Правила первообразной функции. Первообразная
Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
- первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
- второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .
Решение.
Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .
Пример.
Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.
Решение.
По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t).
Например, если v(t) = аt
, где а
– заданное число, то функция
s(t) = (аt 2) / 2
v(t),
так как
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x).
Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 .
Рассмотрим задачу.
Задача .
Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 .
Решение .
1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x).
2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x).
3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x).
Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно.
Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x).
Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).
Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0.
Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С.
Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная.
Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.
Обратим внимание на правила нахождения первообразных.
Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ).
Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная.
Рассмотрим некоторые значения первообразных.
1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.
2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С.
3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С.
4) Функция: е х . Первообразная: е х + С.
5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С.
6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С.
7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С.
8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С.
9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) .
10) Функция: cos (kx + b), k ≠ 0. Первообразная: (1/k) sin (kx + b).
Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила.
Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:
1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);
2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x).
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Что такое первообразная и как она считается
Мы знаем такую формулу:
\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
Считается эта производная элементарно:
\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]
Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:
\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
Аналогично запишем и такое выражение:
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Вопросы о первообразной функции
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
- Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
- Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
- Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Решение задач со степенными функциями
\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]
Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:
\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]
Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:
\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
- Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
- Для константы — $=const\to \cdot x$
- Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
Решение реальных задач
Задача № 1
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
Задача № 2
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
Посчитаем:
Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]
\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]
\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
- умножать (степени складываются);
- делить (степени вычитаются);
- умножать на константу;
- и т.д.
Решение выражений со степенью с рациональным показателем
Пример № 1
Посчитаем каждый корень отдельно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
Пример № 2
\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]
Следовательно, мы получим:
\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
Пример № 3
Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:
\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]
Перепишем:
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Вспомним формулу квадрата разности:
\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]
Давайте перепишем нашу функцию:
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]
Собираем все в общую конструкцию:
Задача № 2
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]
С учетом этого факта можно записать так:
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]
\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]
\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]
Запишем полученную конструкцию:
Задача № 3
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]
\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
Давайте напишем итоговое решение:
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.
Еще раз переписываем наши конструкции:
В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
И последняя:
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
Пример № 1
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:
Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
Пример № 2
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Исходная конструкция запишется следующим образом:
Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:
\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]
Выражаем $C$:
Осталось отобразить итоговое выражение:
Решение тригонометрических задач
В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
Задача № 1
Вспомним следующую формулу:
\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
Исходя из этого, мы можем записать:
Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:
\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]
Перепишем выражение с учетом этого факта:
Задача № 2
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Вот наша конструкция
Подставим координаты точки $M$:
Итого запишем окончательную конструкцию:
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называютподынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .
Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:
J 2 х^х = х2 + C.
Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.
Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0.
Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.
Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2.
Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:
6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:
7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:
Если , то
8. Свойство:
Если , то
Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе.
Рассмотрим пример:
3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием . При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала »):
Вообще, f’(u)du = d(f(u)). эта (формула очень часто используется при вычислении интегралов.
Найти интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным.
4. Интегрирование методом подстановки.
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Введем новую переменную . Выразимх через z :
Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:
Из таблицы первообразных имеем .
Осталось вернуться к исходной переменной х :
Ответ:
Первообразная.
Первообразную легко понять на примере.
Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:
(х 3)" = 3х 2 .
Следовательно, из функции у = х
3 мы получаем новую функцию: у
= 3х
2 .
Образно говоря, функция у
= х
3 произвела функцию у
= 3х
2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.
То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .
Определение первообразной:
В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .
Интегрирование.
Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Пример-пояснение :
у = 3х 2 + sin x .
Решение :
Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .
Первообразной для sin x является –cos x .
Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:
у = х 3 + (–cos x ),
у = х 3 – cos x .
Ответ
:
для функции у
= 3х
2 + sin x
у = х
3 – cos x
.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Следовательно, для функции у
= 2 sin x
первообразной является функция у
= –2 cos x
.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x
соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.
Пример-пояснение :
Найдем первообразную для функции y = sin 2x .
Решение :
Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .
Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :
1
y
= - · (–cos 2x
),
2
cos 2x
y
= – ----
2
cos 2x
Ответ
: для функции y
= sin 2x
первообразной является функция y
= – ----
2
(4)
Пример-пояснение .
Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .
Для этой функции все первообразные имеют вид:
cos 2x
y
= – ---- + C
.
2
Пояснение .
Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.
В таком же порядке читаются и остальные строчки.
Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:
(-cos x )" = sin x
Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.
Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .
Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .