, дифференциальной геометрии , теории чисел , приближённым вычислениям , небесной механике , математической физике , оптике , баллистике , кораблестроению , теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. В 1726 г . был приглашён работать в Санкт-Петербург , в г. переехал жить в Россию . В - и начиная с гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в - гг. работал в Берлине , оставаясь почётным членом Петербургской Академии).

Вклад в науку

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность.

Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

«Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель», - любил повторять Лаплас . И труды Эйлера с большой пользой для себя читали - точнее, изучали - и «король математиков» Карл Фридрих Гаусс , и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий.

Евклидова геометрия

• Точки Эйлера;

Теория графов

• Решение задачи о семи мостах Кёнигсберга .

Топология

• Формула Эйлера для многогранников.

Вычислительная математика

• метод ломаных Эйлера, один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет.

Комбинаторика

• Элементарная теория разбиений ;
• Метод производящих функций .

Математический анализ

• Эйлеровы интегралы: бета-функция и гамма-функция Эйлера.

Механика

• Уравнения Эйлера, описывающими движение невязкой среды;
• Углы Эйлера при описании движения тел;
• Кинематическая формула Эйлера распределения скоростей в твёрдом теле;
• Уравнения Эйлера - Пуассона динамики твёрдого тела;
• Случай интегрируемости Эйлера в динамике твёрдого тела.

Инженерное дело

• Эвольвентный профиль в зубчатых передачах.

Биография

В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии. Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов; приобретал из Петербурга книги инструменты; у него на квартире, на полном пансионе, разумеется, за соответствующую оплату (которую, кстати, канцелярия Академии присылала с большим опозданием), годами жили молодые русские учёные, командированные на стажировку.

В г. вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: «Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости».

Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходят его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» ( г.), «Морская наука» ( г.), «Теория движения луны» ( г.), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755 г .) - не говоря уже о десятках статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий.

Огромную популярность приобрели в XVIII , а отчасти и в XIX в. Эйлеровы «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе…», которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках.

Эйлер не стремиться удивить читателя; он вместе с читателем как бы проходит весь путь, ведущий к открытию, показывает всю цепь рассуждений и умозаключений, приводящую к результату. Он умеет поставить себя в положение ученика; он знает, в чём ученик может встретить затруднение, - и стремиться предупредить это затруднение.

В г. Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения. Почти сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.

Эйлер «выдавал» в среднем 800 страниц «ин-кварто» в год. Это было бы немало даже для создателя романов; для математика же такой объём научных трудов очень чётко изложенных, включающих механику и теорию чисел, анализ и музыку, астрономию и физику, теорию вероятностей и оптику… - просто не укладывается в сознании! Однако в г. на русский престол вступила Екатерина II , получившая прозвище «Великая», которая осуществляла политику просвещённого абсолютизма . Она хорошо понимала значение науки как для процветания государства, так и для собственного престижа; провела ряд важных по тому времени преобразований в системе народного просвещения и культуры.

Фридрих II «отпускал» на Берлинскую Академию лишь 13 тыс. талеров в год, а Екатерина II ассигновала свыше 60 тыс. рублей - сумму более значительную. Императрица приказала предложить Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, - говорилось в письме, - благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».

Эйлер подаёт Фридриху прошение об увольнении со службы. Тот не отвечает. Эйлер пишет вторично - но Фридрих не желает даже обсуждать вопрос об отъезде Эйлера. В ответ на это он перестаёт работать для Берлинской Академии. 30 апреля г. Фридрих наконец-то разрешает великому учёному уехать в Россию. Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей. Екатерина осыпала учёного милостями: пожаловала деньги на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза - он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки.

В г. в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Пётр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо. Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной.

В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию - и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились было наблюдать 9 местных светил медицины. Но вся операция заняла 3 минуты - и Эйлер снова стал видеть! Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Но разве мог Эйлер «не вычислять»? Уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно. Однако, как ни странно, отнёсся он к событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе, кстати сказать, вполне разборчиво, ибо кое-как мог отличить белый цвет от чёрного.

В г. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет - до самой своей смерти - Эйлер именно ему диктовал свои труды.

В г. умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами старшего сына» и ряда своих учеников

В сентябре г. учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 () сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с А. И. Лекселем об недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. «Эйлер перестал жить и вычислять». Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Леонарду Эйлеру - Петербургская Академия».

В 1955 г . прах великого математика и надгробный памятник перенесены в «Некрополь XVIII в.» на Лазаревском кладбище , Квант , № 11, 1983

Б. Делоне , «Леонард Эйлер» Квант , № 5, 1974

Первоначальная версия этой статьи была взята из

Леонард Эйлер - швейцарский математик и физик, один из основателей чистой математики. Он не только сделал основополагающий и формирующий вклад в геометрию, исчисление, механику и теорию чисел, но также разработал методы решения задач наблюдательной астрономии и применил математику в технике и общественных делах.

Эйлер (математик): краткая биография

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. Он был первенцем Паулюса Эйлера и Маргареты Брукер. Отец являлся выходцем из скромного рода ремесленников, а предками Маргареты Брукер был ряд известных ученых. Паулюс Эйлер в то время служил викарием в церкви святого Якоба. Будучи богословом, отец Леонарда интересовался математикой, и в течение первых двух лет обучения в университете посещал курсы знаменитого Примерно через полтора года после рождения сына семья переехала в Риен, пригород Базеля, где Паулюс Эйлер стал пастором в местном приходе. Там он добросовестно и преданно служил до конца своих дней.

Семья жила в стесненных условиях, особенно после рождения второго ребенка, Анны-Марии, в 1708 году. У четы появятся еще двое детей - Мария Магдалена и Иоганн Генрих.

Первые уроки математики Леонард получил дома от своего отца. Примерно в возрасте восьми лет его отправили в латинскую школу в Базеле, где он жил в доме своей бабушки по материнской линии. Чтобы компенсировать низкое качество школьного образования того времени, отец нанял частного репетитора, молодого богослова по имени Йоханнес Буркхардт, страстного любителя математики.

В октябре 1720 года в возрасте 13 лет Леонард поступил в Базельский университет на философский факультет (обычное дело в то время), где посещал вводные занятия по элементарной математике Иоганна Бернулли, младшего брата почившего к тому времени Якоба.

