ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ НИКИТЫ ДЕМИДОВА

Е. В. МЕЛЬНИКОВА

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ СТЕРЖНЯ

ПРАКТИКУМ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ОСВАИВАЮЩИХ ПО ДНЕВНОЙ ФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 220703 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ (ПО ОТРАСЛЯМ); 151901 ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ; 051001 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ; 150401 МЕТАЛЛУРГИЯ ЧЕРНЫХ МЕТАЛЛОВ

Тула, 2012

1 Аннотация 3

2 Теоретическое обоснование 4

3 Контрольные вопросы 5

4 Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил

и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения

стержня 7

5 Примеры решения задач на построение эпюр продольных сил

и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения

стержня 8

6 Анализ наиболее часто встречающихся ошибок. Методические

7 Индивидуальные варианты заданий для выполнения

8 Литература 13

Аннотация

Данное пособие составлено в соответствии с требованиями государственного стандарта для специальностей «Технология машиностроения», «Автоматизация технологических процессов и производств», «Литейное производство черных и цветных металлов» и содержит теоретическое обоснование по разделу «Деформации растяжения – сжатия»; методические рекомендации по решению задач; примеры построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчетов абсолютного удлинения стержня; вариантов заданий для выполнения практических работ.

Пособие позволяет выполнить практическую работу абсолютно самостоятельно, не используя учебники и справочную литературу , практически без консультаций преподавателя.

Теоретическое обоснование

Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями.

Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений, т. е. она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.

Правила построения эпюр продольных сил:

1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.

2 В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т. е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т. е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.

3 Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.

4 Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.

При растяжении – сжатии в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Если они по длине бруса не постоянны, то строят эпюру «s». При этом используют две гипотезы:

1 Гипотеза Бернулли – сечения плоские и нормальные к продольной оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными и после деформации.

2 Принцип Сен – Венана.

Распределение напряжений зависит от способа приложения внешних сил лишь в местах, близких к месту расположения сил. На участках, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений зависит лишь от статического эквивалента этих сил, а не от способа приложения.

Правила построения эпюр нормальных напряжений:

1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.

2 На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле

3 Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.

При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.

∆l = l – l0 - абсолютное удлинение.

e = --- - относительное удлинение или продольная деформация.

Закон Гука при растяжении – сжатии: для большинства конструкционных материалов в известных пределах нагружения продольная деформация прямо пропорциональна нормальным напряжениям.

Е – модуль упругости первого рода, величина, постоянная для каждого материала, характеризует жесткость материала, измеряется в тех же единицах, что и напряжение.

Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:

Контрольные вопросы

1 Какой вид деформации называется растяжением – сжатием?

2 Какие напряжения возникают в поперечных сечениях детали, и как они распределяются по сечению?

3 Для чего строятся эпюры продольных сил и нормальных напряжений?

4 Где проходят границы участков на эпюрах продольных сил и нормальных напряжений?

5 Как определяется величина продольной силы на каждом участке эпюры?

6 Как определяется величина нормального напряжения на каждом участке?

7 Как определяется знак продольной силы и нормального напряжения?

8 В каком случае деталь или участок детали испытывают деформации растяжения, в каком – сжатия?

9 Где находится опасное сечение детали при растяжении – сжатии?

10 Что называется абсолютным удлинением?

11 Что называется относительным удлинением?

12 Сформулируйте закон Гука при растяжении – сжатии.

13 Какой формулой выражается закон Гука при растяжении – сжатии?

14 Что такое модуль упругости первого рода?

15 Напишите формулу Гука.

Если ответы на контрольные вопросы не вызвали у Вас затруднений, это свидетельствует о том, что Вы достаточно хорошо усвоили теоретический материал. Далее внимательно ознакомьтесь с алгоритмом решения задач на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня, рассмотрите примеры решения задач и приступайте к выполнению практической работы.

УСПЕХОВ И ОТЛИЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ!!!

Индивидуальные варианты заданий к практической работе прилагаются в конце данного пособия.

Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и

нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня

1 Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.

2 На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.

3 Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность построения контролируется следующим образом: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.

4 Разбить нулевую линию на участки для построения Эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.

5 На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле

В эту формулу значение продольной силы подставляется с эпюры продольных сил с учетом знака, а значение площади - с чертежа.

6 Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.

7 Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука. В эту формулу значение продольной силы подставляют с эпюры продольных сил с учетом знака; значения длины участка и площади сечения – с чертежа детали.

8 Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом. Для этого нужно найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image002_67.jpg" width="683" height="871 src=">

Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.

