых вспомогательных геометрических образов, которыми являются плоскости, прямые, точки. Эти геометрические образы (точка, прямая, плоскость) называютсяэлементами симметрии фигуры. В симметричных фигурах возможны следующие элементы симметрии: центр симметрии, плоскость симметрии, простые и сложные (зеркальные и инверсионные) оси симметрии.

Простейшим симметрическим преобразованием является отражение в плоскости симметрии.

Плоскостью симметрии называется такая плоскость в симметричной фигуре, при отражении в которой, как в двухстороннем зеркале, фигура совмещается сама с собой, Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально-равные части.

Представим себе равнобедренный треугольник. Эта фигура обладает одной плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости фигуры и проходящей через перпендикулярАО. Для отражения необходимо изкаждой точки фигуры (например, из точки В) опустить на плоскость симметрии перпендикулярОВ и продолжить, этот перпендикуляр на расстояние, равноеВО = B 1 O , и если треугольник равнобедренный, то отражение точкиВ совместится с точкойВ 1 , аотражение прямой ВА - с прямой В 1 А. Отражение левой половины совместится с правой половиной. Проделав то же самое с правой половиной фигуры, мы совместим еёотражение с левой половиной, и в результате вся фигура совместится сама с собой. Итак, фигура придёт в новое состояние, ничем не отличающееся от исходного.

В кубе, форму которого имеют кристаллы большинства металлов, можно обнаружить прежде всего три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, которые, подобно координатным плоскостям ортогональной системы, делят пополам противоположные параллельные рёбра. Далее можно найти плоскости симметрии,проходящие по диагоналям граней куба. В итоге в кубе имеется 9 плоскостей симметрии, и все они пересекаются в одной точке - центре куба.

П
ростейший элемент симметрии представляет собой особая точка внутри фигуры -центр инверсии (центр симметрии). Например, точка, лежащая на пересечении диагоналей параллелограмма, характе­ризуется тем, что любая проведённая через неё прямая, встречает на равных расстояниях от неё соответственные (одинаковые) точки контура параллелограмма (например,М иM 1 ). Эта особая точка и будет центром симметрии. Примером пространственной фигуры, симметрия которой исчерпывается наличием одного центра симметрии, служит косоугольный параллелепипед.

Итак, центром симметрии называетсяособаяточкавнутрифигуры, характеризующаяся тем, что по обе стороны от любой проведённой через неё прямой и на равных расстояниях от этой прямой находятся одинаковые (соответственные) точки фигуры. Рассматриваемое симметрическое преобразование в центре симметрии есть зеркальное отражение в точке.

Осью симметрии называется прямая, принадлежащая данной фигуре, при повороте вокруг которой на некоторый определённый yгол фигура совмещается сама с собой. Это возможно, если, во-первых, фигура состоит из нескольких повторяющихся равных частей и, во-вторых, эти повторяющиеся равные части расположены так, что при поворотфигуры на некоторый вполне определённый угол она займёт в пространстве то же самое положение, которое она занимала до этого поворота. Только при этом на место одних её частей становятся другие равные им части. В этом случае принято говорить, что фигура совмещается сама с собой илисамосовмещается.

Возьмём какую-либо фигуру, обладающую осью симметрии, например, состоящую из шести равных треугольников. По условию фигура должна совместиться сама с собой

при повороте на некоторый угол вокруг осисимметрии. Очевидно, что ось симметрии проходит перпендикулярно к плоскости чертежа через центр фигуры. Наименьший угол поворота, при котором произойдет самосовмещение фигуры, равен 60градусам, т.е. шестой части полного оборота вокруг оси симметрии. В данном случае рассматриваемая фигурабудет иметь только один элемент симметрии - ось.

Наименьший угол, на который нужно повернуть фигуру вокруг оси симметрии, чтобы фигурасамосовместилась, называется элементарным углом поворота данной оси симметрии. Для фигуры, изображённой на данном рис., он составляет 60 градусов.

Элементарный угол поворота данной оси симметрии определяет число самосовмещений фигуры при повороте её вокруг этой оси на 360 градусов, или порядок оси симметрии. Если элементарный угол поворота обозначить череза , а порядок оси симметрии - черезп , топ=360/а. Доказано, что порядки осей симметрии могут быть лишь целыми числами. Рассмотренная выше фигура, состоящая из шести равных треугольников, имеет ось симметрии шестого порядка.

