Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x 2) · x 2 < 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2 < 0.

Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:

Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.

Преобразование логарифмических неравенств

Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:

1. Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
2. Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.

Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:

1. Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
2. Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
3. Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Задача. Решите неравенство:

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Затем - нули знаменателя:

x − 1 = 0;
x = 1.

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

log 2 (x − 1) 2 < 2;
log 2 (x − 1) 2 < log 2 2 2 .

Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

(f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) < 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x 2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x 2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).

Получили два множества:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).

Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:

Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Цели урока:

Дидактические:

• 1 уровень – научить решать простейшие логарифмические неравенства, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
• 2 уровень – решать логарифмические неравенства, выбирая самостоятельно способ решения;
• 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.

Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, навыки сравнения, уметь обобщать и делать выводы

Воспитательные: воспитывать аккуратность, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, самоуправления, контроля.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный, индивидуальный, работа в парах.

Оборудование: набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые листы для решений.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент. Объявляются тема и цели урока, схема проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств.

Все решения после самооценки сдаются учителю.

Оценочный лист учащегося

2. Актуализация знаний.

Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др.

Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма; изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического неравенства, сводящегося к квадратному.

3. Изучение нового материала.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Учебный элемент № 1.

Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств

Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная работа.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу.

КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.

Учебный элемент № 2.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства логарифмов.

Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого прочитайте текст учебника на с.92, 103–104.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут.

КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б.

Учебный элемент № 3.

Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к квадратному.

Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том, что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное неравенство относительно этой переменной.

Применим метод интервалов.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все свои знания и возможности.

Учебный элемент № 4.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно рациональный способ решения.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут

Учебный элемент № 5.

Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.

Задания для самостоятельного решения:

Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием. Молодцы!

Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным элементам:

• если N ≥ 20, то вы получаете оценку “5”,
• при 16 ≤ N ≤ 19 – оценка “4”,
• при 8 ≤ N ≤ 15 – оценка “3”,
• при N < 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Оценочные лисы сдать учителю.

5. Домашнее задание: если вы набрали не более 15 б – выполните работу над ошибками (решения можно взять у учителя), если вы набрали более 15 б – выполните творческое задание по теме “Логарифмические неравенства”.

Определение логарифма проще всего записать математически:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Обратите внимание на ограничения которые накладываются на основание логарифма (a ) и на подлогарифмическое выражение (x ). В дальнейшем эти условия превратятся в важные ограничения для ОДЗ, которые нужно будет учитывать при решении любого уравнения с логарифмами. Итак, теперь кроме стандартных условий приводящих к ограничениям на ОДЗ (положительность выражений под корнями четных степеней, не равенство знаменателя нолю и т.д.) нужно учитывать еще и следующие условия:

• Подлогарифмическое выражение может быть только положительным .
• Основание логарифма может быть только положительным и не равным единице .

Обратите внимание, что ни основание логарифма, ни подлогарифмическое выражение не могут быть равными нолю. Обратите также внимание и на то, что само значение логарифма может принимать все возможные значения, т.е. логарифм может быть положительным, отрицательным и равным нолю. У логарифмов есть очень много различных свойств, которые следуют из свойств степеней и определения логарифма. Перечислим их. Итак, свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Обратите особо пристальное внимание на те из последних перечисленных свойств, в которых появляется знак модуля после вынесения степени. Не забывайте, что при вынесении четной степени за знак логарифма, под логарифмом или в основании нужно оставить знак модуля.

Другие полезные свойства логарифмов:

Последнее свойство очень часто применяется в сложных логарифмических уравнениях и неравенствах. Его нужно помнить также хорошо, как и все остальные, хотя о нём часто забывают.

Самые простые логарифмические уравнения имеют вид:

А их решение задаётся формулой, которая напрямую следует из определения логарифма:

Другие простейшие логарифмические уравнения, это такие, которые с помощью алгебраических преобразований и приведённых выше формул и свойств логарифмов можно свести к виду:

Решение таких уравнений с учетом ОДЗ выглядит следующим образом:

Некоторые другие логарифмические уравнения с переменной в основании могут быть сведены к виду:

В таких логарифмических уравнениях общий вид решения также напрямую следует из определения логарифма. Только в этом случае имеются дополнительные ограничения для ОДЗ, которые нужно учесть. В итоге, для решения логарифмического уравнения с переменной в основании нужно решать следующую систему:

При решении более сложных логарифмических уравнений, которые нельзя свести к одному из представленных выше уравнений, также активно применяется метод замены переменных . Как обычно, применяя этот метод нужно помнить, что после введения замены уравнение должно упроститься и больше не содержать старой неизвестной. Также нужно не забывать выполнять обратную замену переменных.