Раздел «Растяжение – сжатие» в целом, и непосредственно решение задач подобного типа не является самым сложным в разделе «Сопротивление материалов», но, в то же время, при решении задач студентами встречается и немало трудностей. Наиболее часты следующие ошибки:

1 Неверные расчеты из – за незнания формул или их неверного применения.

Чтобы избежать подобных ошибок, прежде чем приступать к решению задач, необходимо выучить теорию деформации растяжения – сжатия, а также формулы расчета нормальных напряжений и формулу Гука.

2 Неправильно разбиты на участки нулевые линии при построении эпюр.

Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.

3 При построении эпюры продольных сил неправильно определен знак продольной силы.

Правило знаков следующее: если внешняя сила направлена от сечения, т. е. растягивает оставленную часть стержня – продольная сила положительна; если внешняя сила направлена к сечению, т. е. сжимает оставленную часть стержня – продольная сила отрицательна.

4 Неправильно подставлены значения в формулу нормальных напряжений.

Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.

5 Неправильно рассчитаны значения нормальных напряжений из – за неправильного перевода единиц измерения величин, входящих в формулу напряжений.

Чтобы получить значение напряжений в мегапаскалях, в формулу нормальных напряжений продольную силу подставляют в Ньютонах, площадь сечения – в миллиметрах квадратных. Продольную силу также подставляют в формулу с учетом знака.

6 Неправильно рассчитано значение абсолютного удлинения из – за неправильной подстановки значений в формулу Гука.

При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.

7 В формулу нормальных напряжений и формулу Гука вместо продольных сил подставлено значение внешних сил.

Следует помнить, что напряжение – это величина внутреннего усилия, приходящегося на единицу площади. Поэтому в формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.

Задание к практической работе

Для заданной схемы нагружения построить эпюру продольных сил, эпюру изгибающих моментов, рассчитать абсолютное удлинение стержня.

Литература

1 Руководство к решению задач по теоретической механике, М.: - «Высшая школа», 2002

2 , Детали машин – М.: «Высшая школа», 2001

Решение.

1. Построение эпюры N.

На брус действуют три си­лы, следовательно, про­­до­льная си­ла по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых про­­до­льная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в ко­­торых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем про­извольное поперечное сечение, сила в котором определяется по пра­вилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D , начинаем расчеты со свободного конца бруса А .

Участок АВ , сечение 1-1 . Справа от сечения действует растягивающая сила P 1 (рис. 15, а ). В соответствии с упомянутым ранее правилом, по­лу­ча­ем

N AB =+P 1 =40 кН.

Участок ВС , сечение 2-2 . Справа от него расположены две силы, на­правленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

N B С =+P 1 -P 2 =40-90=-50 кН.

Участок СD , сечение 3-3: аналогично получаем

N С D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 кН.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учи­тывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.15,б )

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отри­ца­тель­ные - вниз.

2. Построение эпюры напряжений σ .

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растя­же­нию, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 15, в .

3. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удли­нения отдельных участков бруса, используя закон Гука:

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного за­кре­плен­ного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может сме­щать­ся и его пере­мещение равно нулю:

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Пе­ремещение сечения С определяется по формуле

∆ C =∆l CD =-6,7∙10 -4 м.

При отрицательной (сжимающей) силе точка С сместится влево.

Пере­мещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB . Скл­а­дывая их удлинения, получаем

∆ B =∆l CD +∆l BC =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 м.

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А :

∆ A =∆l CD +∆l BC +∆l AB =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 м.

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычис­лен­ных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, стр­о­­­им эпю­ру перемещений (рис.15, г ).

4. Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем виде:

Максимальное напряжение σ max находим по эпюре напряжений, выби­рая максимальное по абсолютной величине:

σ max =267 Мпа.

Это напряжение действует на участке DC , все сечения которого являются опасным.

Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:

Сравнивая σ max и [σ], видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.

Пример 4

Подобрать из условий прочности и жесткости размеры прямоугольного поперечного сечения чугунного стержня (см. рис. 16, а ).

Дано: F=40 кН; l =0,4 м; [σ p ]=350 Мпа; [σ с ]=800 Мпа; Е=1,2∙10 5 МПа; [∆l]=l/200; h/b=2, где h – высота, b – ширина поперечного сечения.

Рис.16

Решение.

1. Построение эпюры внутренних усилий N

Стержень разделен на 3 участка в зависимости от изменения внешней нагрузки и площади поперечного сечения. Применяя метод сечений, определяем продольную силу на каждом участке.