Оси симметрии могут иметь любой порядок. Через центр правильного треугольника перпендикулярно к плоскости чертежа проходит ось симметрии третьего порядка, через центр квадрата - четвёртого, через центр правильного пятиугольника - пятого, через центр правильного шестиугольника - шестого, и так вплоть до круга, через центркоторого проходит ось симметрии бесконечного порядка. Оси конуса или цилиндра также являются осями симметрии бесконечного, так же как любой диаметр шара. Следовательно, шар обладает бесконечным числом осей симметрии бесконечного порядка.

Среди геометрических фигур, форму которых могут принимать кристаллы, нет фигур с осями пятого порядка, а также с осями симметрии, порядок которых выше шестого. Итак, кристаллические многогранники имеют лишь оси симметрии 2-, 3-, 4- и 6-порядков. Ось 2-го порядка есть в фигуре в том случае, если первое самосовмещение происходит при повороте вокруг неё 180 градусов. Осям 3-, 4-, 6-го порядковсоответствуют элементарные углы поворота на 120, 90, 60 градусов. В отличие от двойной оси их называют осями высшего порядка. В фигуре могут быть одна или несколько осей симметрии одного и того же или различных порядков.

Рассмотренные оси симметрии называются простыми. Они обозначаются цифрами, указывающими порядок оси.

При записи формулы симметрии, представляющей собой полный перечень элементов симметрии используют букву L . Порядок оси симметрии указывается в виде нижнего индекса буквы L . (Например, обозначения L з и L 4 соответствуют осям симметрии 3-го и 4-го порядков.) Число осей симметрии данной фигуры (кристалла, текстуры и т.д.)указывается перед L . (Скажем, 4 L 3 следует расшифровать как четыре оси симметрии 3-го порядка.)

Кроме рассмотренных простых операций, выявляющих симметрию в геометрических фигурах, возможны и другие комбинированные геометрические преобразования, которые состоят из одновременного поворота и отражения либо в точке, либо в плоскости. Эти сложные геометрические преобразования описываются с помощью дополнительныхэлементов симметрии: инверсионных и зеркальных осей симметрии.

Зеркальной называется ось симметрии, относительно которой фигура поворачивается на элементарный угол, отражаясь одновременно в перпендикулярной к ней плоскости (это необязательно плоскость симметрии фигуры).

Инверсионной является ось симметрии, которая, обладая свойствами простой оси симметрии того же порядка, предполагает в то же время и отражение в точке как в центре симметрии. Присутствие центра симметрии в фигуре, обладающей инверсионной осью симметрии, также не обязательно.

Инверсионные оси симметрии обозначают цифрой с прямой чёрточкой, зеркальные с волнистой (тильдой). Например, обозначения 3 и 4 соответствуют инверсионной и зеркальной осям симметрии 3-го и 4-го порядков.

Группы симметрии

Кроме простых и сложных элементов симметрии, присутствующих в геометрических фигурах в единичном числе, существуют вполне определённые совокупности этих элементов симметрии, которые также наблюдаются в реальных фигурах. Полная совокупность элементов симметрии геометрической фигуры называетсягруппой (классом, видом) симметрии.

В результате вывода получено 32 группы симметрии кристаллических многогранников и дополнительно к ним 5 групп симметрии текcтурироваиныхматериалов и 7 групп симметрии фигур вращения (см. таблицу ниже).

Для описания точечных групп симметрии фигур существует несколько способов. Рассмотрим 2 из них:

1.В международной практике приняты следующие обозначения: n -ось симметрииn -го порядка(п = 2, 3, 4, ...);

- инверсионная ось n -го порядка (п = 1, 2, 3...);

т - плоскость симметрии;

пт - ось симметрииn -го порядка и плоскость симметрии, проходящая вдоль неё( 2 т, Зт, 4т,.. .);

п/т - ось симметрии «-го порядка и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная, а также центр симметрии для чётных осей(2/т, 3/т, 4/т,.)

п2 - ось симметрииn -го порядка ип осей 2-го порядка, перпендикулярных к ней(222, 322, 422, 522 , 622);

п/ттт - ось симметрииn -го порядка и плоскостит. параллельные и перпендикулярные к ней.