Молодой Эйлер с таким усердием принялся за учебу, что вскоре привлек внимание преподавателя, который поощрил его изучать более сложные книги собственного сочинения и даже предложил помогать в учебе по субботам. В 1723 году Леонард завершил образование со степенью магистра и прочитал публичную лекцию на латинском языке, в которой сравнил систему Декарта с натуральной философией Ньютона.

Следуя пожеланиям своих родителей, он поступил на богословский факультет, посвящая, однако, большую часть времени математике. В конечном итоге, вероятно, по настоянию Иоганна Бернулли, отец принял как должное предназначение сына делать научную, а не теологическую карьеру.

В 19 лет математик Эйлер осмелился соревноваться с крупнейшими учеными того времени, приняв участие в конкурсе на решение задачи Парижской академии наук об оптимальном размещении корабельных мачт. В тот момент он, никогда в своей жизни не видевший кораблей, первый приз не выиграл, но занял престижное второе место. Через год, когда появилась вакансия на кафедре физики в Базельском университете, Леонард, при поддержке своего наставника Иоганна Бернулли, решил побороться за место, но проиграл из-за своего возраста и отсутствия внушительного перечня публикаций. В некотором смысле ему повезло, так как он смог принять приглашение Санкт-Петербургской академии наук, основанной несколькими годами ранее царем Петром I, где Эйлер нашел более перспективное поприще, позволившее ему развиться в полной мере. Основную роль в этом сыграли Бернулли и два его сына, Никлаус II и Даниэль I, которые активно там работали.

Санкт-Петербург (1727-1741): стремительный взлет

Эйлер провел зиму 1726 года в Базеле, изучая анатомию и физиологию в рамках подготовки к исполнению своих ожидаемых обязанностей в академии. Когда он прибыл в Санкт-Петербург и начал работать адъюнктом, стало очевидным, что он должен полностью посвятить себя математическим наукам. Кроме того, от Эйлера требовалось участвовать в принятии экзаменов в кадетском корпусе и консультировать правительство по различным научно-техническим вопросам.

Леонард легко адаптировался к новым суровым условиям жизни на севере Европы. В отличие от большинства других иностранных членов академии, он сразу же начал изучать русский язык и быстро его освоил, причем в письменной и устной формах. Некоторое время он жил с Даниэлем Бернулли и дружил с Кристианом Гольдбахом, постоянным секретарем академии, известным сегодня по своей до сих пор не решенной проблеме, согласно которой любое четное число, начиная с 4, может быть представлено суммой двух простых чисел. Обширная переписка между ними является важным источником по истории науки в XVIII веке.

Леонард Эйлер, достижения в математике которого мгновенно принесли ему мировую известность и повысили его статус, провел в академии свои наиболее плодотворные годы.

В январе 1734 г. он женился на Катарине Гзель, дочери швейцарского художника, преподававшего вместе с Эйлером, и они переехали в собственный дом. В браке появилось на свет 13 детей, из которых, однако, лишь пятеро достигли совершеннолетия. Первенец, Иоганн Альбрехт, также стал математиком, и позже помогал отцу в его работе.

Эйлера не обошли невзгоды. В 1735 году он серьезно заболел и чуть не умер. К великому облегчению всех он поправился, но через три года снова заболел. На этот раз болезнь стоила ему правого глаза, что отчетливо видно на всех портретах ученого с того времени.

Политическая нестабильность в России, которая наступила после смерти царицы Анны Ивановны, вынудила Эйлера покинуть Санкт-Петербург. Тем более что он имел приглашение от прусского короля Фридриха II приехать в Берлин и помочь создать академию наук там.

В июне 1741 года Леонард вместе со своей женой Катариной, 6-летним Йоханном Альбрехтом и годовалым Карлом выехал из Санкт-Петербурга в Берлин.

Работа в Берлине (1741-1766)

Военная кампания в Силезии отложила планы Фридриха II по учреждению академии. И только в 1746 году она, наконец, была образована. Президентом стал Пьер-Луи Моро де Мопертюи, а Эйлер занял пост директора математического отделения. Но до этого он не оставался без дела. Леонард написал около 20 научных статей, 5 основных трактатов и составил более 200 писем.

Несмотря на то что Эйлер исполнял множество обязанностей - отвечал за обсерваторию и ботанические сады, решал кадровые и финансовые вопросы, занимался продажей альманахов, составивших основной источник дохода академии, не говоря уже о различных технологических и инженерных проектах, его математическая работоспособность не пострадала.

Также он не слишком отвлекался на скандал о первенстве открытия принципа наименьшего действия, разразившийся в начале 1750-х годов, на которое претендовал Мопертюи, что оспаривалось швейцарским ученым и новоизбранным академиком Иоганном Самуэлем Кенигом, говорившем о его упоминании Лейбницем в письме к математику Якобу Герману. Кениг был близок к обвинению Мопертюи в плагиате. Когда его попросили предъявить письмо, он не смог этого сделать, и Эйлеру поручили расследовать данный случай. Не питая симпатий к тот встал на сторону президента и обвинил Кенига в мошенничестве. Точка кипения была достигнута, когда Вольтер, занявший сторону Кенига, написал уничижительную сатиру, высмеявшую Мопертюи и не пощадившую Эйлера. Президент был так расстроен, что вскоре покинул Берлин, и Эйлеру пришлось вести дела, де-факто возглавив академию.

Семья ученого

Леонард стал настолько состоятельным, что приобрел усадьбу в Шарлоттенбурге, западном пригороде Берлина, достаточно большую, чтобы обеспечить уютное проживание своей овдовевшей матери, которую привез в Берлин в 1750 году, сводной сестре и всем своим детям.

В 1754 году его первенец Иоганн Альбрехт по рекомендации Мопертюи в возрасте 20 лет также был избран членом Берлинской академии. В 1762 году его работа о возмущениях орбит комет притяжением планет получила приз Петербургской академии, который он разделил с Алексис-Клод Клеро. Второй сын Эйлера, Карл, изучал медицину в Галле, а третий, Кристоф, стал офицером. Его дочь Шарлотта вышла замуж за голландского аристократа, а ее старшая сестра Хелена в 1777 году - за русского офицера.