На участке 1: N 1 =-F=-40 кН.

На участке 2: N 2 =-F+3F=2F=80 кН.

На участке 3: N 3 =-F+3F-2F=F=40 кН.

Эпюра N приведена на рис. 16, б .

2. Построение эпюры нормальных напряжений

Найдем напряжения на участках стержня.

На участке 1:

На участке 2:

На участке 3:

Эпюра σ приведена на рис. 16, в .

3. Нахождение площади поперечного сечения из условия прочности

Наибольшие растягивающие напряжения возникают на участке 2, наибольшие сжимающие напряжения – на участке 1. Для вычисления площади поперечного сечения используем условия прочности σ max . p ≤[σ p ] и σ max .с ≤[σ с ].

Напряжения на участке 1 равны

Следовательно,

Напряжения на участке 2 равны

По условию прочности

Напряжения на участке 3 равны

Следовательно,

Необходимую площадь сечения следует принять из условия прочности при растяжении:

При заданном соотношении h/b=2 площадь поперечного сечения можно записать, как A=h∙b=2b 2 . Размеры поперечного сечения будут равны:

4. Нахождение площади поперечного сечения из условия жесткости

При расчете на жесткость следует учитывать, что перемещение в точке d будет равно сумме деформаций всех участков стержня. Величину абсолютной деформации для каждого участка найдем по формуле

или

На участке 1:

На участке 2:

На участке 3:

Абсолютная деформация всего стержня:

Из условия жесткости ∆l ≤[∆l ], найдем

, откуда

Размеры поперечного сечения будут равны:

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жесткость, принимаем большее значение площади поперечного сечения A=2,65 см 2 .

5. Построение эпюры перемещений 𝜆

Для определения перемещения любого сечения стержня строят эпюру перемещений𝜆 . За начало отсчета принимаем сечение в заделке, так как перемещение этого сечения равно нулю. При построении эпюры последовательно определяем перемещения характерных сечений стержня, которые равны алгебраической сумме изменений длин всех участков от начала отсчета до рассматриваемого сечения.

Сечение а:

Сечение b:

Сечение с:

Сечение d:

Эпюра перемещений λ представлена на рис.16, г .

Пример 5

Для ступенчатого бруса (рис. 17, а ) при Е=2∙10 5 Мпа, σ Т = 240 МПа, требуется определить:

1. Внутренние продольные силы по его длине и построить эпюру продольных сил.

2. Нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюру нормальных напряжений.

3. Запас прочности для опасного сечения.

4. Перемещения сечений и построить эпюру перемещений.

Дано: F 1 = 30кН; F 2 = 20кН; F 3 = 60 кН; l 1 = 0,5м; l 2 = 1,5м; l 3 = 1м; l 4 = 1м; l 5 = l 6 = 1м; d 1 = 4см; d 2 = 2см.

Рис.17

Решение.

1. Определение продольных сил в характерных сечениях бруса, и построение эпюры продольных сил.

Изображаем расчетную схему (рис. 17,а ) и определяем реакцию опоры в заделке, которую направляем с внешней стороны заделки влево. Если в результате определения реакции R В окажется отрицательной, то это указывает на то, что ее направление противоположно. Ступенчатый брус под действием сил F 1 , F 2 , F 3 и реакции R В находятся в равновесии, поэтому для определения R В достаточно составить одно уравнение проекций всех сил на ось х , совпадающую с осью бруса.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Откуда R B =-F 1 -F 2 +F 3 =-30-20+60=10 кН

Разграничим брус на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения (рис. 17,а)

Пользуясь методом сечений, определяем для каждого участка величину и знак продольной силы. Проведем сечение 1–1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части бруса (рис. 17,б). Внутренние силы в каждом сечении условно направляем в сторону отброшенной части. Если внутренняя продольная сила положительна на участке, имеет место деформация растяжения; отрицательна – сжатие.

Рассматривая правую отсеченную часть, находим

ΣF ix =-N 1 -R B =0; N 1 =-R B =-10 кН (сжатие)

Значение продольной силы в пределах первого участка не зависит от того, какую из отсеченных частей мы рассматривали. Целесообразнее всегда рассматривать ту часть бруса, к которой приложено меньше сил. Проведя сечения в пределах второго, третьего и четвертого участков, аналогично найдем:

для сечения 2–2 (рис. 17,в)

ΣF ix =-N 2 +F 3 -R B =0; N 2 =F 3 -R B =60-10=50 кН (растяжение).