В международной символике в классе симметрии указывают только порождающие элементы симметрии. Зная теоремы о сочетании элементов симметрии, по порождающим элементам можно найти всю совокупность элементов симметрии данного класса.

2.В таблице приведены формулы симметрии - набор элементов для всех видов симметрии. В этих формулах использована символика Бравэ:

Р - плоскость симметрии:

С - центр симметрии;

L i 1 , L i 2 , L i 3 ,... - инверсионные.

Каждая выделенная совокупность групп симметрии характеризуется обязательным наличием определённых элементов.

Совокупность групп симметрии, имеющих один или несколько сходных элементов называютсингонией.

В кристаллографии различают всего семь сингоний: триклинную. моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. К рассмотренным системам необходимо добавить пентагональную.

Симметрия бесконечных фигур

Рассмотрим идеальный кристалл. В структуре этого кристалла, которую можно представить себе как бесконечные симметричные ряды, сетки и решётки из периодически чередующихся частиц, нет нарушений: все одинаковые частицы расположены одинаковыми параллельными рядами. Расстояния между частицами в большинствекристаллических веществ составляют несколько ангстрем, поэтому даже на длине в 1 мм в кристалле располагается примерно 10 в седьмой степени частиц, что практически можно считать бесконечным числом.

Кратчайшее из возможных расстояний между одинаковыми точками в ряду называется кратчайшей, или элементарной, трансляцией, илипериодом идентичности (рис. ...); иногда употребляют названияпериод трансляции, илипараметр ряда.

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то все одинаковые точки передвинутся на одинаковые расстояния, ряд совместится сам с собой, так что вид его не нарушится. Так производится симметричное преобразование - ряд симметрично сдвигается на один период трансляцииа.

Трансляцией, или преобразованием с помощью трансляции, называется симметричное преобразование, с помощью которого точка повторяется в пространстве.

Повторяя какую-либо точку с помощью трансляции,получим бесконечный периодический ряд идентичных точек на расстоянияха, 2а, За, ..., па. Характеристикой этого ряда является кратчайшая трансляцияа. Одинаковые точки,связанные между собой трансляциями а в бесконечном ряду, называютсяузлами ряда. Узлы не обязательно должны совпадать с материальными частицами вещества, это могутбыть и одинаковые точки между частицами вещества.

Повторяя одинаковые точки с помощью другой трансляции, не параллельной первой, получим двумерную плоскую сетку, которая полностью определена двумяэлементарными трансляциями а и b или тремя произвольными узлами, не лежащими на одной прямой. Параллелограммы, вершины которых являются узлами, называютсяячейками сетки. Плоскую сетку можно определить любой парой трансляций, не лежащих на однойпрямой (рис. а). Выбор такой пары основных параметров плоской сетки не однозначен, но принято выбирать кратчайшие трансляции и именно те, которые лучше всего отражают симметрию сетки.

Выберем в плоской сетке элементарную ячейку; повторяя её с помощью одинаковых трансляций, получим плоскую сетку, заполняющую всю плоскость без промежутков. Элементарную ячейку можно выбирать по-разному (рис. б), но принято выбирать её так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:

наилучшим образом отражала симметрию сетки;

если можно, то имела бы прямые углы;

обладала бы наименьшей площадью.

Примитивной элементарной ячейкой называется ячейка, внутри которой нет узлов(рис. в). Каждый узел, находящийся в вершине такой ячейки, принадлежат одновременно четырём ячейкам, значит, на данную ячейку приходится лишь 1/4 от этого узла, а всего на одну ячейку приходится
узел. Ячейку, на которую приходится один узел,можно выбрать по-разному, но все площади таких ячеек одинаковы независимо от формы ячейки, потому что площадь, есть величина постоянная для данной сетки. Число узлов на единицу площади называетсяретикулярной плотностью сетки.

Таким образом, плоскую сетку можно определить тремя способами:

как пару элементарных неколлинеарных трансляций, или

как систему элементарных узлов, которые могут быть получены один из другого с помощью параллельных переносов, или

как систему одинаковых элементарных ячеек, прилегающих друг к другу, заполняющих плоскость без промежутков и совмещающихся друг с другом с помощью параллельных переносов.

Двумерные группы симметрии можно, как и одномерные, получить, перебрав все сочетания допустимых открытых и закрытых элементов симметрии, добавив затем к каждому такому сочетанию трансляционные компоненты соответствующих плоских сеток. 17 двумерных групп симметрии изображены на рисунке.