Козни короля

Отношения ученого с Фридрихом II не были легкими. Отчасти это обуславливалось заметной разницей в личных и философских склонностях: Фредерик - гордый, уверенный в себе, элегантный и остроумный собеседник, сочувствующий математик Эйлер - скромный, незаметный, приземленный и набожный протестант. Другой, возможно, более важной причиной была обида Леонарда на то, что ему так и не был предложен пост президента Берлинской академии. Эта обида только возросла после ухода Мопертюи и усилий Эйлера удержать учреждение на плаву, когда Фридрих пытался заинтересовать президентским креслом Жана Лерона Д"Аламбера. Последний в самом деле приехал в Берлин, но только чтобы сообщить королю о своей незаинтересованности и рекомендовать Леонарда. Фридрих не только проигнорировал совет Д"Аламбера, но демонстративно объявил себя главой академии. Это, наряду со многими другими отказами короля, в конце концов, привело к тому, что биография математика Эйлера снова делала крутой поворот.

В 1766 году, вопреки препятствиям со стороны монарха, он покинул Берлин. Леонард принял приглашение императрицы Екатерины II вернуться в Санкт-Петербург, где был торжественно встречен вновь.

Опять Санкт-Петербург (1766-1783)

Высокочтимый в академии и обожаемый при дворе Екатерины, великий математик Эйлер занимал чрезвычайно престижную должность и пользовался влиянием, в котором ему так долго отказывали в Берлине. Фактически он играл роль духовного лидера, если не руководителя академии. К сожалению, однако, со здоровьем у него не все складывалось так хорошо. Катаракта левого глаза, начавшая беспокоить его в Берлине, становилась все серьезнее, и в 1771 году Эйлер решился на операцию. Ее следствием стало формирование абсцесса, который почти полностью разрушил зрение.

Позже в том же году во время большого пожара в Санкт-Петербурге его деревянный дом вспыхнул, и почти слепому Эйлеру удалось не сгореть заживо только благодаря героическому спасению Питером Гриммом, мастеровым из Базеля. Чтобы облегчить несчастье, императрица выделила средства на строительство нового дома.

Еще один тяжелый удар постиг Эйлера в 1773 г., когда умерла его жена. Спустя 3 года, чтобы не зависеть от своих детей, он женился во второй раз на ее сводной сестре Саломее-Авигее Гзель (1723-1794).

Несмотря на все эти роковые события, математик Л. Эйлер остался преданным науке. Действительно, около половины его работ было опубликовано или зародилось в Санкт-Петербурге. Среди них два его «бестселлера» - «Письма к немецкой принцессе» и «Алгебра». Естественно, он бы не смог этого сделать без хорошего секретаря и технической помощи, которую ему оказывал, среди прочих, Никлаус Фусс, соотечественник из Базеля и будущий муж внучки Эйлера. Посильное участие в процессе принимал и его сын Иоганн Альбрехт. Последний также выступал в качестве стенографиста сессий академии, на которых ученый, как старейший действительный член, должен был председательствовать.

Смерть

Великий математик Леонард Эйлер умер от инсульта 18 сентября 1783 года во время игры со своим внуком. В день смерти на двух его больших были обнаружены формулы, описывающие полет на воздушном шаре, совершенный 5 июня 1783 в Париже братьями Монгольфье. Идея была развита и подготовлена к изданию сыном Иоганном. Это была последняя статья ученого, опубликованная в 1784-м томе Memoires. Леонард Эйлер и его вклад в математику были настолько велики, что поток статей, ожидавших своей очереди в академических изданиях, еще печатался в течение 50 лет после смерти ученого.

Научная деятельность в Базеле

За короткий базельский период вклад Эйлера в математику составили труды по изохронным и взаимным кривым, а также работа на соискание приза Парижской академии. Но основным трудом на этом этапе стала Dissertatio Physica de sono, поданная в поддержку своего выдвижения на кафедру физики в Базельском университете, о природе и распространении звука, в частности, о скорости звука и его генерации музыкальными инструментами.

Первый санкт-петербургский период

Несмотря на проблемы со здоровьем, которые испытывал Эйлер, достижения в не могут не вызывать удивления. За это время, кроме основных работ по механике, теории музыки, а также военно-морской архитектуре, он написал 70 статей на самые разные темы, от математического анализа и теории чисел до конкретных задач по физике, механике и астрономии.

Двухтомник «Механика» стал началом далеко идущего замысла всеобъемлющего обзора всех аспектов механики, включая механику твердых, гибких и упругих тел, а также жидкостей и небесной механики.

Как видно из записных книжек Эйлера, еще в Базеле он много думал о музыке и музыкальной композиции и планировал написать книгу. Эти планы созрели в Санкт-Петербурге и дали начало труду Tentamen, опубликованному в 1739 году. Произведение начинается с обсуждения природы звука как вибрации частиц воздуха, в том числе его распространения, физиологии слухового восприятия и генерации звука струнными и духовыми инструментами.

Ядро работы составила теория удовольствия, вызываемого музыкой, которую Эйлер создал, присвоив интервалу тона, аккорду или их последовательности численные значения, степени, составляющие «приятность» данной музыкальной конструкции: чем ниже степень, тем выше удовольствие. Работа сделана в контексте любимой автором диатонической хроматической темперации, но также дана полная математическая теория темпераций (как античных, так и современных). Эйлер не был единственным, кто пытался превратить музыку в точную науку: Декарт и Мерсенн сделали то же самое до него, как и Д"Аламбер и многие другие после него.

Двухтомник Scientia Navalis - второй этап его разработки рациональной механики. В книге изложены принципы гидростатики и развивается теория равновесия и колебаний трёхмерных тел, погруженных в воду. Работа содержит зачатки механики твердых тел, которая позже кристаллизуется в книге Theoria Motus corporum solidorum seu rigidorum, третьем крупном трактате по механике. Во втором томе теория применяется к судам, кораблестроению и навигации.

Невероятно, но Леонард Эйлер, достижения в математике которого в этот период были впечатляющими, имел время и выносливость, чтобы написать 300-страничный труд по элементарной арифметике для использования в гимназиях Санкт-Петербурга. Как повезло тем детям, которым преподавал великий ученый!

Берлинские работы

Помимо 280 статей, многие из которых были весьма важными, в этот период математик Леонард Эйлер создал целый ряд эпохальных научных трактатов.

Задача о брахистохроне - поиск пути, по которому точечная масса движется под действием силы тяжести из одной точки в вертикальной плоскости к другой за кратчайшее время - является ранним примером задачи, созданной Иоганном Бернулли, по поиску функции (или кривой), которая оптимизирует аналитическое выражение, зависящее от этой функции. В 1744-м, а затем в 1766-м Эйлер значительно обобщает эту проблему, создав совершенно новый раздел математики - «вариационное исчисление».