для сечения 3–3, рассматриваем левую часть бруса (рис. 17,г)

ΣF ix =-F 1 -N 3 =0; N 3 =F 1 =30 кН (растяжение).

для сечения 4–4 (рис. 17,д)

ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 эта часть бруса не испытывает деформации.

После определения внутренних продольных сил в характерных сечениях, строят график их распределения по длине бруса. График, показывающий, как изменяются продольные силы (N ) при переходе от одного сечения к другому, т.е. график, изображающий закон изменения N вдоль оси бруса, называется эпюрой продольных сил .

Эпюра продольной силы строится в следующей последовательности. В разграниченном на участки брусе провести через точки приложения внешних сил линии, перпендикулярные его оси. На некотором расстоянии от оси бруса провести линию параллельную его оси: на перпендикуляре к этой линии отложить в выбранном масштабе отрезок, соответствующий продольной силе для каждого участка: положительные вверх от оси эпюры, отрицательные – вниз. Через концы отрезков провести линии, параллельные оси. Ось эпюры проводят тонкой линией, а саму эпюру очерчивают толстыми линиями, эпюру штрихуют тонкими линиями, перпендикулярными ее оси. В масштабе каждая линия равна продольной силе в соответствующем сечении бруса. На эпюре указывают знаки плюс и минус и в характерных ее точках, где изменяется сила, проставляют ее значение. В сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы, на эпюре имеются скачки – резкое изменение продольной силы "Скачок" продольной силы равен внешней силе, приложенной в данном сечении, что является проверкой правильности построенной эпюры. На (рис. 18,б) построена эпюра продольных сил для заданного ступенчатого бруса.

2. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и построение эпюры нормальных напряжений.

Нормальные напряжения на каждом участке определяем по формуле σ=N/A, подставляя в ее значение сил (в Н ) и площадей (в мм 2 ). Площади поперечных сечений бруса определяем по формуле A=πd 2 /4

Нормальные напряжения на участках I–VI равны соответственно:

I. т.к. N 4 = 0

В пределах каждого участка напряжение одинаково, так как одинаковы во всех сечениях значения продольной силы и площади поперечного сечения. Эпюра σ очерчена прямыми, параллельными ее оси. Построение по вычисленным значениям эпюры представлена на (рис. 18,в).

3. Определение запаса прочности для опасного сечения.

Из эпюры нормальных напряжений, построенной по длине бруса видно, что наибольшее напряжение возникает в пределах четвертого участка σ max =159,2 Н/мм 2 , следовательно, запас прочности

4. Определение перемещений сечений и построение эпюры перемещений.

Для построения эпюры перемещений достаточно определить перемещения крайних сечений каждого участка. Перемещение сечения определим как алгебраическую сумму деформаций участков стержня, расположенных между этим сечением и заделкой, т.е. неподвижным сечением.

Абсолютные перемещения сечений вычислим по формулам:

Эпюра продольных перемещений представлена на (рис. 18,г). В случае проверки жесткости следует сравнить полученное максимальное значение ∆l = 1,55 мм с допускаемым [∆l ] для данного бруса.

Рис.18

Пример 6

Для ступенчатого бруса (рис.19) требуется:

1. Построить эпюру продольных сил

2. Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюру

3. Построить эпюру перемещений поперечных сечений.

Дано:

Рис.19

Решение.

1. Определим нормальные усилия

Участок AB :

Участок BC :

Участок CD :

Эпюра продольных сил показана на рис.20.

2. Определим нормальные напряжения

Участок AB :

Участок BC :

Участок CD :

Эпюра нормальных напряжений σ показана на рис.20.

3. Определим перемещения поперечных сечений

Эпюра перемещений δ показана на рис.20.

Рис.20

Пример 7

Для ступенчатого стального стержня (рис.21) требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ.

2. Определить продольную деформацию стержня ∆l .

Е = 2∙10 5 МПа; А 1 = 120 мм 2 ; А 2 = 80 мм 2 ; А 3 = 80 мм 2 ; а 1 = 0,1 м; а 2 = 0,2 м; а 3 = 0,2 м; F 1 = 12 кН; F 2 = 18 кН; F 3 = -12 кН.

Решение.

1. Построение эпюр N и σ

Применяем метод сечений.

Участок 1.

ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 кН;

Участок 2.

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 кН;

Участок 3

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 кН;

2. Расчетная схема с истинным направлением внешней нагрузки и расчетными эпюрами.

