Как построить функцию y sinx. Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики — Гипермаркет знаний
Урок и презентация на тему: "Функция y=sin(x). Определения и свойства"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
- Свойства функции Y=sin(X).
- График функции.
- Как строить график и его масштаб.
- Примеры.
Свойства синуса. Y=sin(X)
Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?
Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)
Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если
выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.
4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = - π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).
Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .
Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс - единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).
Построение графика функции синус х, y=sin(x)
Посчитаем значения функции на нашем отрезке:
Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.
Таблица преобразований для формул привидения
Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:
Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; - π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.
График функции Y=sin(X) называют - синусоидой.
Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.
Примеры задач с синусом
1. Решить уравнение sin(x)= x-π
Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π
2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1
Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.
Задачи на синус для самостоятельного решения
- Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
- Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]
Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение синуса и косинуса
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
y = sin x | y = cos x | |
Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
Возрастание | ||
Убывание | ||
Максимумы, y = 1 | ||
Минимумы, y = -1 | ||
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
{ -∞ < x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Железо ржавеет, не находя себе применения,
стоячая вода гниет или на холоде замерзает,
а ум человека, не находя себе применения, чахнет.
Леонардо да Винчи
Используемые технологии: проблемного обучения, критического мышления, коммуникативного общения.
Цели:
- Развитие познавательного интереса к обучению.
- Изучение свойств функции у = sin x.
- Формирование практических навыков построения графика функции у = sin x на основе изученного теоретического материала.
Задачи:
1. Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функции у = sin x в конкретных ситуациях.
2. Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями функции у = sin x.
Развивать инициативу, определенную готовность и интерес к поиску решения; умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом, отстаивать свою точку зрения.
Воспитывать у учащихся познавательную активность, чувство ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе; культуру общения.
Ход урока
1 этап. Актуализация опорных знаний, мотивация изучения нового материала
"Вход в урок".
На доске написаны 3 утверждения:
- Тригонометрическое уравнение sin t = a всегда имеет решения.
- График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.
- График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.
Учащиеся обсуждают в парах: верны ли утверждения? (1 минута). Затем результаты первоначального обсуждения (да, нет) вносятся в таблицу в столбец "До".
Учитель ставит цели и задачи урока.
2. Актуализация знаний (фронтально на модели тригонометрического круга ).
Мы уже познакомились с функцией s = sin t.
1) Какие значения может принимать переменная t. Какова область определения этой функции?
2) В каком промежутке заключены значения выражения sin t. Найти наибольшее и наименьшее значения функции s = sin t.
3) Решите уравнение sin t = 0.
4) Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция s = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке ).
5) Запишем функцию s = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.
х | 0 | ||||||
у | 0 | 1 | 0 |
2 этап. Восприятие, осмысление, первичное закрепление, непроизвольное запоминание
4 этап. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях
6. № 10.18 (б,в)
5 этап. Итоговый контроль, коррекция, оценка и самооценка
7. Возвращаемся к утверждениям (начало урока), обсуждаем, используя свойства тригонометрической функции у = sin x, и заполняем в таблице столбец "После".
8. Д/з: п.10, №№ 10.7(а), 10.8(б), 10.11(б), 10.16(а)
>>Математика: Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства функций у = sin х,у = соs х и построим их графики.
1. Функция у = sin X.
Выше, в § 20, мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число cos t, т.е. охарактеризовали функцию y = sin t. Отметим некоторые ее свойства.
Свойства функции u = sin t.
Область определения - множество К действительных чисел.
Это следует из того, что любому числу 2 соответствует на числовой окружности точка М(1), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть cos t.
u = sin t - нечетная функция.
Это следует из того, что, как было доказано в § 19, для любого t выполняется равенство
Значит, график функции и = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOи.
Функция u = sin t возрастает на отрезке
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 - см. рис. 115), а при движении точки по второй четверти числовой окружности ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 - см. рис. 116).
Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху. Это следует из того, что, как мы видели в § 19, для любого t справедливо неравенство
(этого значения функция достигает в любои точке вида (этого значения функция достигает в любой точке вида
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо u - sin t будем писать у = sin x (ведь нам привычнее запись у = f(х), а не u = f(t)). Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу (а не tOy).
Составим таблицу значений функции у - sin х:
Замечание.
Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука).
Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию.
Линию, служащую графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 118 или 119, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 117, называют полуволной или аркой синусоиды.
2. Функция у = соs х.
Изучение функции у = соs х можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы , важные сами по себе (в этом вы убедитесь в старших классах), но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.
Для любого значения t справедливы равенства
Доказательство
. Пусть числу t соответствует точка М числовой n окружности, а числу * + - -точка Р (рис. 124; ради простоты мы взяли точку М в первой четверти). Дуги АМ и ВР равны, соответственно равны и прямоугольные треугольники ОКМ и ОЬР. Значит, О К = ОЬ, МК = РЬ. Из этих равенств и из расположения треугольников ОКМ и ОЬР в системе координат делаем два вывода:
1) ордината точки Р и по модулю и по знаку совпадает с абсциссой точки М; это значит, что
2) абсцисса точки Р по модулю равна ординате точки М, но отличается от нее знаком; это значит, что
Примерно так же проводятся соответствующие рассуждения в тех случаях, когда точка М принадлежит не первой четверти.
Воспользуемся формулой (это - формула, доказанная выше, только вместо переменной t мы используем переменную х). Что дает нам эта формула? Она позволяет утверждать, что функции
тождественны, значит, их графики совпадают.
Построим график функции Для этого перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (пунктирная прямая проведена на рис. 125). Привяжем функцию у = sin х к новой системе координат - это и будет график функции (рис. 125), т.е. график функции у - соs х. Его, как и график функции у = sin х, называют синусоидой (что вполне естественно).
Свойства функции у = соs х.
у = соs х - четная функция.
Этапы построения отражены на рис. 126:
1) строим график функции у = соs х (точнее, одну полуволну);
2) растянув построенный график от оси х с коэффициентом 0,5, получим одну полуволну требуемого графика;
3) с помощью полученной полуволны строим весь график функции у = 0,5 соs х.