Два меньших трактата, о траекториях планет и комет и по оптике, появились примерно в 1744 и 1746 гг. Последний представляет исторический интерес, поскольку он начал дискуссию о ньютоновых частицах и волновой теории света Эйлера.

В знак уважения к своему нанимателю, королю Фридриху II, Леонард перевел важную работу по баллистике англичанина Бенджамина Робинса, хотя тот и несправедливо критиковал его «Механику» 1736 г. Он добавил, однако, так много комментариев, пояснительных записок и исправлений, что в результате книга «Артиллерия» (1745) по объему в 5 раз превысила оригинал.

В двухтомнике «Введение в анализ бесконечно малых» (1748) математик Эйлер позиционирует анализ как независимую дисциплину, обобщает свои многочисленные открытия в области бесконечных рядов, бесконечных произведений и непрерывных дробей. Он развивает четкую концепцию функции действительных и комплексных значений и подчеркивает фундаментальную роль в анализе числа е, экспоненциальной и логарифмической функций. Второй том посвящен аналитической геометрии: теории алгебраических кривых и поверхностей.

«Дифференциальное исчисление» также состоит из двух частей, первая из которых посвящена исчислению различий и дифференциалов, а вторая - теории степенных рядов и суммирующих формул с большим количеством примеров. Здесь, кстати, содержится первый напечатанный ряд Фурье.

В трехтомном «Интегральном исчислении» математик Эйлер рассматривает квадратуры (т. е. бесконечные итерации) элементарных функций и техники приведения к ним линейных дифференциальных уравнений, подробно описывает теорию линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

На протяжении всех лет в Берлине и позднее Леонард занимался геометрической оптикой. Его статьи и книги по этой теме, в том числе монументальный трехтомник «Диоптрика», составили семь томов Opera Omnia. Центральной темой этой работы являлось улучшение оптических приборов, таких как телескопы и микроскопы, способы устранения хроматических и сферических аберраций через сложную систему линз и заполняющих жидкостей.

Эйлер (математик): интересные факты второго санкт-петербургского периода

Это было наиболее продуктивное время, в течение которого ученый опубликовал более 400 работ по уже упомянутым темам, а также по геометрии, теории вероятностей и статистике, картографии, и даже о пенсионных фондах для вдов и о сельском хозяйстве. Из них можно выделить три трактата по алгебре, теории Луны и военно-морской науке, а также по теории чисел, натуральной философии и диоптрике.

Здесь появился очередной его «бестселлер» - «Алгебра». Имя математика Эйлера украсило эту 500-страничную работу, которая написана с целью обучить данной дисциплине абсолютного новичка. Он диктовал книгу молодому подмастерью, которого привез с собой из Берлина, и когда труд был закончен, тот во всем разобрался и был в состоянии с большой легкостью решать заданные ему алгебраические задачи.

«Вторая теория судов» также предназначалась для людей, не имеющих познаний в математике, а именно - матросов. Не удивительно, что благодаря необыкновенному дидактическому мастерству автора работа оказалась очень успешной. Министр морского флота и финансов Франции Анн-Робер Тюрго предложил королю обязать всех студентов морских, а также артиллерийских школ изучать трактат Эйлера. Весьма вероятно, что одним из тех студентов оказался Наполеон Бонапарт. Король даже заплатил математику 1000 рублей за привилегию переиздания работы, и императрица Екатерина II, не желая уступать королю, удвоила сумму, и великий математик Леонард Эйлер дополнительно получил 2000 рублей!

Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй.

Доминик Араго

Математические формулы у Эйлера жили своей собственной жизнью и рассказывали ему важные и существенные данные о природе вещей. Ему было достаточно только коснуться их, как они из немых букв преображались в красноречивые фразы, дающие глубокий и значительный ответ на различные вопросы.

Современник Эйлера

Вместе с Петром I и Ломоносовым, Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим её славу, её крепость, её продуктивность.

С.И. Вавилов

Леонард Эйлер (15 апреля 1707 - 18 сентября 1783) - швейцарский, немецкий и российский учёный, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Он стал первым, кто в своих работах начал возводить последовательное здание анализа бесконечно малых. Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», анализ стал вполне оформившейся наукой - одним из самых глубоких научных достижений человечества. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. Эйлер хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С.К. Котельников) и астрономы (С.Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из потомков Эйлера до сих пор живут в России.

Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике. Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам, интересуясь математикой, преподавал её и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базель для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его всё больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли - Николаем и Даниилом - возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Эйлера.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I. Уезжая, Бернулли обещали Леонарду известить его, если найдётся и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера есть место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Леонард немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Прилежно и успешно изучая науки медицинского факультета, Эйлер находит время и для математических занятий. За это время он написал напечатанную потом, в 1727 году, в Базеле диссертацию о распространении звука и исследование по вопросу о размещении мачт на корабле.

В столице Российской Империи молодого спеца, меньше чем за год научившегося довольно бегло говорить по-русски, тут же загрузили работой, причем, не всегда связанной с математикой. Дефицит специалистов привел к тому, что ученого то заряжали заданиями по картографии, то требовали письменных консультаций для кораблестроителей и артиллеристов, то поручали конструирование пожарных насосов, а то и вовсе вменяли в обязанность составление придворных гороскопов. Все эти задания Эйлер аккуратно исполнял, и только требования по вопросам астрологии категорически переадресовывал к придворным астрономам. Предсказания в России всегда были делом повышенной опасности и требовали особой осторожности.

В Петербурге имелись самые благоприятные условия для расцвета гения Эйлера: материальная обеспеченность, возможность заниматься любимым делом, наличие ежегодного журнала для публикации трудов. Здесь же работала самая большая тогда в мире группа специалистов в области математических наук, в которую входили Даниил Бернулли (его брат Николай скончался в 1726 году), разносторонний Х. Гольдбах, с которым Эйлера связывали общие интересы к теории чисел и другим вопросам, автор работ по тригонометрии Ф.Х. Майера, астроном и географ Ж.Н. Делиль, математик и физик Г.В. Крафт и другие. С этого времени Петербургская академия стала одним из главных центров математики в мире.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживлённой переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя всё более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук: в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т.е. действительным членом академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д. Бернулли, возвратившийся в том же году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашёл своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «учёнейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году - к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году - к «несравненному Леонарду Эйлеру - главе математиков».