П
риложим теперь к произвольной точке три не лежащие в одной плоскости (некомпланарные) элементарные трансляции и повторим её бесконечно в пространстве. Получаемпространственную решётку, т.е. трёхмерную систему эквивалентных узлов.

Основнуютройку трансляций такназываемую трансляционную группу, или группу переносовдля пространственнойрешётки, можно выбрать по -разному, но принято выбирать трансляции кратчайшие и соответствующие симметрии решетки.

Параллелепипед, построенный на трёх элементарных трансляциях а, b ,с, называется элементарным параллелепипедом. илиэлементарной ячейкой. Как и в плоской сетке, объём примитивной элементарной ячейки не зависит от её формы и является величиной постоянной для данной решётки; он равенобъёму, приходящемуся на один узел.

К
ак и плоскую сетку, пространственнуюрешётку можно определить тремя способами:

кактройкуэлементарных некомпланарных трансляций, или

как систему эквивалентных точек, преобразующихся друг в друга с помощью трёх основных трансляций, или

как систему трёх одинаковых параллелепипедов, которые плотно заполняют пространство и могут совмещаться друг с другом с помощью трёх основных трансляций.

Любое из этих определений даёт одну и ту же схему трёхмерной периодичности распределения частиц вещества в кристалле.

За рёбра элементарной ячейки, т.е. за элементарные трансляции, принимают те направления в пространственной решётке, в которых величина трансляции наименьшая и которые наилучшим образом отражают симметрию решётки.

Исходя из идеи о периодическом расположении центров тяжести сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О.Бравэ в 1848 году показал, что всё многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решёток, отличающихся по формам элементарных ячеек и по симметрии и подразделяющихся на 7кристал-

лографических сингоний. Эти решётки были названырешётками Бравэ.

Каждая решётка Бравэ - это группа трансляций , характеризующих располо- жение материальных частиц в пространстве.

Любую кристаллическую

структуру можно предста вить с помощью одной из 14 решёток Бравэ.

Для выбора ячейки Бравэ используют 3 условия:

1) симметрия элементар ной ячейки должна соответствоватьсимметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии той сингоний, к которой относитсякристалл. Рёбра элементарной ячейки должны быть трансляциями;

элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных рёбер;

элементарная ячейка должна иметь минимальный объём.

Эти условия должны выполняться последовательно, т.е. при выбореячейки первое условие важнее второго,а второе важнее третьего.

По характеру взаимного расположения основных трансляций или по расположению узлов все кристаллические решётки разбиваются, по Бравэ, на 4 типа:

примитивные (Р ),

базоцентрированные (С,В или А ),

объёмно-центрированные (I ),

гранецентрированные (F ).

В примитивной Р ячейке узлы решётки располагаются только по вершинам ячейки, ав сложных ячейках имеются ещё узлы. В объёмо-центрированной I - ячейке - один узел в центре ячейки. В гранецентрированнойF -ячейке - по одному узлу в центре каждой грани. В базоцентрированнойС (А, В ) - ячейке - по одному углу в центрах пары параллельных граней.

Чтобы выделить в структуре элементарную ячейку Бравэ, надо найти 3 кратчайшие некомпланарные трансляцииа, b , с, причём каждая трансляция должна начинаться и кончаться на одинаковых узлах. Далее надо проверить основные требования:

1)можно ли на этих трансляциях построить ячейку, отвечающую правилам выбора ячейки Бравэ;

2)все ли частицы в структуре можно получить с помощью такого набора трансляций.

В общем случае каждой сингонии могут отвечать решётки всех четырёх типов (Р, С, I , F ), однако на деле во всех сингониях, кроме ромбической, число возможных решёток Бравэ сокращается за счёт сведения одних типов решёток к другим. Так, например, вкубической решётке: если пара граней кубической элементарной ячейки оказывается центрированной, то в силу кубической симметрии центрируются все остальные грани и вместо базоцентрированной получается гранецентрированная решётка.

Совокупность координат узлов, входящих в элементарную ячейку, называется базисом ячейки. Всю кристаллическую структуру можно получить, повторяя узлы базиса совокупность трансляций ячейки Бравэ. При этом начало координат выбирается в вершине ячейки и координаты узлов выражаются в долях элементарных трансляций а,b, с.