Рис.21

3. Определение продольной деформации стержня

Пример 8

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами F 1 и F 2 приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 22,а ), требуется

1) Построить эпюры продольных сил,

2) Построить эпюры нормальных напряжений

3) Построить эпюры перемещений поперечных сечений

4) Проверить прочность бруса.

Дано: если материал – сталь ст.3, F = 80 кН, σ т = 240 МПа, А = 4 см 2 , а = 1 м, требуемый коэффициент запаса [n ] = 1,4, Е = 2∙10 5 МПа.

Рис.22

Решение.

1. Статическая сторона задачи .

Поскольку силы F 1 и F 2 действуют вдоль оси стержня на его концах, под действием сил F 1 и F 2 в заделках могут возникнуть только горизонтальные опорные реакции R А и R В . В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой (рис. 22,а ), для которой статика дает лишь одно уравнение равновесия.

ΣF ix = -R А + F 1 + F 2 – R В = 0; R А + R В = F 1 + F 2 = 3F (1)

Неизвестных реактивных сил две R А и R В , следовательно, система один раз статически неопределима, т.е. необходимо составить одно дополнительное уравнение перемещений.

2. Геометрическая сторона задачи .

Для раскрытия статической неопределимости, т.е. составления уравнения перемещений, отбросим одну из заделок, например правую (рис. 22,б ). Получаем статически определимый брус, заделанный одним концом. Такой брус называют основной системой. Действие отброшенной опоры заменяем реакцией R В = Х . В результате имеем статически определимый брус, нагруженный кроме заданных сил F 1 и F 2 неизвестной реактивной силой R В = Х . Этот статически определимый брус нагружен так же как заданный статически неопределимый, т.е. эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух брусьев позволяет утверждать, что второй брус деформируется так же, как первый, т.е. перемещение ∆ В – сечения В равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) оно жестко заделано: ∆ В = 0.

На основе принципа независимости действия сил (результатом действия на тело системы сил не зависит от последовательности их приложения и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности) перемещение сечения В представим как алгебраическую сумму перемещений от сил F 1 , F 2 и Х , т.е. уравнение совместности деформаций примет вид:

∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)

В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о перемещении какого сечения идет речь; вторая – причину, вызывающую это перемещение (силы F 1 , F 2 и Х ).

3. Физическая сторона задачи .

На основании закона Гука выражаем перемещения сечения В, через действующие силы F 1 , F 2 и неизвестную реакцию Х .

На (рис. 22, в, г, д ), показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдельности и перемещения сечения В от этих сил.

Пользуясь этими схемами, определяем перемещения:

равно удлинению участка АС ;

равно удлинению участков АД и ДЕ ;

равно сумме укорочений участков АД, ДК, КВ.

4. Синтез.

Подставим значения , , в уравнение (2), имеем

Следовательно:

Подставляя R В в уравнение (1), получим:

R А + 66,7 =3∙80 = 240

отсюда R А =240–66,7=173,3 кН, R А = 173,3 кН, таким образом, статическая неопределимость раскрыта – имеем статически определимый брус, заделанный одним концом, нагруженный известными силами F 1 , F 2 и Х = 66,7 кН.

Эпюру продольных сил строим как для статически определимого бруса. На основании метода сечений внутренние продольные силы в характерных участках равны:

N АС = R А = 173,3 кН;

N СЕ = R А - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 кН;

N ЕВ = -R А = - 66,7 кН.

Эпюра продольных сил представлена на (рис. 22, е ). Значения нормальных напряжений в характерных сечениях определяем по формуле

Для участка АС

для участка СД

для участка ДЕ

для участка ЕК

для участка КВ

В пределах каждого из участников напряжения постоянны, т.е. эпюра "σ" – прямая, параллельная оси бруса (рис.22, ж ).

При расчете на прочность интерес представляют те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. В рассмотренном примере они не совпадают с теми сечениями, в которых продольные силы максимальны, наибольшее напряжение возникает на участке ЕК , где σ мах = - 166,8 МПа.

Из условия задачи следует, что предельное напряжение для бруса

σ пред = σ т = 240 МПа, поэтому допускаемое напряжение

Отсюда следует, что расчетное напряжение σ = 166,8 МПа < 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Перегрузка или недогрузка допускается в пределах ±5%.

При построении эпюры перемещений достаточно определить перемещения сечений совпадающих с границами участков, так как между указанными сечениями эпюра ∆l имеет линейный характер. Начинаем строить эпюру перемещений от левого защемленного конца бруса, в котором ∆ А = 0; так как оно неподвижно.