В 1735 году академии потребовалось выполнить весьма сложную работу по расчёту траектории кометы. По мнению академиков, на это нужно было употребить несколько месяцев труда. Эйлер взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервною горячкою с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Вскоре после этого, в 1736 году, появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году - новая теория музыки. Затем в 1840 году Эйлер написал сочинение о приливах и отливах морей, увенчанное одной третью премии Французской академии; две других трети были присуждены Даниилу Бернулли и Маклорену за сочинения на ту же тему.

В конце 1740 года после смерти императрицы Анны Иоанновны царем стал малолетний Иоанн IV. Правившая в это время империей регент Иоанна Анна Леопольдовна наукам никакого внимания не уделяла, и Академия постепенно приходила в запустение. «Предвиделось нечто опасное, - писал потом Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве… положение начало представляться неуверенным». Поэтому ученый воспринял приглашение Фридриха как подарок судьбы и тут же подал прошение, в котором писал: «Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом».

Несмотря на общее прохладное отношение к науке, государственная администрация вовсе не горела желанием вот так запросто отпускать уже признанное мировое светило. С другой стороны, и не отпустить было нельзя. Поэтому, в результате недолгих переговоров, от математика удалось получить обещание, даже проживая в Берлине всячески помогать России. Взамен ему присвоили звание почетного члена Академии с окладом 200 рублей. Наконец, 29 мая 1741 года все документы были выправлены, и уже в июне Эйлер, вместе со всем своим семейством, женой, детьми и четырьмя племянниками прибыл в Берлин.

Говорят, что когда на балу, устроенном в честь приезда в Берлин знаменитого математика Леонарда Эйлера, королева-мать спросила ученого, почему он так немногословен, тот ответил: «Прошу меня простить, но я только что из страны, где за лишнее слово могут повесить». Однако через 25 лет он опять вернулся в эту «ужасную страну». Так велико для него было притяжение России.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое учёное общество, а затем был приглашён в состав вновь восстановленной Королевской академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нём указывается на способ интегрирования рациональных дробей путём разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере сохраняется и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа - вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж и, таким образом, сложилась новая наука.

В 1744 году Эйлер напечатал в Берлине три сочинения о движении светил: первое - теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит из нескольких наблюдений; второе и третье - о движении комет.

Семьдесят пять работ Эйлер посвятил геометрии. Часть из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввёл так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки.

В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер нашёл соотношение между числом вершин, рёбер и граней многогранника: сумма числа вершин и граней равна числу рёбер плюс два . Такое соотношение предполагал ещё Декарт, но Эйлер доказал его в своих мемуарах. Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии - самой глубокой части геометрии.

Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Эйлер издал в 1762 году сочинение, в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Долдонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Эйлера, построил первые ахроматические объективы.

В 1765 году Эйлер написал сочинение, где решает дифференциальные уравнения вращения твёрдого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твёрдого тела.

Много написал учёный сочинений об изгибе и колебании упругих стержней. Вопросы эти интересны не только в математическом, но и в практическом отношении.

Фридрих Великий давал учёному поручения чисто инженерного характера. Так, в 1749 году он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелом и Одером и дать рекомендации по исправлению недостатков этого водного пути. Далее ему поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси.

Результатом этого стало более двадцати мемуаров по гидравлике, написанных Эйлером в разное время. Уравнения гидродинамики первого порядка с частными производными от проекций скорости, плотности к давлению называются гидродинамическими уравнениями Эйлера.

Покинув Петербург, Эйлер сохранил самую тесную связь с русской Академией наук, в том числе официальную: он был её почётным членом, получал крупную ежегодную пенсию, и со своей стороны, выполнял взятые на себя обязательства в отношении дальнейшего сотрудничества. Слово, данное перед тем, как покинуть Россию, ученый держал строго. Он закупал для нашей академии книги, физические и астрономические приборы, подбирал в других странах сотрудников, сообщая подробнейшие характеристики возможных кандидатов, редактировал математический отдел академических записок, выступал как арбитр в научных спорах между петербургскими учёными, присылал темы для научных конкурсов, а также информацию о новых научных открытиях.

В доме Эйлера на полном пансионе жили отправленные на стажировку молодые русские ученые. Именно здесь он познакомился и подружился с перспективным студентом московских «Спасских школ» Михаилом Ломоносовым, в котором больше всего отмечал «счастливое сочетание теории с экспериментом». Когда в 1747 году президент Академии наук граф Разумовский попросил его дать отзыв о статьях молодого ученого, Эйлер оценил их очень высоко:

Все сии диссертации, не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он (Ломоносов) пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов.

Надо сказать, что весьма заносчивый, самолюбивый и сложный в общении Михаил Васильевич также до конца дней любил своего берлинского учителя, писал ему дружеские письма и считал одним из величайших ученых мира.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской академии наук Гольдбахом мы находим две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое нечётное натуральное число есть сумма трёх простых чисел, а всякое чётное - двух. Первое из этих утверждений было при помощи, весьма замечательного, метода доказано уже в наше время (1937) академиком И.М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

Европейская слава и признание заслуг Эйлера всё расли. Но это никак не влияло на холодное отношение к нему властьпредержащих царственных особ Пруссии. Когда в 1759 году умер президент Берлинской Академии наук Мопертюи, Фридрих II долго не мог найти ему замену. Французский ученый-энциклопедист Жан Д`Аламбер, к которому король обратился в первую очередь, отказался от заманчивого предложения, посчитав, что в Берлине есть более достойная кандидатура на этот пост. Наконец Фридрих смирился и таки отдал Эйлеру руководство Академией. Но титул президента присвоить ему отказался категорически.

В России же об Эйлере помнили и очень ценили сотрудничество с ним. Так во время семилетней войны русская артиллерия случайно разрушила дом ученого в Шарлоттенбурге (пригород Берлина). Узнавший об этом фельдмаршал Салтыков тут же возместил ученому все нанесенные потери. А когда весть о неудачном артобстреле достигла императрицы Елизаветы, она распорядилась от себя лично прислать берлинскому другу еще 4000 рублей, что было огромной суммой.

В 1762 году на русский престол заступила Екатерина II, мечтавшая установить в стране «просвещенную монархию». Возвращение в страну видного математика она видела одной из важнейших своих задач. Поэтому вскоре Эйлер получил от нее весьма интересное предложение: возглавить математический класс, получив при этом звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, - говорилось в ее поручении дипломатическим представителям, - благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург.»