Иногда при решении логарифмических уравнений приходится также использовать графический метод . Данный метод состоит в том, чтобы как можно более точно построить на одной координатной плоскости графики функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения, а затем найти координаты точек их пересечения по чертежу. Полученные таким образом корни обязательно нужно проверить подстановкой в первоначальное уравнение.

При решении логарифмических уравнений часто также бывает полезен метод группировки . При использовании этого метода главное помнить, что: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали . Когда множителями являются логарифмы или скобки с логарифмами, а не просто скобки с переменными как в рациональных уравнениях, то может возникнуть много ошибок. Так как у логарифмов есть много ограничений на ту область, где они существуют.

При решении систем логарифмических уравнений чаще всего приходится использовать либо метод подстановки, либо метод замены переменных. Если есть такая возможность, то при решении систем логарифмических уравнений нужно стремиться к тому, чтобы каждое из уравнений системы по-отдельности привести к такому виду, при котором можно будет осуществить переход от логарифмического уравнения к рациональному.

Простейшие логарифмические неравенства решаются примерно также как и аналогичные уравнения. Сначала, с помощью алгебраических преобразований и свойств логарифмов, их нужно постараться привести к такому виду, где у логарифмов в левой и правой части неравенства будут одинаковые основания, т.е. получить неравенство вида:

После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства менять не нужно, а если основание логарифма меньше единицы, то нужно поменять знак неравенства на противоположный (это значит поменять "меньше" на "больше" или наоборот). При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не нужно. Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода. В случае если основание больше единицы получим:

В случае если основание логарифма меньше единицы поменяем знак неравенства и получим следующую систему:

Как видим при решении логарифмических неравенств как обычно учитывается также и ОДЗ (это третье условие в системах выше). Причем в этом случае есть возможность не требовать положительности обоих подлогарифмических выражений, а достаточно потребовать положительности только меньшего из них.

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании логарифма необходимо самостоятельно рассматривать оба варианта (когда основание меньше единицы, и больше единицы) и объединять решения этих случаев в совокупность. При этом нужно не забывать и про ОДЗ, т.е. про то, что и основание и все подлогарифмические выражение должны быть положительными. Таким образом, при решении неравенства вида:

Получим следующую совокупность систем:

Более сложные логарифмические неравенства могут также решаться с помощью замены переменных. Некоторые другие логарифмические неравенства (как и логарифмические уравнения) для решения требуют проведения процедуры логарифмирования обоих частей неравенства или уравнения по одинаковому основанию. Так вот при проведении такой процедуры с логарифмическим неравенствами имеется тонкость. Обратите внимание, что при логарифмировании по основанию большему единицы, знак неравенства не изменяется, а если основание меньше единицы, то знак неравенства изменяется на противоположный.

Если логарифмическое неравенство не может быть сведено к рациональному или решено с помощью замены, то в этом случае нужно применять обобщенный метод интервалов , который состоит в следующем:

• Определите ОДЗ;
• Преобразуйте неравенство так, чтобы в правой части был ноль (в левой части, если это возможно, приведите к общему знаменателю, разложите на множители и т.д.);
• Найдите все корни числителя и знаменателя и нанесите их на числовую ось, причём, если неравенство нестрогое, закрасьте корни числителя, ну а корни знаменателя в любом случае оставьте выколотыми точками;
• Найдите знак всего выражения на каждом из интервалов, подставляя в преобразованное неравенство число из данного интервала. При этом уже больше нельзя никаким образом чередовать знаки переходя через точки на оси. Определять знак выражения на каждом интервале нужно именно подстановкой значения из интервала в это выражение, и так для каждого интервала. Больше никак нельзя (в этом то и состоит, по большому счету, отличие обобщенного метода интервалов от обычного);
• Найдите пересечение ОДЗ и удовлетворяющих неравенству промежутков, при этом не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.

• Назад
• Вперёд

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.