Совокупность всех операций симметрии кристаллической структуры называется пространственной группой симметрии. Вывод 230 пространственных групп симметрии был закончен к 1890 году русским кристаллографом Евграфом Степановичем Фёдоровыми к 1891 году немецким геометром Артуром Шенфлисом. К окончательным результатам первым пришёл Фёдоров, поэтому пространственные группы часто называют фёдоровскими.

Если по своей внешней симметрии (макросимметрии) каждое кристаллическое вещество относится к одному из 32 классов, к одной из 32 точечных групп, то симметрия его кристаллической структуры (микросимметрия) отвечает одной из 230 пространственных групп.

Существование трансляций приводит к возникновению новых элементов симметрии, например, плоскость скользящего отражения (g). Величина скольжения (поступания) плоскости скользящего отражения всегда равна½ трансляционного вектора, совпадающего с направлением скольжения, так как двукратное отражение даёт эквивалентную точку, отстоящую от исходной на величину целого трансляционного вектора.

Предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа . Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра 1 / n , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра 2 / n . Поэтому для отрезка имеем . То есть, при увеличении n в два раза ρ(n ) увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ρ(n ) - линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает . То есть, при увеличении n в два раза ρ(n ) увеличивается в 4 раза. Иными словами, ρ(n ) - квадратичная функция. Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё . Подставляя n = 3 k , получаем . Отсюда следует, что размерность равна ln4 / l n 3 .

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет 4 n равных отрезков, длиной 3 − n . Возьмём за ε отрезок длиной 3 − n , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится 4 n отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→. Получим

Свойства

• Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа , это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
• Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
• Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Фракия (ист. область на Балканском п-ве)
• Фрактальная вселенная

Смотреть что такое "Фрактальная размерность" в других словарях:

Размерность (значения) - Размерность: В математике Теория размерности часть топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность пространства количество независимых параметров, необходимых для… … Википедия

Размерность - Размерность: В математике Теория размерности часть топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность пространства количество независимых параметров, необходимых для описания состояния… … Википедия

Фрактальная графика - Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия

Фрактальная вселенная

Фрактальная космология - Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой… … Википедия

Фрактальная теория - Теория бесконечной вложенности материи (фрактальная теория) в противоположность атомизму, альтернативная философская, физическая и космологическая теория. Данная теория основывается на индуктивных логических выводах о строении наблюдаемой… … Википедия

Турбулентность - О фильме с таким названием см. Турбулентность (фильм). Механика сплошных сред … Википедия

Беспорядочное течение

Турбулентный поток - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Турбуленция - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Книги

• Динамический хаос , С. П. Кузнецов. Излагаются основы представлений о динамическом хаосе - феномене, который активно исследуется в последнее время и встречается в нелинейных системах различной природы - механических,…

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.

По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» . Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба (см. рис. 6). Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Рисунок 6. Самоподобие фракталов на примере множества Мандельброта

С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество дробной размерности .

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальная геометрия -- это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -- это не сферы, горы -- это не конусы, линии берега -- это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» .

Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

Фрактальная размерность

Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства, для поверхности - , для линии - , для точки), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе -- Пеано (1890 г.).

Рисунок 7. Построение линии Пеано

Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту -- точке, линии или плоскости - ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.

Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.

Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной, так что. По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной, то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае, где - размерность объекта (см. рис. 8).

Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками

Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:

Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.

Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности -- рис. 9.

Рисунок 9. Построение множества Кантора

Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,

Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно

Поэтому его фрактальная размерность

Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект, от изменения его линейных размеров :

Для линии. Для плоскости. Для объема.

Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Построение снежинки Кох

Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна, так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от Евклидовой (иначе говоря, топологическая размерность). Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов – извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика – Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей – размерность Хаусдорфа – Безиковича. Что такое размерность и для чего она нам понадобится применительно к анализу финансовых рынков? До этого нам был известен только один вид размерности – топологическая (рис.3.11). Само слово размерность показывает, сколько измерений имеет объект. Для прямой линии она равна 1, т.е. мы имеем только одно измерение, а именно длину прямой. Для плоскости размерность будет 2, так как мы имеем двухмерное измерение, длина и ширина. Для пространства или объемных объектов, размерность равна 3: длина, ширина и высота.