Итак, на правом конце бруса в сечении В , ордината эпюры ∆l равна нулю, так как в заданном брусе это сечение жестко защемлено, по вычисленным значениям построена эпюра ∆l (рис.22, з).

Пример 9

Для составного ступенчатого бруса, состоящего из меди и стали и нагруженного сосредоточенной силой F (рис. 23,а ), определить внутренние продольные силы и построить их эпюры, если известны модули упругости материала: для стали E c , для меди E M .

Рис.23

Решение.

1. Составляют уравнение статического равновесия:

ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)

Задача один раз статически неопределима, поскольку обе реакции могут быть определены только из одного уравнения.

2. Условие совместности перемещений должно выразить тот факт, что общая длина бруса не меняется, т.е. перемещения, например, сечения

Используя закон Гука σ=Eε, с учетом того факта, что перемещения какого-либо поперечного сечения бруса численно равны удлинению или укорочению его участков, расположенных между заделкойBи «перемещающимся» сечениемD, преобразуют уравнение (2) к виду:

Отсюда R D =0,33F. (4)

Подставив (4) в (1), определяют

R B =F-R D =F-0,33F=0,67F. (5)

Тогда, применив метод сечений, согласно выражению N i =ΣF i , получают:

N DC =-R D ;N BC =R B .

Приняв для наглядности решения

l M =l ; l c =2l ; A M =4A C ; E C =2E M .

с учетом (4) получают N DC =-R D = -0,33F,

a с учетом (5) получают N BC =R B =0,67F.

Эпюра продольных сил N показана на рис. 16, б.

Расчет на прочность после этого выполняют согласно условию прочности

Пример 10

Брус ступенчато-переменного сечения, расчетная схема которого показана на рисунке 24, находится в условиях центрального (осевого) растяжения-сжатия под действием заданной нагрузки.

Требуется:

1) Раскрыть статическую неопределимость;

2) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений (в буквенном выражении величин);

3) Подобрать сечение бруса по условию прочности;

4) Построить эпюру продольных перемещений поперечных сечений.

Влиянием собственного веса бруса пренебречь, опорные устройства считать абсолютно жесткими.

материал – чугун, допускаемые напряжения (расчетные сопротивления):

Принять: для чугуна

Параметр Fподлежит определению из условий прочности, а параметрP при выполнении п.3 задания, принять:

Примечание:

1) В расчетной схеме между нижним торцом бруса и опорой до нагружения бруса имеется зазор . Коэффициентпринять соответственно равным 1.

2) При отсутствии на расчетной схеме одной из сил P 1 илиP 2 соответствующий коэффициент (α 1 или α 2) считать равным нулю

3) При выполнении п.3 задания следует пользоваться методом допускаемых напряжений

Рис.24

Решение:

1) В результате нагружения бруса, в его заделках возникают реакции направленные вдоль оси (рис.25). Определяем реакцию в заделке. Предварительно направляем ее вверх.

Рис.25

Составляем уравнение равновесия:

Это уравнение является единственным и содержит две неизвестные силы. Следовательно, система один раз статически неопределима.

Раскрываем статическую неопределимость:

Выразим удлинения через силы:

Подставим в уравнение равновесия:

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.

2) Разобьем брус на 3 участка (рис.26), начиная от его свободного конца; границами участков служат сечения, где приложены внешние силы, а также места изменения размеров поперечного сечения.

Рис.26

Произведем произвольное сечение 1 – 1 на участке I, и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условия равновесия оставленной нижней части, изображенной отдельно (рис.27,б ).

На оставленную часть действует сила R B искомое усилие. Проектируя на осьZсилы, действующие остальную часть, получаем.

Проведем произвольное сечение 2 – 2 на участке II, и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условия равновесия оставленной нижней части, изображенной отдельно (рис.27,в ).

.

Проведем произвольное сечение 3 – 3 на участке III, и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условия равновесия оставленной нижней части, изображенной отдельно (рис.27,г ).

.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется N по длине бруса (рис.27,д ).

Эпюру нормальных напряжений получим, разделив значения Nна соответствующие площади поперечных сечений бруса, т.е.

Для Iучастка:

Для IIучастка:

Для IIIучастка:

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.27, е ).