Эйлер, и правда, благоволил выдвинуть встречные условия:

Пост вице-президента Академии с окладом 3000 рублей;

Ежегодную пенсию 1000 рублей супруге в случае его смерти;

Оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.

Такая дерзость со стороны какого-то математика возмутила представителя императорской администрации, видного российского дипломата графа Воронцова. Однако сама императрица думала по-другому. «Письмо к Вам г. Эйлера, - писала она графу, - доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание - говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей… Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека».

Получив заверения в том, что все его условия приняты на самом высоком уровне, Эйлер немедленно написал Фридриху заявление с просьбой об отставке. Возможно, из-за нежелания отпускать видного ученого, возможно - из-за негативного к нему отношения, а скорее всего - от всего этого вместе, король не просто отказал, а именно проигнорировал обращение Эйлера, не дав на него никакого ответа. Эйлер написал еще одно прошение. С тем же результатом. Тогда математик просто демонстративно прекратил работу в Академии. Наконец, с просьбой отпустить ученого к королю Пруссии обратилась сама Екатерина. Только после такого высокого вмешательства Фридрих разрешил математику покинуть Пруссию.

В июле 1766 года ученый вместе с 17 домочадцами прибыл в Санкт-Петербург. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина, теперь уже Вторая, встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

Старший из его сыновей Иоганн Альбрехт стал академиком в области физики, Карл занял высокую должность в медицинском ведомстве, Христофора, родившегося в Берлине, Фридрих II долго не отпускал с военной службы, и потребовалось очередное вмешательство Екатерины II, чтобы тот смог приехать к отцу. Христофор был назначен директором Сестрорецкого оружейного завода.

К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта левого глаза - он почти перестал видеть.

Эйлер, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, продолжал работать, диктовать свои новые мемуары. Только с 1769 по 1783 год Эйлер продиктовал около 380 статей и сочинений, а за свою жизнь написал около 900 научных работ.

Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т.е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной.

В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развёрнута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить лишь изгибая плоскость, но не растягивая её и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой.

Столь же замечательны работы Эйлера по картографическим проекциям.

Можно себе представить, каким откровением для математиков той эпохи явились хотя бы работы Эйлера о кривизне поверхностей и о развёртывающихся поверхностях. Работы же, в которых Эйлер исследует отображения поверхности, сохраняющие подобие в малом (конформные отображения), основанные на теории функций комплексного переменного, должны были казаться прямо-таки трансцендентными. А работа о многогранниках начинала совсем новую часть геометрии и по своей принципиальности и глубине стояла в ряду с открытиями Евклида.

В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом.

В сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно.

В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет - до самой своей смерти - Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников.

В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил сорок лет. Через три года он вступил в брак с её сестрой, Саломеей Гзелль. Завидное здоровье и счастливый характер помогали Эйлеру «противостоять ударам судьбы, которые выпали на его долю… Всегда ровное настроение, мягкая и естественная бодрость, какая-то добродушная насмешливость, умение наивно и забавно рассказывать делали разговор с ним столь же приятным, сколь и желанным…» Он мог иногда вспылить, но «был не способен долго питать против кого-либо злобу…» — вспоминал Фусс.

Эйлера постоянно окружали многочисленные внуки, часто на руках у него сидел ребёнок, а на шее лежала кошка. Он сам занимался с детьми математикой. И всё это не мешало ему работать!

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век - это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрозненны и не всегда согласованны, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте формула Эйлера:

и как следствие, тождество Эйлера связывающее пять фундаментальных математических констант:

операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e , обозначение i для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое.

По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин - теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т.д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.

Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов.

П.Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.

Эйлер нашёл доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной из них, а знаменитую Великую теорему Ферма доказал для «трёх» и «четырёх». Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил в содержательную теорию чисел. Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида - простые; оказалось, что делится на 641.

Он также доказал, что всякое простое число вида 4n +1 всегда разлагается на сумму квадратов других двух чисел.

Дал одно из решений задачи о четырёх кубах.

Эйлер показал, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел.

Ввел дзета-функцию, обобщение которой получило впоследствии имя Римана:

где s вещественно. Эйлер вывел для неё разложение:

где произведение берётся по всем простым числам p . Благодаря этому он доказал, что сумма ряда обратных простых расходится.

Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой - монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768 - 1770 годах - три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники. Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования были опубликованы в данных трудах.

Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер выполнил настолько глубокое исследование этой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера - Маскерони.

Эйлер делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления. В 1744 году Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению «Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума».

Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера. Большое впечатление на математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе, не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

Эйлер был первым, кто широко использовал степенные ряды для выражения функций, например:

Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций - тоже его заслуга, так же как и их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши - Римана», более правильно было бы назвать «условиями Даламбера - Эйлера».

Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы - ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения.

С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека спустя), но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер действовал здесь достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превзошло стандартное понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX - начале XX века.

Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений.

Он исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём.

При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.

Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике, акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29-летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика становится прикладной математической дисциплиной.

В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей», в которых положено начало теоретической гидродинамике. Выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости. Разобраны решения системы для разных частных случаев.

Эйлер обобщил принцип наименьшего действия, довольно путано изложенный Мопертюи, и указал на его основополагающее значение в механике. К сожалению, он не раскрыл вариационный характер этого принципа, но всё же привлёк к нему внимание физиков, которые позднее выяснили его фундаментальную роль в природе.

Эйлер много работал в области небесной механики. Он заложил основу теории возмущений, позднее завершённой Лапласом, и разработал очень точную теорию движения Луны. Эта теория оказалась пригодной для решения насущной задачи определения долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Эйлеру специальную премию.

В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения.

Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времен. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Он был не только математиком, но и физиком, и астрономом. Его труды оказали огромное влияние на развитие этих наук. Нет учёного, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Великий французский математик Лаплас сказал о работах Эйлера:

Читайте, читайте Эйлера - он наш великий учитель.

Почти сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.

В начале 1780-х годов Эйлер все чаще стал жаловаться на головные боли и общую слабость. 18 сентября 1883 года он вел послеобеденную беседу с академиком Андреем Лекселем. Оба математики и астрономы, они обсуждали недавно открытую планету Уран и ее орбиту. Внезапно Эйлер почувствовал себя плохо. Он только успел сказать: «Я умираю», - после чего сразу потерял сознание. Через несколько часов, незадолго до полуночи, его не стало. Врачи установили, что смерть произошла от кровоизлияния в мозг.