Давайте рассмотрим пример с компьютерными играми. Если игра сделана в 3D графике, то она пространственна и объемна, если в 2D графике – графика изображается на плоскости (рис.3.10).

Самое необычное (правильнее было бы сказать – непривычное) в размерности Хаусдорфа – Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа – Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Размерность характеризует усложнение множества (например, прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость (рис.3.12).

Увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа – Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность, переход с 1 сразу к 2. Размерность Хаусдорфа – Безиковича – и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным, принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,15 для слегка извилистой линии, 1,2 – для более извилистой, 1,5 – для очень извилистой и т.д. (рис.3.13).

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа – Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа – Безиковича, но и любая другая) – это размерность, способная принимать не обязательно целые, но и дробные значения.

Для линейных геометрических фракталов, размерность характеризует их самоподобность. Рассмотрим рис.3.17 (а), линия состоит из N=4 отрезков, каждый из которых имеет длину r =1/3. В итоге получаем соотношение:

D = logN/log(1/r)

Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим о мультифракталах (нелинейных объектах). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных линейных фракталов. В мультифракталах в роли показателя размерности выступает значение Н. Более подробно, мы рассмотрим это в главе «Определение цикла на валютном рынке».

Величина фрактальной размерности может служить индикатором, определяющим количество факторов, влияющих на систему. На валютном рынке размерностью можно охарактеризовать волатильность цены. Для каждой валютной пары характерно свое поведение. У пары GBP/USD поведение более импульсивное, нежели чем у EUR/USD. Самое интересное в том, что данные валюты двигаются одинаковой структурой к ценовым уровням, однако, размерность у них разная, что может сказаться на внутридневной торговле и на ускользающих от неопытного взгляда, изменениях в модели.

При фрактальной размерности менее 1.4, на систему влияет одна или несколько сил, двигающих систему в одном направлении. Если размерность около 1.5, то силы, действующие на систему, разнонаправлены, но более или менее компенсируют друг друга. Поведение системы в этом случае является стохастическим и хорошо описывается классическими статистическими методами. Если же фрактальная размерность значительно более 1.6, система становится неустойчивой и готова перейти в новое состояние. Отсюда можно сделать вывод, что чем более сложную структуру мы наблюдаем, тем все более возрастает вероятность мощного движения.

На рис.3.14 показана размерность применительно к математической модели, для того чтобы вы глубже прониклись в значение данного термина. Обратите внимание, что на всех трех рисунках изображен один цикл. На рис.3.14(а) размерность равна 1.2, на рис.3.14(б) размерность равна 1.5, а на рис.3. 14(в) 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве волатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени.

На рис.3.15 изображена пара EUR/USD в дневном масштабе цен. Обратите внимание, четко видно сформировавшийся цикл и начало нового, большего цикла. Перейдя на часовой масштаб и увеличив один из циклов, мы сможем заметить более мелкие циклы, и часть крупного, расположенного в масштабе D1 (рис.3.16). Детализация циклов, т.е. их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что: фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.

Понятие инвариантности было введено Мандельбротом от слова «scalant» – масштабируемый, т.е. когда объект обладает свойством инвариантности, он имеет различные уровни (масштабы) отображения.

На рисунке кругом «А» выделен мини цикл (детализированная волна), кругом «Б» – волна большего цикла. Благодаря размерности волн, мы всегда сможем определить размер цикла.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной (случайной) природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает множество путей развития, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды.

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминировано, т.е. полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. Пример классической модели можно представить в виде постоянно убывающей, либо возрастающей тенденции. И мы можем предсказать ее поведение, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие, учитывая начальные условия объекта. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Давайте теперь рассмотрим, как из прямой можно получить то, что мы называем фракталом, с присущими ему свойствами.

На рис.3.17(а) изображена кривая Коха. Возьмем отрезок линии, ее длина = 1, т.е. пока еще топологическая размерность. Теперь мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего треугольника. Это стадия два (b) конструкции изображена на рис.3.17(а). В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая по 1/3 длины, так что вся длина – 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это – стадия три (c) . Это даст нам 16 еще меньших долей линии, каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3)2. В итоге получили дробную размерность. Но не только это отличает образовавшуюся структуру от прямой. Она стала самоподобной и ни в одной ее точке невозможно провести касательную (рис.3.17 (б)).