3) Расчет прочности выполняется с использованием условий прочности. Условие прочности конструкции записывается в виде:

где – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения в конструкции;

–допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

Подбор сечения бруса в данном случае осуществляется по условию прочности третьего участка, т.к. на этом участке возникают наибольшие растягивающие напряжения:

Принимаем

По найденному значению параметра F определяем площади сечений участков бруса:

Подбор сечений чугунного бруса по условию прочности на сжатие производить не будем, т.к. наибольшее значения сжимающих напряжений меньше растягивающих, а

4) Построим эпюру продольных перемещений поперечных сечений. Она строится суммированием упругих удлинений участков, начиная с неподвижного конца.

Определим изменение длин участков бруса по формуле:

Для III участка –

Для II участка –

Для I участка –

По условию в расчетной схеме между нижним торцом бруса и опорой до нагружения бруса (участок I) имеется зазор. Коэффициентпо условию равен 1, тогда зазор будет равен.

Находим осевые перемещения сечений бруса по границам участком:

Построим эпюру продольных перемещений поперечных сечений (рис.27, ж ).

Рис.27

Пример 11

Для статически неопределимого стержня (рис.28) требуется построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Дано: l 1 = 1 м;l 2 = 0,8 м;F 2 = 15 см 2 = 15·10 -4 м 2 ;F 2 /F 1 = 2,1;P=190 кН = 190·10 3 Н; ∆t= 30K; δ = 0,006 см = 6·10 -5 м;E= 1·10 5 МПа =1·10 11 Па; α= 17·10 -6 K.

Осевым растяжением (сжатием) прямого стержня называют такой вид его деформации, при котором в произвольном поперечном сечении возникает только одна составляющая внутренних усилий – продольная сила растяжения или сжатия.

Это возможно при условии, что внешняя нагрузка приводится к равнодействующим силам, действующим вдоль оси бруса.

Продольная сила растяжения принимается положительной величиной, а продольная сила сжатия – отрицательной.

Продольные силы определяются по методу сечений. Для этого необходимо разделить стержень на участки, которые ограничены точками оси бруса, где действуют внешние сосредоточенные силы. В пределах каждого участка нужно выбрать произвольное сечение на переменном расстоянии x от начала координат (от какого-нибудь торца стержня) и рассмотреть равновесие одной из частей стержня. При этом часть стержня, равновесие которой рассматривается, нагружается внешними силами и неизвестным продольным усилием N , которое направляется от сечения, то есть в соответствии с растяжением стержня. Используя условие равновесия ΣX i =0 , составляем уравнение равновесия, из которого определяем продольную силу N на каждом участке.

Изменение продольной силы по длине стержня можно отобразить графиком, который имеет название эпюра этого усилия.

Рассмотрим прямой стержень, расположенный горизонтально, жестко закрепленный на правом торце и нагруженный вдоль своей оси внешними силами F 1 , F 2 =2F 1 и F 3 =3F 1 (рис.9.1,а). Эти силы приложены соответственно в точках а, b, c. Закрепленную точку оси стержня обозначим буквой d.

Для определения продольных сил разделим стержень на три участка ab, bc и cd. В пределах каждого участка проведем произвольные поперечные сечения 1-1, 2-2 и 3-3, взятые на расстояниях x 1 , x 2 и x 3 от левого свободного конца стержня.

Отбросим, мысленно, правую часть от сечения 1-1, а ее действие на левую часть заменим неизвестной продольной силой N 1 , которая направлена от сечения (рис.9.1,б) и составим уравнение равновесия:

ΣX i =0, N 1 – F 1 =0 , откуда находим N 1 = F 1 . Таким образом, продольная сила на участке ab не зависит от x 1 и имеет постоянное значение

N 1 = F 1

Отбросим, мысленно, правую от сечения 2-2 часть бруса и заменим её действие на оставшуюся часть бруса неизвестной продольной силой N 2 , которая также направлена от сечения (рис.9.1,в). Составим уравнение равновесия:

ΣX i =0, N 2 – F 1 + 2F 1 =0, откуда находим N 1 = - F 1 . Таким образом, продольная сила на участке bc не зависит от x 2 и имеет отрицательное постоянное значение, то есть на этом участке стержень сжатучастку ильни переризиантажений вдоль оси середжени силы. В пределах каждого участка выбрать произвольный.

Аналогично определяем продольную силу N 3 на участке cd. Рассматриваем равновесие левой части стержня относительно сечения 3-3 (рис.9.1,г) и составляем уравнение равновесия:

ΣX i =0, N 3 – F 1 + 2F 1 – 3F 1 =0, откуда находим N 3 = 2F 1 . На этом участке стержень растягивается силой N 3 = 2F 1 , котораяне зависит от x 3 .