Он был похоронен рядом с первой женой на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове. Академия заказала известному скульптору Ж.Д. Рашетту, хорошо знавшему Эйлера, мраморный бюст покойного, а княгиня Дашкова подарила мраморный пьедестал. На надгробном камне высекли слова: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера».

В 1955 году прах великого математика был перенесён в «Некрополь XVIII века» на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Плохо сохранившийся надгробный памятник при этом заменили.

Дети математика так и остались в России. Старший сын, тоже талантливый математик и механик Иоганн Эйлер (1734-1800), как и обещала императрица Екатерина, был секретарем Императорской академии наук, которого сменил Фусс, а в 1826 году - сын Фусса, Павел Николаевич, так что организационной стороной жизни академии около ста лет ведали потомки Леонарда Эйлера. Младший, Христофор (1743-1808), дослужился до генерал-лейтенанта и командовал Сестрорецким оружейным заводом. Внук, Александр Христофорович (1773-1849) стал генералом от артиллерии, героем Отечественной войны 1812 года. Еще один потомок, правда вернувшийся на родину предков, в Швецию, Ханс Карл Август Симон фон Эйлер-Хельпин (1873-1964) стал известным биохимиком, иностранным членом Академии Наук СССР, лауреатом Нобелевской премии по химии за 1929 год. Другую Нобелевскую премию, только уже в 1970 году, получил его сын, шведский биолог Ульф фон Ойлер (1905-1983).

Эйлеровские традиции оказали сильное влияние на П.Л. Чебышева и его учеников: А.М. Ляпунова, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарёва, А.А. Маркова и других, определив основные черты петербургской математической школы.

В честь Эйлера названы:

• улица в Алма-Ате
• кратер на Луне
• астероид
• Международный математический институт им. Леонарда Эйлера Российской Академии наук, основанный в 1988 году в Петербурге
• благотворительный фонд поддержки отечественных учёных
• Медаль, с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений за достижения в этой области математики.

В 2007 году Центробанк РФ выпустил памятную монету в ознаменование 300-летия со дня рождения Леонарда Эйлера:

Портрет Эйлера помещался также на швейцарскую 10-франковую банкноту

и на почтовые марки Швейцарии, России и Германии.

Имя Эйлера носят следующие математические объекты:

• теорема Эйлера в теории чисел
• теорема вращения Эйлера
• теорема Эйлера в планиметрии
• теорема Эйлера в комбинаторике
• гипотеза Эйлера в теории чисел
• теорема Эйлера для многогранников
• лемма Эйлера
• уравнения Эйлера - Лагранжа
• уравнения Эйлера - Пуассона
• уравнения Эйлера в механике
• уравнение Эйлера в гидродинамике
• эйлеровы точки либрации
• уравнение Эйлера - Бернулли
• функция Эйлера в теории чисел
• функция Эйлера в комплексном анализе
• тождество Эйлера в теории чисел
• тождество Эйлера в комплексном анализе
• тождество Эйлера о четырёх квадратах
• тождество Эйлера в алгебре многочленов
• формула Эйлера в комплексном анализе
• формула Эйлера в кинематике твёрдого тела
• формула Эйлера в геометрии треугольника
• формула Эйлера в геометрии четырёхугольника
• формула Эйлера для суммы первых членов гармоничного ряда.
• формула Эйлера в теории графов
• эйлерова характеристика (алгебраическая топология)
• интегралы Эйлера первого рода и второго рода
• интеграл Эйлера - Пуассона
• постоянная Эйлера - Маскерони
• число Эйлера
• углы Эйлера
• многочлены Эйлера
• преобразование Эйлера
• прямая Эйлера в геометрии треугольника
• окружность Эйлера (окружность девяти точек)
• круги Эйлера
• эйлеров цикл, эйлерова цепь, эйлеров граф в теории графов
• эйлеров сплайн
• эйлерова сила
• подстановки Эйлера.

По материалам книг: Д. Самин «100 великих учёных» (Москва, «Вече», 2004) и «Шеренга великих математиков» (Варшава, изд. Наша Ксенгарня, 1970), сайта aif.ru и Википедии.

В 1707 году в швейцарском городе Базель в семье священника Пауля Эйлера родился мальчик по имени Леонардо, которому было предписано стать одним из выдающихся математиков того времени. Феноменальная память, высокая трудоспособность, стремление к новым знаниям Леонардо Эйлер проявил уже в раннем возрасте. В 13 лет Леонардо Эйлер был зачислен на факультет искусство Базельского университета. Отец мечтал о карьере священника для своего любимого сына Леонардо. Однако незаурядные математические способности, которыми обладал мальчик, нельзя было зарывать в землю. Вскоре Леонардо станет учеником известного швейцарского математика Иоганна Бернулли.

Спустя некоторое время сыновья Иоганна Бернулли был приглашены в Петербург, а вместе с ними и Леонардо Эйлер. Чрезвычайно талантливый молодой ученый быстро становится широко известным. Его приглашают в Академию наук. В 1727 г. Леонардо Эйлер вступает в Академию наук в звании адъюнкта по физиологии. В 1731 году получает звание профессора физики и становится действительным членом Академии наук. А спустя два года уже возглавляет кафедру высшей математики.

Эрудиция Эйлера поражала его современников. Он был одним из самых образованных ученых: знал греческий, латинский, прекрасно владел немецким, французский, русский и другими языками. Помимо математики, физики и астрономии, имел глубокие познания в области географии, химии, ботаники, анатомии, медицины и в других отраслях науки и техники. Увлекался музыкой и литературой, знал наизусть «Энеиду» Виргилия.

Гениальный математик, выдающийся физик, инфеженер и астроном, географ и виртуозный вычислитель Леонардо Эйлер внес неоценимый вклад в становление российских научных кадоров. Составленное им «Руководство к арифметике», переведенное на русский язык оказало значительное влияние на мировую и российскую учебную литературу.

Научная деятельность Эйлера восхищала глубиной мысли, разнообразием интересов, идей и невероятной продуктивностью. Эйлер одновременно являлся членом многих европейских академии и научных школ. Грандиозная и напряженная работа Эйлера негативно сказалась на его здоровье. В 1735 году Леонардо Эйлер лишился правого глаза, а в 1766 г. потерял и второй глаз. Потеряв зрение полностью, Эйлер не прекратил своей научной деятельности, его трудоспособности могли лишь позавидовать. Часть своих трудов ослепший ученый диктовал писцу. Писцом Эйлера был мальчик-портной, которого ученый приютил и обучил грамоте.

В области математического анализа Эйлер написал множество трудов, сделал огромное количество открытий. Влияние Эйлера на развитие высшей математики было существенным. Именно Леонардо Эйлер привел тригонометрию к известному нам виду, одним из первых сформулировал понятие функции. Его имя носят множество математических понятий, среди них: диаграммы Эйлера, интегралы Эйлера, метод ломаных, окружность Эйлера, подстановки Эйлера, теорема Эйлера и многие другие.

Научное наследие Эйлера чрезвычайно велико. Он сумел добиться блестящих результатов в математическом анализе, геометрии, теории чисел, вариационном исчислении, механике и других приложениях математики. Полное собрание научных трудов Леонардо Эйлера состоит из 72 томов.

Эйлер являет собой образец научного гения, чья деятельность стала достоянием всего человечества. Школьники всего мира изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. В высшей школе студенты обучаются высшей математике согласно классическим монографиям Эйлера. Гениальный математик, Эйлер знал, что плодотворной почвой науки прежде всего является практическая деятельность.

Пожалуй, нет ни одной значимой области математики, в которой не оставил бы след один из лучших математиков XVIIIв. Леонард Эйлер.

Леонард Эйлер, сын пастора, родился и сделал свои первые шаги в швейцарском городе Базеле в 1707 году 15 апреля.

Начальное образование мальчик получил дома. Его отец, пастор Павел, с ранних лет готовил сына к духовному поприщу.

Отец вложил в мальчика всевозможные знания, надеясь на всестороннее воспитание сына. Способности к точным наукам проявились у ребенка с первых шагов их изучения. Павел, интересующийся математикой, постарался передать свои познания юному сыну.

Начало карьеры гения

Фундамент знаний, полученных Леонардом от отца, оказался очень объемным и прочным. Дальнейшее обучение в гимназии города Базеля и поступление в университет свободных искусств, в возрасте 13 лет, результат домашней подготовки.

Все предметы давались Эйлеру легко. На лекциях Иоганна Бернулли Эйлер сразу привлекает внимание преподавателя своими способностями. Для талантливого ученика, швейцарский математик с мировым именем, самый знаменитый представитель семьи Бернулли, устанавливает индивидуальный курс обучения.

Бернулли знакомит Эйлера с трудами математических гениев, учит пониманию и анализу математических расчетов. Благодаря методике обучения Иоганна Бернулли, Леонард Эйлер удостаивается первой ученой степени магистра искусств в возрасте шестнадцати лет. Им представлена работа аналитического сравнения трудов Декарта и Ньютона на латинском языке.

Дальнейшие научные изыскания Эйлера связаны с братьями Бернулли. Их отъезд в Петербургскую академию наук послужил Эйлеру совершению новых шагов. Бернулли сообщили Леонарду о возможности получения места физиолога в академии при медицинском отделении. Эйлер поступает в Базельский университет на факультет медицины, при этом он не оставляет математику.

Научная деятельность в Петербурге и Берлине

Необычайная широта интересов и творческая продуктивность послужили в Петербурге основой взлета гения Леонарда Эйлера. Условия жизни позволили Эйлеру посвятить все свое время любимым трудам в области математики, физики. В этот период Петербургская академия наук получает статус главного центра математики мирового значения.

Улучшается положение Леонарда Эйлера в Академии наук: с 1727 по 1740 год Эйлер, занявший пост руководителя кафедры математики, издает свои труды, посвященные геометрии, аналитической механике, арифметике. За издание работы о морских приливах и отливах ученый получает премию Академии наук Франции.

Начало возрождения Берлинского Общества Наук, прародителем которого был Лейбниц, немецкий философ, математик, юрист, дипломат, прусский король Фридрих II начал с приглашения талантливых ученых. Эйлер одним из первых ученых получил приглашение на должность декана отделения математики.

Леонард Эйлер издаёт несколько трудов по математике. Математическому анализу ученый посвятил почти все свои математические труды. Эти трактаты были сформулированы настолько просто и доступно, что ими пользуются математики нынешних дней.

Возвращение в Петербург

Работая в Берлине, Эйлер не теряет связи с Россией. Он переписывается с Ломоносовым, своим другом академиком Петербургской академии наук Гольдбахом. Ученого не оставляли мысли о России. В 1766 году он принимает приглашение императрицы и возвращается в Петербург в Академию наук.

Сыновья Эйлера

• старший Иоганн Альбрехт в должности академика в сфере физики,
• Карл принял ведущую должность в одном из органов медицинского управления,
• младший сын Христофор приехал к отцу из Берлина после вмешательства императрицы. Сестрорецкий оружейный завод принял нового директора в лице младшего сына великого ученого.

Последние дни гения

Непрерывная работа, обучение студентов, написание трудов сказались на травмированном ранее глазе. Ученый стал терять зрение. Однако способности гения, его уникальная память помогали ему в его работе. Он диктовал свои статьи и соображения по геометрии и математике. Их число достигло 380 с 1769 по 1793 годы.

С момента становления ученого до его последних дней им было издано свыше 900 научных трудов. Каждый из них состоит из блестящих соображений и выводов, которые применяются современными пользователями в их первозданном написании. Работы последних лет:

• «Об ортогональных траекториях», наиболее важная в математической области (1769 год);

работа «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость», (1771 год);

уникальные труды по картографическим проекциям, в которых Эйлер первый научно обосновал выбор параллелей сечения в конических проекциях.

Труды Эйлера касались различных областей науки. Только этому гению без особого труда удалось создать единую систему из таких математических дисциплин, как алгебра, тригонометрия, геометрия, теория чисел. Многие научные открытия были добавлены Эйлером в эту систему. Им были созданы новые математические дисциплины, которые до нынешних дней преподаются студентам в неизменном виде.

Его научные изыскания были обширны не только в математике. Астрономия, картография, инженерное дело также получили много открытий и разработок благодаря исследованиям Эйлера. Научные исследования Леонард Эйлер продолжал до последних дней, будучи совсем слепым. Смерть наступила 18(29).09.1783г в результате инсульта в окружении близких ему помощников профессоров Лекселя и Крафта.