Как решать квадратные уравнения без с. Квадратные уравнения
», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.
Что называют квадратным уравнением
Важно!
Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.
Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.
Примеры квадратных уравнений
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:
A x 2 + b x + c = 0
«a », «b » и «c » — заданные числа.- «a » — первый или старший коэффициент;
- «b » — второй коэффициент;
- «c » — свободный член.
Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».
Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.
Уравнение | Коэффициенты | |||
---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
1 |
3 |
- a = −1
- b = 1
- с =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- с = 0
- a = 1
- b = 0
- с = −8
Как решать квадратные уравнения
В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .
Запомните!
Чтобы решить квадратное уравнение нужно:
- привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
- использовать формулу для корней:
Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.
X 2 − 3x − 4 = 0
Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .
Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
С её помощью решается любое квадратное уравнение.
В формуле «x 1;2 =
» часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac
» на букву «D
» и называют
дискриминантом
. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
«Что такое дискриминант ».
Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.
x 2 + 9 + x = 7x
В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Теперь можно использовать формулу для корней.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
6 |
2 |
x = 3
Ответ: x = 3
Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение
.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
- с помощью дискриминанта
- с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} z + \frac{1}{7}z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки
. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Решить
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac{4}{9}=0 \)
имеет вид
\(ax^2+bx+c=0, \)
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = -7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями
.
Определение.
Квадратным уравнением
называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа,
причём \(a \neq 0 \).
Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \(a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением
.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \(c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
\(x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ -\frac{c}{a}} \)
Так как \(c \neq 0 \), то \(-\frac{c}{a} \neq 0 \)
Если \(-\frac{c}{a}>0 \), то уравнение имеет два корня.
Если \(-\frac{c}{a} Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ ax+b=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\frac{b}{a} \end{array} \right. \)
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}=0 \)
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\(x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow \)
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения
ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни -
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\(D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a} \), где \(D= b^2-4ac \)
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \(x=-\frac{b}{2a} \).
3) Если D Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x 1 и x 2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0
обладают свойством:
\(\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array} \right. \)
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Дискриминант позволяет решать любые квадратные уравнения с помощью общей формулы, которая имеет следующий вид:
Формула дискриминанта зависит от степени многочлена. Вышеописанная формула подойдет для решения квадратных уравнений следующего вида:
Дискриминант имеет следующие свойства, которые необходимо знать:
* "D" равен 0, когда многочлен имеет кратные корни (равные корни);
* "D" является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
Допустим, нам дано квадратное уравнение следующего вида:
1 уравнение
По формуле имеем:
Поскольку \, то уравнение имеет 2 корня. Определим их:
Где можно решить уравнение через дискриминант онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.