Построим А 1 = 20,2 см2; см4; см4;

эпюру N . Для этого:

Проведем нулевую прямую параллельно оси стержня;

Отложим вверх от нее положительные значения продольной силы, а вниз от нее отрицательные значения, приняв произвольный масштаб;

Соединим прямыми линиями вершины соседних ординат. Эти линии ограничивают эпюру продольных сил на отдельных участках.

На рис.9.1,д начерчена эпюра N . Для возможности ее использования, то есть для определения продольной силы в любом сечении, нужно заштриховать эпюру равномерно расположенными прямыми линиями перпендикулярно оси стержня.

Анализируя эту эпюру легко заметить, что она имеет скачки в точках, где действуют внешние силы. При этом величины скачков равняются действующим силам. На участках между внешними силами продольная сила остается постоянной, т.е. эпюра ограничена прямыми линиями параллельными оси бруса.

Центральное растяжение-сжатие возникает в случае, когда на концах стержня вдоль его оси действуют две равные противоположно направленные силы. При этом в каждом сечении по длине стержня возникает внутреннее усилие ( $N$ кН), которая численно равна сумме всех сил, которые действуют вдоль оси стержня и расположены с одной стороны от сечения.

Из условий равновесия отсеченной части стержня $N = F$.

Продольная сила при растяжении считается положительной, при сжатии - отрицательной .

Пример определения внутренних сил.

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения.

Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами.

На представленном рисунке 3 участка нагружения.

Воспользуемся методом сечений и определим внут-ренние силовые факторы внутри каждого участка.

Расчет начинаем со свободного конца бруса, что-бы не определять величины реакций в опорах.

Продольная сила положи-тельна, участок 1 растянут.

Продольная сила положительна, участок 2 растянут.

Продольная сила отрицательна, участок 3 сжат.

Полученное значение N 3 равно реакции в заделке.

Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис. 20.2, б).

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллельна продольной оси.

Нулевая линия про-водится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз.

В пределах одного участка значение силы не меняется, поэто-му эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.

Напряжения. Действующие и допускаемые напряжения

Величина внутренней силы дает представление о сопротивлении поперечного сечения в целом (интегрально), но не дает представления об интенсивности работы материала в отдельных точках сечения. Так, при равной продольной силе материал в стержне с большим сечением будет работать менее интенсивно, менее напряженно чем меньший.

Напряжения - внутренние силы, приходящиеся на единицу площади сечения. Напряжения, направленные перпендикулярно (по нормали) к сечению называются нормальными .

$\sigma = \frac{N}{A}$

Единицы измерения напряжений - Па, кПа, МПа.

Знаки напряжений принимают так, как и для продольной силы.

Действующие напряжения - напряжения, которые возникают в рассматриваемом сечении.

Любой стержень в момент разрушения имеет определенные напряжения, которые зависят только от материала стержня и не зависят от площади сечения.

Допускаемые напряжения $\left[ \sigma \right]$ - такие напряжения, которые не должны быть превышены в запроектированных конструкциях. Допустимые напряжения зависят от прочности материала, характера его разрушения, степени ответственности конструкции.

Принцип Сен-Венана : в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, распределение напряжений не зависит от способа приложения нагрузки, а зависит только от его равнодействующей.

то есть, распределение напряжений в сечении I-I для трех различных случаев, показанных на рисунке, принимается одинаковым.

Рисунок - иллюстрация принципа Сен-Венана

Абсолютная и относительная деформация

При растяжении возникает удлинение стержня - разница между длиной стержня до и после погрузки. Эта величина называется абсолютной деформацией .

$\Delta l = {l_1} - l$

Относительная деформация - отношение абсолютной деформации к первоначальной длине.

$\varepsilon = \frac{{\Delta l}}{l}$

$\sigma = E \cdot \varepsilon $

Таблица - физико-механические характеристики материалов

Материал	Модуль упругости, х10 10 Па	Коэффициент Пуассона
Сталь	19 - 21	0,25 - 0,33
Чугун	11,5 - 16	0,23 - 0,27
Медь, латунь, бронза		0,31 - 0,42
Алюминий		0,32 - 0,36
Кирпичная кладка
Бетон	1 - 3	0,1 - 0,17
Каучук	0,0008	0,47

Возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил . Эпюра продольных сил необходима для оценки стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).

Как строить эпюру продольных сил?

Для построении эпюры N используется . Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).

Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении .

Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.

Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.

При этом применяем следующее : силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».

Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.

Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.

Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат.